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③ 为了测量一条两岸平行的河流的宽度，测量小组设计了不同的方案，他们在河流南岸的点B处测得河流北岸的树A恰好在点B的正北方向，测量方案如下表：
(1)第一小组认为要知道河宽AB，只需要测出线段
(2)第二小组测得$CD=30\ \mathrm{m}$，则$AB=\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}$.
(3)第三小组认为只要测得BC就能得到河宽AB，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由.
(1)第一小组认为要知道河宽AB，只需要测出线段
BC
的长度，为什么？(2)第二小组测得$CD=30\ \mathrm{m}$，则$AB=\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}$.
(3)第三小组认为只要测得BC就能得到河宽AB，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由.
答案
(1) $BC$ $∠ BAC = 90° - ∠ ACB = 45°$, $BC = AB$.
(2) $30$
(3) 第三小组的方案可行.
$∠ CAB = ∠ DBC - ∠ ACB = 70° - 35° = 35°$, $∠ ACB = ∠ CAB$, $AB = BC$.
(2) $30$
(3) 第三小组的方案可行.
$∠ CAB = ∠ DBC - ∠ ACB = 70° - 35° = 35°$, $∠ ACB = ∠ CAB$, $AB = BC$.
解析
【分析】
(1) 首先根据题意可知AB在B的正北方向，故AB⊥BC，△ABC为直角三角形，结合已知∠ACB=45°可推导出△ABC是等腰直角三角形，两直角边相等，因此只需测量BC的长度即可得到河宽AB。
(2) 第二小组的方案中，已知BO=OC，∠ABO和∠DCO均为直角，再结合对顶角相等可证明△ABO与△DCO全等，根据全等三角形对应边相等即可得到AB的长度。
(3) 第三小组的方案可利用三角形外角的性质，计算∠BAC的度数，若∠BAC与∠ACB相等，则△ABC为等腰三角形，AB=BC，即可证明方案可行。
【解析】
(1) 需测量线段$BC$的长度，理由如下：
由题意得$AB⊥ BC$，即$∠ ABC=90°$，
$\because ∠ ACB=45°$，
$\therefore ∠ BAC=90°-∠ ACB=45°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ ACB$，
$\therefore AB=BC$，因此测量$BC$的长度即可得到河宽$AB$。
(2) 由题意得$BO=OC$，$∠ ABO=∠ DCO=90°$，
在$△ ABO$和$△ DCO$中：
$\begin{cases}∠ ABO=∠ DCO \\BO=CO \\∠ AOB=∠ DOC\end{cases}$
$\therefore △ ABO≌△ DCO(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB=CD=30\ \mathrm{m}$。
(3) 第三小组的方案可行，证明如下：
$\because ∠ DBC$是$△ ABC$的外角，
$\therefore ∠ DBC=∠ BAC+∠ ACB$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DBC-∠ ACB=70°-35°=35°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ ACB$，
$\therefore AB=BC$，因此只要测得$BC$的长度即可得到河宽$AB$，方案可行。
【答案】
(1) $BC$，理由见解析；
(2) $30$；
(3) 可行，证明见解析。
【知识点】
等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题结合实际测量场景考查三角形相关性质的实际应用，解题的核心是将实际问题转化为几何问题，结合已知条件分析三角形的边角关系即可求解。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据题意可知AB在B的正北方向，故AB⊥BC，△ABC为直角三角形，结合已知∠ACB=45°可推导出△ABC是等腰直角三角形，两直角边相等，因此只需测量BC的长度即可得到河宽AB。
(2) 第二小组的方案中，已知BO=OC，∠ABO和∠DCO均为直角，再结合对顶角相等可证明△ABO与△DCO全等，根据全等三角形对应边相等即可得到AB的长度。
(3) 第三小组的方案可利用三角形外角的性质，计算∠BAC的度数，若∠BAC与∠ACB相等，则△ABC为等腰三角形，AB=BC，即可证明方案可行。
【解析】
(1) 需测量线段$BC$的长度，理由如下：
由题意得$AB⊥ BC$，即$∠ ABC=90°$，
$\because ∠ ACB=45°$，
$\therefore ∠ BAC=90°-∠ ACB=45°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ ACB$，
$\therefore AB=BC$，因此测量$BC$的长度即可得到河宽$AB$。
(2) 由题意得$BO=OC$，$∠ ABO=∠ DCO=90°$，
在$△ ABO$和$△ DCO$中：
$\begin{cases}∠ ABO=∠ DCO \\BO=CO \\∠ AOB=∠ DOC\end{cases}$
$\therefore △ ABO≌△ DCO(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB=CD=30\ \mathrm{m}$。
(3) 第三小组的方案可行，证明如下：
$\because ∠ DBC$是$△ ABC$的外角，
$\therefore ∠ DBC=∠ BAC+∠ ACB$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DBC-∠ ACB=70°-35°=35°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ ACB$，
$\therefore AB=BC$，因此只要测得$BC$的长度即可得到河宽$AB$，方案可行。
【答案】
(1) $BC$，理由见解析；
(2) $30$；
(3) 可行，证明见解析。
【知识点】
等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题结合实际测量场景考查三角形相关性质的实际应用，解题的核心是将实际问题转化为几何问题，结合已知条件分析三角形的边角关系即可求解。
【难度系数】
0.7
④ 学校新购进了一批课桌挂钩，同学们利用课桌挂钩方便放置自己的物品，他们以“课桌挂钩顶端到地面距离的计算”为主题完成了如下实践探究.
| 调查方式 | 测量, 查看说明书 |
| --- | --- |
| 测量图示 |
|
| 元素 | $EF$ | $AB$ | $BC$ | $CD$ | $∠ ABC$ | $∠ BCD$ | $∠ CDP$ |
| 数据 | $83\ \mathrm{cm}$ | $5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$ | $5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$ | $2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$ | $90°$ | $90°$ | $45°$ |
已知地面$MN$为水平面，桌面$AE$是水平面，$DP // MN$，$EF$为课桌的高度，挂钩顶端$D$到地面的距离为$DG$. 请你根据此项目实施的材料和数据，通过勾股定理等有关知识，求出课桌挂钩顶端$D$到地面的距离$DG$.
| 调查方式 | 测量, 查看说明书 |
| --- | --- |
| 测量图示 |
|| 元素 | $EF$ | $AB$ | $BC$ | $CD$ | $∠ ABC$ | $∠ BCD$ | $∠ CDP$ |
| 数据 | $83\ \mathrm{cm}$ | $5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$ | $5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$ | $2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$ | $90°$ | $90°$ | $45°$ |
已知地面$MN$为水平面，桌面$AE$是水平面，$DP // MN$，$EF$为课桌的高度，挂钩顶端$D$到地面的距离为$DG$. 请你根据此项目实施的材料和数据，通过勾股定理等有关知识，求出课桌挂钩顶端$D$到地面的距离$DG$.
答案
$DG=75\ \mathrm{cm}.$
解析
【分析】
要求课桌挂钩顶端D到地面的距离DG，已知桌面到地面的高度EF=83cm，桌面AE与地面MN均为水平面，因此DG的值等于EF减去D点与桌面AE的竖直高度差。解题时先通过勾股定理求出A点到C点的竖直下降距离，再求出C点到D点的竖直上升距离，两者作差得到D点相对桌面的总下降高度，最后用EF减去总下降高度即可求出DG。
【解析】
解：
∵ 桌面AE与地面MN均为水平面，且$DP// MN$，
∴ DP为水平线。
1. 计算A点到C点的竖直总下降距离：
已知$AB=BC=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，$∠ ABC=90°$，可得AB、BC与水平方向的夹角均为$45°$，即AB、BC分别为等腰直角三角形的斜边。
设AB在竖直方向向下的分量为x，由勾股定理得：
$x^2+x^2=AB^2$，即$2x^2=(5\sqrt{2})^2=50$，解得$x=5\ \mathrm{cm}$。
同理可得BC在竖直方向向下的分量也为$5\ \mathrm{cm}$。
因此A到C的竖直总下降距离为$5+5=10\ \mathrm{cm}$。
2. 计算C点到D点的竖直上升距离：
已知$CD=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，$∠ CDP=45°$，DP为水平线，因此CD为等腰直角三角形的斜边。
设CD在竖直方向向上的分量为y，由勾股定理得：
$y^2+y^2=CD^2$，即$2y^2=(2\sqrt{2})^2=8$，解得$y=2\ \mathrm{cm}$。
3. 计算D点相对桌面AE的总下降高度：
$10-2=8\ \mathrm{cm}$。
4. 计算DG的长度：
∵ EF为桌面到地面的高度，$EF=83\ \mathrm{cm}$，
∴ $DG=EF-8=83-8=75\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$DG=75\ \mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理的应用；等腰直角三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题结合生活中的课桌挂钩场景考查几何知识的实际应用，解题时需要将实际问题转化为几何线段的计算，理清各段线段在竖直方向的位移关系，能够锻炼学生将理论知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.7
要求课桌挂钩顶端D到地面的距离DG，已知桌面到地面的高度EF=83cm，桌面AE与地面MN均为水平面，因此DG的值等于EF减去D点与桌面AE的竖直高度差。解题时先通过勾股定理求出A点到C点的竖直下降距离，再求出C点到D点的竖直上升距离，两者作差得到D点相对桌面的总下降高度，最后用EF减去总下降高度即可求出DG。
【解析】
解：
∵ 桌面AE与地面MN均为水平面，且$DP// MN$，
∴ DP为水平线。
1. 计算A点到C点的竖直总下降距离：
已知$AB=BC=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，$∠ ABC=90°$，可得AB、BC与水平方向的夹角均为$45°$，即AB、BC分别为等腰直角三角形的斜边。
设AB在竖直方向向下的分量为x，由勾股定理得：
$x^2+x^2=AB^2$，即$2x^2=(5\sqrt{2})^2=50$，解得$x=5\ \mathrm{cm}$。
同理可得BC在竖直方向向下的分量也为$5\ \mathrm{cm}$。
因此A到C的竖直总下降距离为$5+5=10\ \mathrm{cm}$。
2. 计算C点到D点的竖直上升距离：
已知$CD=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，$∠ CDP=45°$，DP为水平线，因此CD为等腰直角三角形的斜边。
设CD在竖直方向向上的分量为y，由勾股定理得：
$y^2+y^2=CD^2$，即$2y^2=(2\sqrt{2})^2=8$，解得$y=2\ \mathrm{cm}$。
3. 计算D点相对桌面AE的总下降高度：
$10-2=8\ \mathrm{cm}$。
4. 计算DG的长度：
∵ EF为桌面到地面的高度，$EF=83\ \mathrm{cm}$，
∴ $DG=EF-8=83-8=75\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$DG=75\ \mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理的应用；等腰直角三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题结合生活中的课桌挂钩场景考查几何知识的实际应用，解题时需要将实际问题转化为几何线段的计算，理清各段线段在竖直方向的位移关系，能够锻炼学生将理论知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.7
