11 某市在实行居民用水定额管理前,对居民生活用水情况进行了调查,下表是通过简单随机抽样调查获得的50个家庭去年的月均用水量(单位:t)

(1)请选择合适的组距和组数,列出样本频数分布表,并画出频数分布直方图,从频数分布直方图中你能得到什么信息?
(2)为了鼓励节约用水,要确定一个用水量的标准,超出这个标准的部分按1.5倍价格收费,若要使60%的家庭水费支出不受影响,你觉得家庭月均用水量应该定为多少?为什么?

11.解:(1)列出样本频数分布表如下:
| 分组 | 划记 | 频数 |
|------------|----------|------|
| 2.0≤x≤3.5 | 正正一 | 11 |
| 3.5＜x≤5.0 | 正正正正 | 19 |
| 5.0＜x≤6.5 | 正正下 | 13 |
| 6.5＜x≤8.0 | 正 | 5 |
| 8.0＜x≤9.5 | 丁 | 2 |
| 合计 | — | 50 |
画出频数分布直方图如下:

从频数分布直方图中得到的信息:用水量在3.5~5.0 t的户数最多(答案不唯一,合理即可).
(2)要使60%的家庭水费支出不受影响,家庭月均用水量应该定为5.0 t,因为月均用水量不超过5.0 t的有11 +19 =30(户),30÷50×100% =60%.

【分析】
(1) 解决第一问首先计算数据的极差（最大值与最小值的差），本题最大值为8.9t、最小值为2.0t，极差为6.9t；选择组距为1.5t时，组数≈极差÷组距≈4.6，因此取5组较为合适，分组时注意端点设置，避免数据重复或遗漏，再逐个统计每组频数列出频数分布表，根据表格绘制直方图，最后观察直方图特征总结信息即可。
(2) 解决第二问的核心是理解“60%的家庭水费支出不受影响”即60%的家庭月均用水量不超过该标准，先计算50户的60%对应的户数，再累加各组频数，找到刚好包含对应户数的分组上限即可。
【解析】
(1) ①计算极差：$8.9-2.0=6.9\mathrm{t}$；
②确定组距和组数：选组距为1.5t，$6.9÷1.5=4.6$，因此分5组；
③确定分组：$2.0≤ x≤3.5$，$3.5＜ x≤5.0$，$5.0＜ x≤6.5$，$6.5＜ x≤8.0$，$8.0＜ x≤9.5$；
④统计每组频数，列出频数分布表，再根据表格绘制频数分布直方图，观察直方图可得到相关信息。
(2) 要使60%家庭不受影响，对应的家庭户数为$50×60\%=30$户。累加前两组频数：$11+19=30$户，说明月均用水量不超过5.0t的家庭刚好有30户，占总调查户数的60%，因此标准定为5.0t。
【答案】
(1) 样本频数分布表如下：
| 分组 | 划记 | 频数 |
|------------|----------|------|
| $2.0≤ x≤3.5$ | 正正一 | 11 |
| $3.5＜ x≤5.0$ | 正正正正 | 19 |
| $5.0＜ x≤6.5$ | 正正下 | 13 |
| $6.5＜ x≤8.0$ | 正 | 5 |
| $8.0＜ x≤9.5$ | 丁 | 2 |
| 合计 | — | 50 |
频数分布直方图如下：

从频数分布直方图中得到的信息：用水量在3.5~5.0 t的户数最多（答案不唯一，合理即可）。
(2) 家庭月均用水量应该定为5.0 t，因为月均用水量不超过5.0 t的有$11 +19 =30$户，$30÷50×100\% =60\%$，刚好满足60%的家庭水费支出不受影响。
【知识点】
频数分布表、频数分布直方图、样本估计总体
【点评】
本题结合居民用水的生活实际，考查了数据整理、统计图表绘制和数据分析的相关能力，要求掌握频数统计的基本方法，能结合实际需求分析统计数据做出合理决策，体现了数学的实际应用价值。
【难度系数】
0.7