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8 [2025广元改编]如图，$∠ AOB=60°$，以点$O$为圆心，2为半径画弧，交$OA$于点$M$，交$OB$于点$N$，分别以点$M$，$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧在$∠ AOB$的内部相交于点$C$，画射线$OC$，连接$MC$，$NC$，则$∠ AOC=$
30
°。答案
8. 30
解析
【分析】
首先根据题中的作图步骤，可判断该操作是尺规作∠AOB的角平分线，核心思路是通过SSS证明△OMC与△ONC全等，得到对应角相等，从而推出OC平分∠AOB，再结合已知的∠AOB的度数，即可求出∠AOC的大小。
【解析】
由作图过程可知：
$OM=ON$（同圆半径相等），$MC=NC$（画弧时所取半径相等），
又$\because OC=OC$（公共边），
$\therefore △ OMC ≌ △ ONC$（SSS），
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOC$，即OC平分$∠ AOB$。
已知$∠ AOB=60°$，
$\therefore ∠ AOC = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2} × 60° = 30°$。
【答案】
30
【知识点】
尺规作角平分线，SSS判定全等，角平分线定义
【点评】
本题属于基础题，结合尺规作图操作考查全等三角形的判定与角平分线的定义，熟练掌握角平分线的尺规作图原理是解题的关键。
【难度系数】
0.85
首先根据题中的作图步骤，可判断该操作是尺规作∠AOB的角平分线，核心思路是通过SSS证明△OMC与△ONC全等，得到对应角相等，从而推出OC平分∠AOB，再结合已知的∠AOB的度数，即可求出∠AOC的大小。
【解析】
由作图过程可知：
$OM=ON$（同圆半径相等），$MC=NC$（画弧时所取半径相等），
又$\because OC=OC$（公共边），
$\therefore △ OMC ≌ △ ONC$（SSS），
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOC$，即OC平分$∠ AOB$。
已知$∠ AOB=60°$，
$\therefore ∠ AOC = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2} × 60° = 30°$。
【答案】
30
【知识点】
尺规作角平分线，SSS判定全等，角平分线定义
【点评】
本题属于基础题，结合尺规作图操作考查全等三角形的判定与角平分线的定义，熟练掌握角平分线的尺规作图原理是解题的关键。
【难度系数】
0.85
9 如图，$AB⊥ BC$，$AB=DC$，$AC=DB$，则$AB$，$DC$ 的位置关系是
$AB// DC$
。答案
9. $AB// DC$
解析
【分析】
解题时首先观察图形，找到△ABC和△DCB两个三角形，结合已知的两组边相等，加上公共边BC相等，可利用“SSS”证明两个三角形全等；再根据全等三角形对应角相等得到∠ABC=∠DCB，结合AB⊥BC的条件推导两角均为90°，最后根据平行线的判定定理即可得出AB和DC的位置关系。
【解析】
在$△ ABC$和$△ DCB$中：
$\begin{cases}AB = DC(\mathrm{已知}) \\AC = DB(\mathrm{已知}) \\BC = CB(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DCB(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ ABC = ∠ DCB$（全等三角形的对应角相等）
$\because AB ⊥ BC$
$\therefore ∠ ABC = 90°$
$\therefore ∠ DCB = 90°$，即$DC ⊥ BC$
$\therefore AB // DC$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）
【答案】
$AB// DC$
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题是基础的几何综合题，将三角形全等的判定、性质和平行线的判定结合考查，解题的关键是准确找到图形中的公共边，搭建已知条件和待求结论之间的桥梁。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形，找到△ABC和△DCB两个三角形，结合已知的两组边相等，加上公共边BC相等，可利用“SSS”证明两个三角形全等；再根据全等三角形对应角相等得到∠ABC=∠DCB，结合AB⊥BC的条件推导两角均为90°，最后根据平行线的判定定理即可得出AB和DC的位置关系。
【解析】
在$△ ABC$和$△ DCB$中：
$\begin{cases}AB = DC(\mathrm{已知}) \\AC = DB(\mathrm{已知}) \\BC = CB(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DCB(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ ABC = ∠ DCB$（全等三角形的对应角相等）
$\because AB ⊥ BC$
$\therefore ∠ ABC = 90°$
$\therefore ∠ DCB = 90°$，即$DC ⊥ BC$
$\therefore AB // DC$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）
【答案】
$AB// DC$
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题是基础的几何综合题，将三角形全等的判定、性质和平行线的判定结合考查，解题的关键是准确找到图形中的公共边，搭建已知条件和待求结论之间的桥梁。
【难度系数】
0.8
10 如图，$AC=AD$，$BC=BD$。
（1）求证：$∠ C=∠ D$；
（2）若$∠ CBD=120°$，$∠ C=28°$，求$∠ CAD$的度数。
（1）求证：$∠ C=∠ D$；
（2）若$∠ CBD=120°$，$∠ C=28°$，求$∠ CAD$的度数。
答案
（1）连接AB. 在△ABC 和△ABD 中，$\begin{cases} AC=AD, \\ AB=AB, \\ BC=BD, \end{cases}$
∴ △ABC≌△ABD(SSS),
∴ ∠C=∠D
（2）
∵ △ABC ≌ △ABD,
∴ ∠CAB = ∠DAB = $\frac{1}{2}$∠CAD, ∠ABC = ∠ABD.
∵ ∠CBD = 120°,
∴ ∠ABC=$\frac{1}{2}$(360°−∠CBD)=120°.
∵ 在△ABC 中，
∠C=28°,
∴ ∠CAB=32°,
∴ ∠CAD=2∠CAB=64°
∴ △ABC≌△ABD(SSS),
∴ ∠C=∠D
（2）
∵ △ABC ≌ △ABD,
∴ ∠CAB = ∠DAB = $\frac{1}{2}$∠CAD, ∠ABC = ∠ABD.
∵ ∠CBD = 120°,
∴ ∠ABC=$\frac{1}{2}$(360°−∠CBD)=120°.
∵ 在△ABC 中，
∠C=28°,
∴ ∠CAB=32°,
∴ ∠CAD=2∠CAB=64°
解析
【分析】
（1）要证明∠C=∠D，可通过证明两角所在的三角形全等实现。观察图形，已知AC=AD、BC=BD，若连接AB，可得公共边AB=AB，即可利用“SSS”判定△ABC≌△ABD，根据全等三角形对应角相等即可得证。
（2）由△ABC≌△ABD可得对应角相等，即∠CAB=∠DAB、∠ABC=∠ABD，先结合周角为360°与已知∠CBD=120°求出∠ABC的度数，再在△ABC中利用三角形内角和为180°求出∠CAB的度数，最后根据∠CAD=2∠CAB计算即可得到结果。
【解析】
（1）证明：连接AB，
在△ABC和△ABD中，
$\begin{cases} AC=AD \\ AB=AB（公共边） \\ BC=BD \end{cases}$
∴△ABC≌△ABD（SSS），
∴∠C=∠D。
（2）解：
∵△ABC≌△ABD，
∴∠CAB=∠DAB，∠ABC=∠ABD，
∴∠CAB=$\frac{1}{2}$∠CAD，
∵∠CBD=120°，∠ABC+∠ABD+∠CBD=360°，
∴2∠ABC=360°-120°=240°，
∴∠ABC=120°，
在△ABC中，∠C=28°，∠ABC=120°，
∴∠CAB=180°-∠C-∠ABC=180°-28°-120°=32°，
∴∠CAD=2∠CAB=2×32°=64°。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$\boldsymbol{64°}$
【知识点】
1. SSS判定全等
2. 全等三角形性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础题型，解题核心是通过添加辅助线构造全等三角形，结合全等性质和内角和定理即可求解，侧重考查基础几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明∠C=∠D，可通过证明两角所在的三角形全等实现。观察图形，已知AC=AD、BC=BD，若连接AB，可得公共边AB=AB，即可利用“SSS”判定△ABC≌△ABD，根据全等三角形对应角相等即可得证。
（2）由△ABC≌△ABD可得对应角相等，即∠CAB=∠DAB、∠ABC=∠ABD，先结合周角为360°与已知∠CBD=120°求出∠ABC的度数，再在△ABC中利用三角形内角和为180°求出∠CAB的度数，最后根据∠CAD=2∠CAB计算即可得到结果。
【解析】
（1）证明：连接AB，
在△ABC和△ABD中，
$\begin{cases} AC=AD \\ AB=AB（公共边） \\ BC=BD \end{cases}$
∴△ABC≌△ABD（SSS），
∴∠C=∠D。
（2）解：
∵△ABC≌△ABD，
∴∠CAB=∠DAB，∠ABC=∠ABD，
∴∠CAB=$\frac{1}{2}$∠CAD，
∵∠CBD=120°，∠ABC+∠ABD+∠CBD=360°，
∴2∠ABC=360°-120°=240°，
∴∠ABC=120°，
在△ABC中，∠C=28°，∠ABC=120°，
∴∠CAB=180°-∠C-∠ABC=180°-28°-120°=32°，
∴∠CAD=2∠CAB=2×32°=64°。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$\boldsymbol{64°}$
【知识点】
1. SSS判定全等
2. 全等三角形性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础题型，解题核心是通过添加辅助线构造全等三角形，结合全等性质和内角和定理即可求解，侧重考查基础几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
11 将$△ ABC$和$△ DBE$按如图所示的方式摆放，连接$DC$.已知$AB=DB$，$BE=BC$，$AC=DE=DC$.
（1）求证：$△ ABC≌△ DBE$；
（2）若$∠ ACD=72°$，求$∠ BED$的度数.
（1）求证：$△ ABC≌△ DBE$；
（2）若$∠ ACD=72°$，求$∠ BED$的度数.
答案
（1）在 △ABC 和 △DBE 中，$\begin{cases} AB=DB, \\ BC=BE, \\ AC=DE, \end{cases}$
∴ △ABC≌△DBE(SSS)
（2）在△ABC 和△DBC 中，$\begin{cases} AB=DB, \\ BC=BC, \\ AC=DC, \end{cases}$
∴ △ABC≌△DBC(SSS),
∴ ∠ACB=
∠DCB = $\frac{1}{2}$∠ACD = $\frac{1}{2}×72°=36°$.
∵ △DBE ≌ △ABC,
∴ ∠BED=∠BCA=36°
∴ △ABC≌△DBE(SSS)
（2）在△ABC 和△DBC 中，$\begin{cases} AB=DB, \\ BC=BC, \\ AC=DC, \end{cases}$
∴ △ABC≌△DBC(SSS),
∴ ∠ACB=
∠DCB = $\frac{1}{2}$∠ACD = $\frac{1}{2}×72°=36°$.
∵ △DBE ≌ △ABC,
∴ ∠BED=∠BCA=36°
解析
【分析】
（1）要证明$△ ABC≌△ DBE$，观察已知条件，题目已给出三组对应边相等：$AB=DB$，$BC=BE$，$AC=DE$，完全符合全等三角形“边边边”（SSS）的判定条件，直接套用判定定理即可完成证明。
（2）要求$∠ BED$的度数，由（1）的全等结论可知$∠ BED$与$∠ ACB$是全等三角形的对应角，二者相等，因此只需算出$∠ ACB$的度数即可；已知$AC=DC$，又有$AB=DB$，$BC$为两个三角形的公共边，可先利用SSS证明$△ ABC≌△ DBC$，得到$∠ ACB=∠ DCB$，即$BC$平分$∠ ACD$，结合已知$∠ ACD=72°$，即可算出$∠ ACB$的度数，进而得到$∠ BED$的度数。
【解析】
（1）在$△ ABC$和$△ DBE$中，
$\begin{cases}AB=DB, \\BC=BE, \\AC=DE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DBE(\mathrm{SSS})$。
（2）在$△ ABC$和$△ DBC$中，
$\begin{cases}AB=DB, \\BC=BC, \\AC=DC,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DBC(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ ACB=∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACD=\frac{1}{2}×72°=36°$。
$\because △ DBE≌△ ABC$，
$\therefore ∠ BED=∠ BCA=36°$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boxed{36°}$
【知识点】
SSS判定三角形全等，全等三角形的性质，角的和差计算
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题，解题关键是根据已知的边相等条件，灵活选用SSS判定定理证明三角形全等，再通过全等的性质转化角的关系求解，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
（1）要证明$△ ABC≌△ DBE$，观察已知条件，题目已给出三组对应边相等：$AB=DB$，$BC=BE$，$AC=DE$，完全符合全等三角形“边边边”（SSS）的判定条件，直接套用判定定理即可完成证明。
（2）要求$∠ BED$的度数，由（1）的全等结论可知$∠ BED$与$∠ ACB$是全等三角形的对应角，二者相等，因此只需算出$∠ ACB$的度数即可；已知$AC=DC$，又有$AB=DB$，$BC$为两个三角形的公共边，可先利用SSS证明$△ ABC≌△ DBC$，得到$∠ ACB=∠ DCB$，即$BC$平分$∠ ACD$，结合已知$∠ ACD=72°$，即可算出$∠ ACB$的度数，进而得到$∠ BED$的度数。
【解析】
（1）在$△ ABC$和$△ DBE$中，
$\begin{cases}AB=DB, \\BC=BE, \\AC=DE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DBE(\mathrm{SSS})$。
（2）在$△ ABC$和$△ DBC$中，
$\begin{cases}AB=DB, \\BC=BC, \\AC=DC,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DBC(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ ACB=∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACD=\frac{1}{2}×72°=36°$。
$\because △ DBE≌△ ABC$，
$\therefore ∠ BED=∠ BCA=36°$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boxed{36°}$
【知识点】
SSS判定三角形全等，全等三角形的性质，角的和差计算
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题，解题关键是根据已知的边相等条件，灵活选用SSS判定定理证明三角形全等，再通过全等的性质转化角的关系求解，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
12 如图,在$△ ABC$和$△ DEB$中,点$C$在边$DB$上,边$AC$交边$BE$于点$F$.若$AC=DB$,$AB=DE$,$BC=EB$,则下列与$∠ ACB$的度数相等的是 (
A.$∠ EDB$
B.$∠ BED$
C.$\frac{1}{2}∠ AFB$
D.$2∠ ABF$
C
)A.$∠ EDB$
B.$∠ BED$
C.$\frac{1}{2}∠ AFB$
D.$2∠ ABF$
答案
12. C 【解析】 在 △ABC 和 △DEB 中，$\begin{cases} AC=DB, \\ AB=DE, \\ BC=EB, \end{cases}$
∴ △ABC≌△DEB(SSS),
∴ ∠ACB=
∠DBE.
∵ ∠AFB 是△BCF 的外角，
∴ ∠AFB =
∠ACB+∠DBE=2∠ACB,即∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AFB.
∴ △ABC≌△DEB(SSS),
∴ ∠ACB=
∠DBE.
∵ ∠AFB 是△BCF 的外角，
∴ ∠AFB =
∠ACB+∠DBE=2∠ACB,即∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AFB.
解析
【分析】
解题时首先从题干给出的三组边相等的条件入手，先回忆全等三角形的判定定理，由三边对应相等可判定$△ ABC≌△ DEB$，得到对应角$∠ACB=∠DBE$；再观察待求角与选项中角的关系，发现$∠AFB$是$△ BCF$的外角，结合三角形外角的性质即可推出$∠ACB$与$∠AFB$的数量关系，进而选出正确选项。
【解析】
在$△ ABC$和$△ DEB$中，
$\begin{cases} AC=DB, \\ AB=DE, \\ BC=EB, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEB(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ACB=∠DBE$。
$\because ∠AFB$是$△ BCF$的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角的和，
$\therefore ∠AFB=∠ACB+∠DBE=∠ACB+∠ACB=2∠ACB$，
即$∠ACB=\frac{1}{2}∠AFB$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定（SSS）；全等三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，主要考查全等三角形的判定、性质以及三角形外角的性质，解题的关键是先通过SSS判定三角形全等得到等角，再结合外角性质推导角的数量关系，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先从题干给出的三组边相等的条件入手，先回忆全等三角形的判定定理，由三边对应相等可判定$△ ABC≌△ DEB$，得到对应角$∠ACB=∠DBE$；再观察待求角与选项中角的关系，发现$∠AFB$是$△ BCF$的外角，结合三角形外角的性质即可推出$∠ACB$与$∠AFB$的数量关系，进而选出正确选项。
【解析】
在$△ ABC$和$△ DEB$中，
$\begin{cases} AC=DB, \\ AB=DE, \\ BC=EB, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEB(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ACB=∠DBE$。
$\because ∠AFB$是$△ BCF$的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角的和，
$\therefore ∠AFB=∠ACB+∠DBE=∠ACB+∠ACB=2∠ACB$，
即$∠ACB=\frac{1}{2}∠AFB$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定（SSS）；全等三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，主要考查全等三角形的判定、性质以及三角形外角的性质，解题的关键是先通过SSS判定三角形全等得到等角，再结合外角性质推导角的数量关系，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
