⑥ 某中学八年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验.如图所示,先在笔直的公路$l$旁取一点$A$,在公路$l$上确定点$B$,点$C$,使得$AC ⊥ l$于点$C$, $∠ BAC = 60°$,再在$AC$上确定点$D$,使得$∠ BDC = 75°$,测得$AD = 40\ \mathrm{m}$.已知本路段对校车限速是$50\ \mathrm{km/h}$,若测得某校车从$B$到$C$匀速行驶用时$10\ \mathrm{s}$.（参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.73$）
(1) 求点$D$到线段$AB$的距离（结果保留整数）.
(2) 利用(1)中的结果,请判断这辆车在本路段是否超速.

(1) 点$D$到$AB$的距离为$35\ \mathrm{m}.$
(2) 未超速.

【分析】
(1) 求点D到AB的距离，可过D作DE⊥AB于E，DE即为所求。观察得△ADE是直角三角形，已知∠BAC=60°、AD=40m，利用直角三角形30°角所对直角边等于斜边一半求出AE，再用勾股定理即可求得DE的长度。
(2) 判断是否超速，需要先求出BC的长度，再计算校车速度和限速比较。先通过角度计算推出BD是∠ABC的角平分线，根据角平分线性质得CD=DE，进而求出AC长度；再在Rt△ABC中利用30°直角三角形性质和勾股定理求出BC，计算速度后换算单位与50km/h比较即可。
【解析】
(1) 过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE即为点D到AB的距离。
∵ $AC⊥ l$，$∠ BAC=60°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADE=90°-60°=30°$，
∴ $AE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×40=20\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{40^2-20^2}=20\sqrt{3}\approx20×1.73=34.6\approx35\ \mathrm{m}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ BAC=60°$，
∴ $∠ ABC=90°-60°=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$∠ BDC=75°$，
∴ $∠ DBC=90°-75°=15°$，
∴ $∠ ABD=∠ ABC-∠ DBC=30°-15°=15°$，即$∠ ABD=∠ DBC$，
∴ BD平分$∠ ABC$，
又
∵ $DC⊥ BC$，$DE⊥ AB$，
∴ $CD=DE\approx35\ \mathrm{m}$，
∴ $AC=AD+CD=40+35=75\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=30°$，
∴ $AB=2AC=150\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{150^2-75^2}=75\sqrt{3}\approx75×1.73=129.75\ \mathrm{m}$，
校车行驶速度为：$129.75÷10=12.975\ \mathrm{m/s}$，
换算单位得：$12.975×3.6\approx46.71\ \mathrm{km/h}$，
∵ $46.71＜50$，
∴ 这辆车在本路段未超速。
【答案】
(1) 点$D$到$AB$的距离为$35\ \mathrm{m}$；
(2) 这辆校车在本路段未超速。
【知识点】
直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题结合实际测速场景考查三角形相关性质的应用，解题关键是合理作辅助线构造直角三角形，结合角度关系推导边角关系，同时要注意速度单位的换算，题目贴合生活实际，能考查知识的灵活应用能力。
【难度系数】
0.65