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1 如图,在$△ ABC$中,$AC=8\ \mathrm{cm}$,$F$是高$AD$和$BE$的交点.若$AD=BD$,则$BF$的长是 （
A.4 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.9 cm
（第1题）（第2题）（第3题）（第4题）
C
）A.4 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.9 cm
（第1题）（第2题）（第3题）（第4题）
答案
1. C
解析
【分析】
要求BF的长，我们可以通过证明BF与已知长度的AC所在的三角形全等求解。首先结合高的定义得到直角，再利用同角的余角相等推出一组对应角相等，结合已知AD=BD，即可证明△BDF和△ADC全等，进而得到BF与AC的等量关系。
【解析】
∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠BDF=∠ADC=90°，
∴∠DBF + ∠C = 90°，∠DAC + ∠C = 90°，
∴∠DBF = ∠DAC。
在△BDF和△ADC中：
$\begin{cases}∠BDF=∠ADC \\BD=AD \\∠DBF=∠DAC\end{cases}$
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF=AC，
∵AC=8 cm，
∴BF=8 cm。
【答案】
C
【知识点】
三角形高的性质，全等三角形的判定与性质，余角的性质
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用类题目，解题关键是结合高的性质找到全等三角形的对应相等条件，通过全等转化边的等量关系得到结果。
【难度系数】
0.7
要求BF的长，我们可以通过证明BF与已知长度的AC所在的三角形全等求解。首先结合高的定义得到直角，再利用同角的余角相等推出一组对应角相等，结合已知AD=BD，即可证明△BDF和△ADC全等，进而得到BF与AC的等量关系。
【解析】
∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠BDF=∠ADC=90°，
∴∠DBF + ∠C = 90°，∠DAC + ∠C = 90°，
∴∠DBF = ∠DAC。
在△BDF和△ADC中：
$\begin{cases}∠BDF=∠ADC \\BD=AD \\∠DBF=∠DAC\end{cases}$
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF=AC，
∵AC=8 cm，
∴BF=8 cm。
【答案】
C
【知识点】
三角形高的性质，全等三角形的判定与性质，余角的性质
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用类题目，解题关键是结合高的性质找到全等三角形的对应相等条件，通过全等转化边的等量关系得到结果。
【难度系数】
0.7
2 如图,在四边形$ABCD$中,$∠ A=90°$,$AD=3$,$BC=5$,对角线$BD$平分$∠ ABC$,则$△ BCD$的面积为（
A.8
B.7.5
C.15
D.9
B
）A.8
B.7.5
C.15
D.9
答案
2. B
解析
【分析】
要求$△ BCD$的面积，已知底$BC$的长度为5，只需先求出$BC$边上的高即可。结合$BD$平分$∠ ABC$的条件，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知$∠ A=90°$，即$AD$就是点$D$到$AB$的距离，因此点$D$到$BC$的距离和$AD$长度相等，得到高之后就可以计算三角形面积。
【解析】
过点$D$作$DE⊥ BC$，垂足为$E$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，$∠ A=90°$（即$DA⊥ AB$），$DE⊥ BC$，
$\therefore$根据角平分线的性质可得$DE=AD=3$。
又$\because BC=5$，
$\therefore △ BCD$的面积$S=\frac{1}{2}× BC× DE=\frac{1}{2}×5×3=7.5$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质求出三角形对应底边上的高，将已知条件和所求面积建立关联，属于基础类题目，熟练掌握角平分线的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
要求$△ BCD$的面积，已知底$BC$的长度为5，只需先求出$BC$边上的高即可。结合$BD$平分$∠ ABC$的条件，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知$∠ A=90°$，即$AD$就是点$D$到$AB$的距离，因此点$D$到$BC$的距离和$AD$长度相等，得到高之后就可以计算三角形面积。
【解析】
过点$D$作$DE⊥ BC$，垂足为$E$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，$∠ A=90°$（即$DA⊥ AB$），$DE⊥ BC$，
$\therefore$根据角平分线的性质可得$DE=AD=3$。
又$\because BC=5$，
$\therefore △ BCD$的面积$S=\frac{1}{2}× BC× DE=\frac{1}{2}×5×3=7.5$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质求出三角形对应底边上的高，将已知条件和所求面积建立关联，属于基础类题目，熟练掌握角平分线的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
3 新考向 条件开放题 [2025宿城段考]如图，$AB=DB$，$∠ 1=∠ 2$，要使$△ ABC≌△ DBE$，还需添加的一个条件是
∠A=∠D(答案不唯一)
（写出一个即可）。答案
3. ∠A=∠D(答案不唯一)
解析
【分析】
首先从已知条件出发，由∠1=∠2，根据等式的性质，两个角同时加上公共角∠ABE，可推导出隐含条件∠ABC=∠DBE，结合题目给出的AB=DB，已经得到一组对应边相等、一组对应角相等。接下来根据全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS），补充缺少的对应相等条件即可：若用ASA判定可添加∠A=∠D，若用SAS判定可添加BC=BE，若用AAS判定可添加∠C=∠BED，任选其一即可。
【解析】
已知∠1=∠2，根据等式的性质可得：
$∠ 1 + ∠ ABE = ∠ 2 + ∠ ABE$，即$∠ DBE = ∠ ABC$。
又已知$AB=DB$，若添加条件$∠ A=∠ D$：
在$△ ABC$和$△ DBE$中：
$\begin{cases}∠ A = ∠ D \\AB = DB \\∠ ABC = ∠ DBE\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DBE$（ASA）。
（也可添加$BC=BE$利用SAS判定，或添加$∠ C=∠ BED$利用AAS判定）
【答案】
$∠ A=∠ D$（答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的判定、角的和差性质
【点评】
本题是条件开放型试题，解题时需先挖掘已知条件中的隐含相等关系，再结合全等三角形的判定定理补充对应条件，重点考查对全等判定定理的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先从已知条件出发，由∠1=∠2，根据等式的性质，两个角同时加上公共角∠ABE，可推导出隐含条件∠ABC=∠DBE，结合题目给出的AB=DB，已经得到一组对应边相等、一组对应角相等。接下来根据全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS），补充缺少的对应相等条件即可：若用ASA判定可添加∠A=∠D，若用SAS判定可添加BC=BE，若用AAS判定可添加∠C=∠BED，任选其一即可。
【解析】
已知∠1=∠2，根据等式的性质可得：
$∠ 1 + ∠ ABE = ∠ 2 + ∠ ABE$，即$∠ DBE = ∠ ABC$。
又已知$AB=DB$，若添加条件$∠ A=∠ D$：
在$△ ABC$和$△ DBE$中：
$\begin{cases}∠ A = ∠ D \\AB = DB \\∠ ABC = ∠ DBE\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DBE$（ASA）。
（也可添加$BC=BE$利用SAS判定，或添加$∠ C=∠ BED$利用AAS判定）
【答案】
$∠ A=∠ D$（答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的判定、角的和差性质
【点评】
本题是条件开放型试题，解题时需先挖掘已知条件中的隐含相等关系，再结合全等三角形的判定定理补充对应条件，重点考查对全等判定定理的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
4 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$是$△ ABC$的角平分线,过点$D$分别作$DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,垂足分别是$E$,$F$.有下列结论:① $∠ ADC=90°$;② $DE=DF$;③ $AD=BC$;④ $BD=CD$.其中,不一定正确的是________(填序号).
答案
4. ③
解析
【分析】
解题时先结合已知条件联想相关性质：首先△ABC是等腰三角形（AB=AC），AD是角平分线，优先考虑等腰三角形“三线合一”的性质，可判断①④是否正确；再根据角平分线的性质判断②是否正确；最后分析③，判断其是否对所有符合条件的三角形都成立，即可得出答案。
【解析】
1. 已知AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，AD是△ABC的角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC，且AD是BC边上的中线，因此∠ADC=90°，BD=CD，故①④正确；
2. 因为AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=DF，故②正确；
3. 对于结论③AD=BC：AD和BC的长度没有必然的相等关系，仅在部分特殊的等腰三角形中可能相等，并非对所有符合条件的△ABC都成立，故③不一定正确。
综上，不一定正确的是③。
【答案】
③
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形三线合一和角平分线性质的应用，解题时要注意结论成立的普遍性，不要将特殊情况的结论当作普遍规律。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知条件联想相关性质：首先△ABC是等腰三角形（AB=AC），AD是角平分线，优先考虑等腰三角形“三线合一”的性质，可判断①④是否正确；再根据角平分线的性质判断②是否正确；最后分析③，判断其是否对所有符合条件的三角形都成立，即可得出答案。
【解析】
1. 已知AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，AD是△ABC的角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC，且AD是BC边上的中线，因此∠ADC=90°，BD=CD，故①④正确；
2. 因为AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=DF，故②正确；
3. 对于结论③AD=BC：AD和BC的长度没有必然的相等关系，仅在部分特殊的等腰三角形中可能相等，并非对所有符合条件的△ABC都成立，故③不一定正确。
综上，不一定正确的是③。
【答案】
③
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形三线合一和角平分线性质的应用，解题时要注意结论成立的普遍性，不要将特殊情况的结论当作普遍规律。
【难度系数】
0.8
5 [2025 苏州]如图，C 是线段 AB 的中点，$∠ A = ∠ ECB$，$CD // BE$.
（1）求证：$△ DAC ≌ △ ECB$.
（2）连接 DE.若 $AB = 16$，求 DE 的长.
（1）求证：$△ DAC ≌ △ ECB$.
（2）连接 DE.若 $AB = 16$，求 DE 的长.
答案
5. (1) $\because CD// BE,\therefore ∠ DCA=∠ B. \because C$ 是线段 $AB$ 的中点, $\therefore AC=CB=\frac{1}{2}AB$. 在 $△ DAC$ 和 $△ ECB$ 中,
$\begin{cases}∠ A=∠ ECB, \\AC=CB, \\∠ DCA=∠ B,\end{cases}$
$\therefore △ DAC≌△ ECB(\mathrm{ASA})$
(2) $\because AB=16,\therefore CB=\frac{1}{2}AB=8. \because CD// BE,$
$\therefore ∠ DCE=∠ BEC. \because △ DAC≌△ ECB,\therefore CD=BE$. 在 $△ CED$ 和 $△ ECB$ 中, $\begin{cases}CD=EB, \\∠ DCE=∠ BEC, \\CE=EC,\end{cases}$
$\therefore △ CED≌△ ECB(\mathrm{SAS}),\therefore DE=BC=8$
$\begin{cases}∠ A=∠ ECB, \\AC=CB, \\∠ DCA=∠ B,\end{cases}$
$\therefore △ DAC≌△ ECB(\mathrm{ASA})$
(2) $\because AB=16,\therefore CB=\frac{1}{2}AB=8. \because CD// BE,$
$\therefore ∠ DCE=∠ BEC. \because △ DAC≌△ ECB,\therefore CD=BE$. 在 $△ CED$ 和 $△ ECB$ 中, $\begin{cases}CD=EB, \\∠ DCE=∠ BEC, \\CE=EC,\end{cases}$
$\therefore △ CED≌△ ECB(\mathrm{SAS}),\therefore DE=BC=8$
解析
【分析】
（1）要证明$△ DAC≌△ ECB$，先梳理已知条件：已知$∠ A=∠ ECB$，C是AB中点可得$AC=CB$，再结合$CD// BE$的性质可得到一组同位角相等，刚好满足ASA全等判定的三个条件，即可完成证明。
（2）要求DE的长，先利用AB的长度和中点性质求出BC的长度；再结合第一问的全等结论得到$CD=BE$，结合$CD// BE$的性质得到一组内错角相等，加上公共边CE，可证明$△ CED≌△ ECB$，进而得到$DE=BC$，即可求出DE的长度。
【解析】
（1）证明：
$\because CD// BE$，$\therefore ∠ DCA=∠ B$（两直线平行，同位角相等）。
$\because C$是线段$AB$的中点，$\therefore AC=CB=\frac{1}{2}AB$。
在$△ DAC$和$△ ECB$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ ECB, \\AC=CB, \\∠ DCA=∠ B,\end{cases}$
$\therefore △ DAC≌△ ECB(\mathrm{ASA})$。
（2）解：
$\because AB=16$，$\therefore CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$。
$\because CD// BE$，$\therefore ∠ DCE=∠ BEC$（两直线平行，内错角相等）。
由$△ DAC≌△ ECB$可得$CD=BE$。
在$△ CED$和$△ ECB$中：
$\begin{cases}CD=EB, \\∠ DCE=∠ BEC, \\CE=EC,\end{cases}$
$\therefore △ CED≌△ ECB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DE=BC=8$。
【答案】
（1）$△ DAC≌△ ECB$得证；
（2）$DE=8$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，线段中点的定义
【点评】
本题是全等三角形的基础综合题，第一问直接考查全等的判定，只需结合已知条件和平行线、中点的性质即可推导；第二问需要借助第一问的全等结论进一步推导新的全等关系，整体逻辑清晰，能有效锻炼几何推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$△ DAC≌△ ECB$，先梳理已知条件：已知$∠ A=∠ ECB$，C是AB中点可得$AC=CB$，再结合$CD// BE$的性质可得到一组同位角相等，刚好满足ASA全等判定的三个条件，即可完成证明。
（2）要求DE的长，先利用AB的长度和中点性质求出BC的长度；再结合第一问的全等结论得到$CD=BE$，结合$CD// BE$的性质得到一组内错角相等，加上公共边CE，可证明$△ CED≌△ ECB$，进而得到$DE=BC$，即可求出DE的长度。
【解析】
（1）证明：
$\because CD// BE$，$\therefore ∠ DCA=∠ B$（两直线平行，同位角相等）。
$\because C$是线段$AB$的中点，$\therefore AC=CB=\frac{1}{2}AB$。
在$△ DAC$和$△ ECB$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ ECB, \\AC=CB, \\∠ DCA=∠ B,\end{cases}$
$\therefore △ DAC≌△ ECB(\mathrm{ASA})$。
（2）解：
$\because AB=16$，$\therefore CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$。
$\because CD// BE$，$\therefore ∠ DCE=∠ BEC$（两直线平行，内错角相等）。
由$△ DAC≌△ ECB$可得$CD=BE$。
在$△ CED$和$△ ECB$中：
$\begin{cases}CD=EB, \\∠ DCE=∠ BEC, \\CE=EC,\end{cases}$
$\therefore △ CED≌△ ECB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DE=BC=8$。
【答案】
（1）$△ DAC≌△ ECB$得证；
（2）$DE=8$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，线段中点的定义
【点评】
本题是全等三角形的基础综合题，第一问直接考查全等的判定，只需结合已知条件和平行线、中点的性质即可推导；第二问需要借助第一问的全等结论进一步推导新的全等关系，整体逻辑清晰，能有效锻炼几何推理能力。
【难度系数】
0.7
6 如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AB//CD,连接AC,BD交于点O,则下列结论不一定正确的是 (
A.∠DAB=∠BCD
B.AD//BC
C.∠DAB=∠ABC
D.AO=CO,BO=DO
C
)A.∠DAB=∠BCD
B.AD//BC
C.∠DAB=∠ABC
D.AO=CO,BO=DO
答案
6. C
解析
【分析】
首先根据已知条件AB=CD且AB//CD，可依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形ABCD为平行四边形，再结合平行四边形的性质逐一验证四个选项：平行四边形对角相等可判断A，对边平行可判断B，对角线互相平分可判断D；而∠DAB和∠ABC是平行四边形中相邻的内角，二者互补，仅当平行四边形为矩形时才相等，由此可确定不一定正确的选项。
【解析】
解：
∵AB=CD，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
根据平行四边形的性质可得：
①对角相等：∠DAB=∠BCD，故A选项结论正确；
②对边平行：AD//BC，故B选项结论正确；
③对角线互相平分：AO=CO，BO=DO，故D选项结论正确；
对于C选项：
∵AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，仅当四边形ABCD是矩形时∠DAB=∠ABC=90°，普通平行四边形中∠DAB≠∠ABC，因此该结论不一定正确。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质；平行线的性质
【点评】
本题考查平行四边形的判定与性质的综合应用，解题的关键是先根据已知条件正确判定四边形的类型，再结合性质逐一分析选项，做题时要注意题干要求选“不一定正确”的结论，避免因审题粗心选错。
【难度系数】
0.8
首先根据已知条件AB=CD且AB//CD，可依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形ABCD为平行四边形，再结合平行四边形的性质逐一验证四个选项：平行四边形对角相等可判断A，对边平行可判断B，对角线互相平分可判断D；而∠DAB和∠ABC是平行四边形中相邻的内角，二者互补，仅当平行四边形为矩形时才相等，由此可确定不一定正确的选项。
【解析】
解：
∵AB=CD，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
根据平行四边形的性质可得：
①对角相等：∠DAB=∠BCD，故A选项结论正确；
②对边平行：AD//BC，故B选项结论正确；
③对角线互相平分：AO=CO，BO=DO，故D选项结论正确；
对于C选项：
∵AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，仅当四边形ABCD是矩形时∠DAB=∠ABC=90°，普通平行四边形中∠DAB≠∠ABC，因此该结论不一定正确。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质；平行线的性质
【点评】
本题考查平行四边形的判定与性质的综合应用，解题的关键是先根据已知条件正确判定四边形的类型，再结合性质逐一分析选项，做题时要注意题干要求选“不一定正确”的结论，避免因审题粗心选错。
【难度系数】
0.8
