7 一题多解 如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC//AB.若AB＝4，CF＝3，则BD的长为.

7. 1 【解析】解法一:$\because FC// AB,\therefore ∠ A=∠ ECF$.
在 $△ ADE$ 和 $△ CFE$ 中, $\begin{cases}∠ A=∠ ECF, \\∠ AED=∠ CEF, \\DE=FE,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CFE(\mathrm{AAS}),\therefore AD=CF=3,\therefore BD=AB-AD=1$. 解法二:$\because FC// AB,\therefore ∠ ADE=∠ F$.
在 $△ ADE$ 和 $△ CFE$ 中, $\begin{cases}∠ ADE=∠ F, \\DE=FE, \\∠ AED=∠ CEF,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CFE(\mathrm{ASA}),\therefore AD=CF=3,\therefore BD=AB-AD=1$.

【分析】
解题时先观察已知条件，由FC//AB可得两组内错角相等，再结合已知DE=FE以及图形隐含的对顶角相等的条件，可证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应边相等得到AD的长度，最后用AB的长度减去AD的长度即可求出BD的长。
【解析】
解法一：$\because FC// AB,\therefore ∠ A=∠ ECF$。
在 $△ ADE$ 和 $△ CFE$ 中, $\begin{cases}∠ A=∠ ECF, \\∠ AED=∠ CEF, \\DE=FE,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CFE(\mathrm{AAS}),\therefore AD=CF=3,\therefore BD=AB-AD=4-3=1$。
解法二：$\because FC// AB,\therefore ∠ ADE=∠ F$。
在 $△ ADE$ 和 $△ CFE$ 中, $\begin{cases}∠ ADE=∠ F, \\DE=FE, \\∠ AED=∠ CEF,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CFE(\mathrm{ASA}),\therefore AD=CF=3,\therefore BD=AB-AD=4-3=1$。
【答案】
1
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将平行线的性质与全等三角形的判定、性质结合考查，解题的关键是从已知条件和图形隐含的对顶角相等中找到全等的判定条件，进而求出对应边的长度，解题方法灵活，可选择不同的全等判定方法求解。
【难度系数】
0.8

8 如图，CA平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E。若∠EAC=49°，则∠BAE的大小为。

8. 82° 【解析】设 $∠ B = x,∠ BCA = y$, 则易得 $∠ BCA=∠ DCA = y$. 证 $△ ABC≌△ ADC(\mathrm{SAS})$, 得 $∠ B=∠ D=x$. 由 $∠ EAC=∠ D+∠ DCA$, 得 $x+y=49°$. 在 $△ ABC$ 中, 由三角形的内角和为 $180°$, 得 $∠ BAE=180°-49°-(x+y)=82°$.

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先CA平分∠DCB可得一组等角，结合已知CB=CD、公共边CA，可通过SAS判定△ABC≌△ADC，得到对应角相等；接下来利用三角形外角的性质，得出∠D+∠DCA=∠EAC=49°，结合全等的对应角相等，可推出∠B+∠BCA也为49°；再通过三角形内角和定理求出∠BAC的度数，最后根据角的和差关系即可求出∠BAE的大小。
【解析】
解：
∵CA平分∠DCB，
∴∠BCA=∠DCA。
在△ABC和△ADC中，
$\{\begin{array}{l} CB=CD(\mathrm{已知})\\ ∠BCA=∠DCA(\mathrm{已证})\\ CA=CA(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴∠B=∠D，∠BAC=∠DAC。
∵∠EAC是△ADC的外角，
∴∠EAC=∠D+∠DCA=49°，
∴∠B+∠BCA=∠D+∠DCA=49°。
在△ABC中，由三角形内角和为180°得：
∠BAC=180°-(∠B+∠BCA)=180°-49°=131°，
又
∵∠BAC=∠BAE+∠EAC，
∴∠BAE=∠BAC - ∠EAC=131°-49°=82°。
【答案】
82°
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是先利用SAS判定三角形全等得到对应角相等，再结合三角形内外角的性质进行角度推导计算，对逻辑推导能力有一定要求，是全等三角形与角度计算结合的典型考题。
【难度系数】
0.65

9 如图,在$△ ABC$和$△ DCB$中,AC与BD交于点E,且$∠ A=∠ D,AB=DC.$
（1）写出图中所有全等的三角形:________;
（2）若$∠ AEB=50°$,则$∠ EBC$的大小为$\_\_\_\_\_\_.$

9. (1) $△ ABE≌△ DCE,△ ABC≌△ DCB$ (2) $25°$

【分析】
（1）寻找全等三角形时，先从已知条件入手：已知∠A=∠D，AB=DC，观察△ABE和△DCE，二者有一组对顶角∠AEB=∠DEC，满足AAS全等判定条件，可先证这组三角形全等；得到△ABE≌△DCE后，可推出对应边相等，进而得到AC=BD，再结合AB=DC、公共边BC，用SSS即可证△ABC≌△DCB。
（2）求∠EBC的度数时，由△ABE≌△DCE可得BE=CE，即△EBC是等腰三角形，∠EBC=∠ECB；再结合∠AEB是△EBC的外角，等于两个底角之和，代入已知角度即可计算出结果。
【解析】
（1）①证明$△ ABE≌△ DCE$：
在$△ ABE$和$△ DCE$中：
$\begin{cases}∠A=∠D \\∠AEB=∠DEC \mathrm{（对顶角相等）} \\AB=DC\end{cases}$
∴$△ ABE≌△ DCE$（AAS）。
②证明$△ ABC≌△ DCB$：
由$△ ABE≌△ DCE$得$AE=DE$，$BE=CE$，
∴$AE+CE=DE+BE$，即$AC=DB$。
在$△ ABC$和$△ DCB$中：
$\begin{cases}AB=DC \\AC=DB \\BC=CB \mathrm{（公共边）}\end{cases}$
∴$△ ABC≌△ DCB$（SSS）。
（2）
∵$△ ABE≌△ DCE$，
∴$BE=CE$，
∴$△ EBC$为等腰三角形，$∠EBC=∠ECB$。
∵$∠AEB$是$△ BEC$的外角，
∴$∠AEB=∠EBC+∠ECB=2∠EBC$，
已知$∠AEB=50°$，
∴$∠EBC=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
(1) $△ ABE≌△ DCE,△ ABC≌△ DCB$
(2) $25°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是全等三角形相关知识的基础应用题，需要熟练掌握全等三角形的判定定理，结合等腰三角形、三角形外角的性质即可求解，是全等章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7

10 [2025 沭阳期中]如图，点A，C在∠MON的边OM上，点B，D在∠MON的边ON上，且OA＝OB，OC＝OD，连接AD，BC，交于点P，连接OP。求证：OP平分∠MON。

10. 在 $△ AOD$ 和 $△ BOC$ 中, $\begin{cases}OA=OB, \\∠ AOD=∠ BOC, \\OD=OC,\end{cases}$
$\therefore △ AOD≌△ BOC(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ ODA = ∠ OCB$.
$\because OA=OB,OC=OD,\therefore OC-OA = OD-OB$,
$\therefore AC=BD$. 在 $△ APC$ 和 $△ BPD$ 中, $\begin{cases}∠ ACP=∠ BDP, \\∠ APC=∠ BPD, \\AC=BD,\end{cases}$
$\therefore △ APC≌△ BPD(\mathrm{AAS}),\therefore AP=BP$. 在 $△ OAP$ 和 $△ OBP$ 中, $\begin{cases}OA=OB, \\AP=BP, \\OP=OP,\end{cases}$
$\therefore △ OAP≌△ OBP(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ AOP=∠ BOP,\therefore OP$ 平分 $∠ MON$

【分析】
要证明OP平分∠MON，本质是要证明∠AOP=∠BOP，可通过证明△OAP和△OBP全等来得到该结论。已知OA=OB，OP是两个三角形的公共边，因此还需要证得AP=BP。要得到AP=BP，可证明△APC和△BPD全等：由OC=OD、OA=OB可推出AC=BD，又有对顶角∠APC=∠BPD，还需要证明∠ACP=∠BDP，该组角相等可通过证明△AOD≌△BOC得到，△AOD和△BOC已知OA=OB、公共角∠AOD=∠BOC、OD=OC，满足SAS全等判定条件，按该逻辑逐步推导即可得证。
【解析】
在 $△ AOD$ 和 $△ BOC$ 中, $\begin{cases}OA=OB, \\∠ AOD=∠ BOC, \\OD=OC,\end{cases}$
$\therefore △ AOD≌△ BOC(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ ODA = ∠ OCB$.
$\because OA=OB,OC=OD,\therefore OC-OA = OD-OB$,
$\therefore AC=BD$. 在 $△ APC$ 和 $△ BPD$ 中, $\begin{cases}∠ ACP=∠ BDP, \\∠ APC=∠ BPD, \\AC=BD,\end{cases}$
$\therefore △ APC≌△ BPD(\mathrm{AAS}),\therefore AP=BP$. 在 $△ OAP$ 和 $△ OBP$ 中, $\begin{cases}OA=OB, \\AP=BP, \\OP=OP,\end{cases}$
$\therefore △ OAP≌△ OBP(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ AOP=∠ BOP,\therefore OP$ 平分 $∠ MON$
【答案】
OP平分$∠ MON$
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
这道题是三角形全等的综合应用题，需要多次运用全等的判定和性质推导边角关系，解题时可从结论出发逆向推导所需条件，再结合已知正向梳理逻辑，能有效降低解题难度。
【难度系数】
0.6

11 如图,在四边形 ABCD 中,$AD // BC$,点 E,F 分别在 AD,BC 上,$AE=CF$,过点 A,C 分别作直线 EF 的垂线,垂足分别为 G,H.
(1) 求证:$△ AGE ≌ △ CHF$.
(2) 连接 AC.线段 GH 与 AC 是否互相平分? 请说明理由.

11. (1) $\because AG⊥ EF,CH⊥ EF,\therefore ∠ G=∠ H=90°$.
$\because AD// BC,\therefore ∠ DEF=∠ CFH. \because ∠ AEG=∠ DEF,\therefore ∠ AEG=∠ CFH$. 在 $△ AGE$ 和 $△ CHF$ 中,
$\begin{cases}∠ G=∠ H, \\∠ AEG=∠ CFH, \\AE=CF,\end{cases}$
$\therefore △ AGE≌△ CHF(\mathrm{AAS})$
(2) 线段 GH 与 AC 互相平分 理由:设 GH,AC 交于点 O. 由(1),得 $△ AGE≌△ CHF,\therefore AG=CH$. 在 $△ AGO$ 和 $△ CHO$ 中, $\begin{cases}∠ AOG=∠ COH, \\∠ G=∠ H, \\AG=CH,\end{cases}$
$\therefore △ AGO≌△ CHO(\mathrm{AAS}),\therefore AO=CO,GO=HO$, 即线段 GH 与 AC 互相平分.

【分析】
(1) 要证明△AGE≌△CHF，先从已知条件入手：AG、CH均垂直于EF，可得两个三角形均为直角三角形，即∠G=∠H=90°；再结合AD//BC，由平行线的性质可得∠DEF=∠CFH，结合对顶角相等可推出∠AEG=∠CFH，再加上题目给出的AE=CF，满足AAS全等判定的三个条件，即可证明两个三角形全等。
(2) 要判断GH与AC是否互相平分，只需证明两条线段的交点同时是两条线段的中点即可。设两条线段的交点为O，借助第一问的全等结论可得AG=CH，再结合对顶角相等、直角相等，可证明△AGO和△CHO全等，得到AO=CO，GO=HO，即可说明两条线段互相平分。
【解析】
(1) 证明：
∵AG⊥EF，CH⊥EF，
∴∠G=∠H=90°。
∵AD//BC，
∴∠DEF=∠CFH。
又
∵∠AEG=∠DEF（对顶角相等），
∴∠AEG=∠CFH。
在△AGE和△CHF中：
$\begin{cases}∠G=∠H \\∠AEG=∠CFH \\AE=CF\end{cases}$
∴△AGE≌△CHF（AAS）。
(2) 线段GH与AC互相平分，理由如下：
设GH与AC交于点O。
由(1)中△AGE≌△CHF，可得AG=CH。
在△AGO和△CHO中：
$\begin{cases}∠AOG=∠COH（对顶角相等） \\∠G=∠H \\AG=CH\end{cases}$
∴△AGO≌△CHO（AAS），
∴AO=CO，GO=HO，即线段GH与AC互相平分。
【答案】
(1) △AGE≌△CHF，证明成立；
(2) 线段GH与AC互相平分。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的综合应用题，解题的关键是结合已知条件找到证明三角形全等的对应角和对应边，证明线段互相平分的问题可转化为证明对应三角形全等得到线段相等，此类题型是全等章节的常见题型，需熟练掌握AAS等全等判定定理。
【难度系数】
0.7