1 如图，$AB=AD$，添加下列一个条件后，仍无法判定$△ ABC≌△ ADC$ 的是 （）

A.$CB=CD$
B.$∠ BAC=∠ DAC$
C.$∠ BCA=∠ DCA$
D.$∠ B=∠ D=90°$
（第1题）

1. C

【分析】
首先明确△ABC和△ADC中已有的相等条件：AB=AD，AC为公共边故AC=AC，已有两组边对应相等。接下来结合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），逐一分析每个选项添加后是否满足判定条件，无法满足的即为所求答案。
【解析】
解：在△ABC和△ADC中，已知AB=AD，且AC是两个三角形的公共边，即AC=AC。
选项A：添加CB=CD，此时三组边对应相等，满足SSS判定定理，可判定△ABC≌△ADC，不符合题意；
选项B：添加∠BAC=∠DAC，此时两边及夹角对应相等，满足SAS判定定理，可判定△ABC≌△ADC，不符合题意；
选项C：添加∠BCA=∠DCA，此时为两边及其中一边的对角对应相等（SSA），没有对应的全等判定定理，无法判定△ABC≌△ADC，符合题意；
选项D：添加∠B=∠D=90°，此时两个三角形均为直角三角形，斜边AC公共，直角边AB=AD，满足HL判定定理，可判定△ABC≌△ADC，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定、HL定理、公共边的应用
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的实际应用，需要学生熟练掌握各判定定理的适用条件，尤其注意SSA不能作为一般三角形全等的判定依据，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8

2 如图，$CE⊥ AB$，$DF⊥ AB$，垂足分别为$E$，$F$，$AF=BE$，且$AC=BD$，则下列结论不一定正确的是（）

A.$AC// BD$
B.$∠ C+∠ B=90°$
C.$∠ A=∠ D$
D.$\mathrm{Rt}△ ACE≌\mathrm{Rt}△ BDF$

2. C

【分析】
解题思路如下：首先根据CE⊥AB、DF⊥AB可得△ACE和△BDF都是直角三角形；再由AF=BE，通过等式性质推出两条直角边AE=BF，结合已知斜边AC=BD，用HL判定定理证明两个直角三角形全等；最后根据全等三角形的性质得到对应角相等，逐一验证各选项是否成立，选出不一定正确的结论。
【解析】
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AEC=∠BFD=90°，即Rt△ACE和Rt△BDF都是直角三角形。
∵AF=BE，
∴AF-EF=BE-EF，即AE=BF。
在Rt△ACE和Rt△BDF中：
$\{\begin{array}{l}AC=BD\\ AE=BF\end{array} $
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL），故D选项结论正确，不符合题意。
由全等得：∠A=∠B，∠C=∠D。
∵∠A=∠B，内错角相等两直线平行，
∴AC//BD，故A选项结论正确，不符合题意。
在Rt△ACE中，∠A+∠C=90°，又
∵∠A=∠B，
∴∠C+∠B=90°，故B选项结论正确，不符合题意。
由全等性质仅可得∠C=∠D，∠A=∠B，无法推出∠A=∠D，故C选项结论不一定正确，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形全等的判定、全等三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题重点考查直角三角形全等的判定及性质应用，解题的突破口是利用线段和差关系推出全等所需的直角边相等，再结合全等的性质推导角的关系，做题时需注意题干要求选择“不一定正确”的选项，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.7

3 [2025 宿城期中]如图，在$△ ABC$和$△ ABD$中，$∠ C=∠ D=90°$. 若利用“HL”证明$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ ABD$，则需要添加的条件是________（添加一个即可）.

3. BC=BD(答案不唯一)

【分析】
要利用“HL”证明两个直角三角形全等，首先明确HL的判定条件：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。首先观察图形可知，Rt△ABC和Rt△ABD有公共斜边AB，因此斜边已经满足相等的条件，接下来只需补充任意一组直角边对应相等，即可满足HL的判定要求。
【解析】
∵∠C=∠D=90°，
∴△ABC和△ABD均为直角三角形。
两个三角形的斜边AB为公共边，因此AB=AB。
根据HL判定定理，只需添加一组直角边对应相等即可证明全等：
若添加$BC=BD$，在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△ABD$中：
$\begin{cases} AB=AB \\ BC=BD \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△ABD(\mathrm{HL})$。
同理，添加$AC=AD$也可满足判定要求，故填写任意一组直角边相等即可。
【答案】
BC=BD(答案不唯一)
【知识点】
HL判定定理、公共边性质
【点评】
本题考查直角三角形全等的HL判定的应用，解题的关键是先确定已经相等的公共斜边，再结合HL的判定要求补充缺少的条件，需注意HL仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.9

4 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$ED⊥ AB$于点$D$，$BC=BD$。若$AC=3\ \mathrm{cm}$，则$AE+DE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。

4. 3

【分析】
解题时先观察图形中的直角三角形，已知$∠ C$和$∠ BDE$都是直角，可找到两组相等的边：公共边$BE$，已知相等的$BC=BD$，符合直角三角形全等的HL判定条件。证明三角形全等后，可得到$DE=CE$，就能把所求的$AE+DE$转化为$AE+CE$，也就是已知长度的$AC$，代入数值即可得到结果。
【解析】
$\because ∠ C=90°$，$ED⊥ AB$
$\therefore ∠ C=∠ BDE=90°$，$△ BCE$和$△ BDE$均为直角三角形
在$\mathrm{Rt}△ BCE$和$\mathrm{Rt}△ BDE$中：
$\begin{cases} BE=BE(\mathrm{公共边}) \\ BC=BD(\mathrm{已知}) \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BCE≌\mathrm{Rt}△ BDE(\mathrm{HL})$
$\therefore DE=CE$
$\therefore AE+DE=AE+CE=AC$
$\because AC=3\ \mathrm{cm}$
$\therefore AE+DE=3\ \mathrm{cm}$
【答案】
3
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；线段等量代换
【点评】
本题是基础的几何转化类题型，核心是通过证明直角三角形全等，将未知的线段和转化为已知长度的线段，是全等三角形应用的典型考法。
【难度系数】
0.7

5 如图，$AB ⊥ DB$，$AC ⊥ EC$，垂足分别为$B$，$C$，$AD=AE$，$AC=AB$，$BD$与$CE$交于点$F$，连接$CD$，$BE$。
（1）求证：$∠ ADB=∠ AEC$；
（2）求证：$CD=BE$；
（3）连接$AF$，则图中共有对全等三角形。

5. (1) $\because AB⊥DB,AC⊥EC,\therefore ∠ABD=∠ACE=90^{\circ },\therefore △ABD$ 和 $△ACE$ 均是直角三角形. 在$\mathrm{Rt}△ABD$ 和 $\mathrm{Rt}△ACE$ 中, $\begin{cases} AD=AE,\\ AB=AC, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ABD≌\mathrm{Rt}△ACE(\mathrm{HL}),\therefore ∠ADB=∠AEC$
(2) 由(1),知 $\mathrm{Rt} △ ABD ≌ \mathrm{Rt} △ ACE,\therefore ∠BAD = ∠CAE$,
$\therefore ∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC$,即$∠CAD=∠BAE$. 在$△ACD$ 和 $△ABE$ 中, $\begin{cases} AC=AB,\\ ∠CAD=∠BAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ACD≌△ABE(\mathrm{SAS}),\therefore CD=BE$
(3) 5 【解析】$△ABD≌△ACE,△ACD≌△ABE$,$△CFD≌△BFE,△AFD≌△AFE,△ACF≌△ABF$.

【分析】
（1）要证∠ADB=∠AEC，可通过证明两角所在的直角三角形全等实现。已知垂直条件可得△ABD、△ACE均为直角三角形，结合给出的斜边AD=AE、直角边AB=AC，用HL定理即可证两直角三角形全等，得到对应角相等。
（2）要证CD=BE，需证两线段所在的△ACD和△ABE全等。由（1）的全等结论可得∠BAD=∠CAE，减去公共角∠BAC即可得到夹角∠CAD=∠BAE，再结合已知的AC=AB、AD=AE，用SAS定理即可证两三角形全等，得到对应边相等。
（3）找全等三角形时，先确定已证明的2对，再依次推导：由△ACD≌△ABE可得CD=BE、∠ADC=∠AEB，结合对顶角相等可证△CFD≌△BFE；由AD=AE、∠ADF=∠AEF、AF为公共边可证△AFD≌△AFE；由AC=AB、AF为公共边、全等推导的对应边/角相等可证△ACF≌△ABF，合计共5对。
【解析】
（1）证明：$\because AB⊥ DB,AC⊥ EC$，$\therefore ∠ ABD=∠ ACE=90°$，$\therefore △ ABD$和$△ ACE$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ ACE$中：
$\begin{cases} AD=AE \\ AB=AC \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ ACE(\mathrm{HL})$，$\therefore ∠ ADB=∠ AEC$。
（2）证明：由（1）知$\mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ ACE$，$\therefore ∠ BAD=∠ CAE$，
$\therefore ∠ BAD-∠ BAC=∠ CAE-∠ BAC$，即$∠ CAD=∠ BAE$。
在$△ ACD$和$△ ABE$中：
$\begin{cases} AC=AB \\ ∠ CAD=∠ BAE \\ AD=AE \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ ABE(\mathrm{SAS})$，$\therefore CD=BE$。
（3）全等三角形分别为：$△ ABD≌△ ACE$、$△ ACD≌△ ABE$、$△ CFD≌△ BFE$、$△ AFD≌△ AFE$、$△ ACF≌△ ABF$，共5对。
【答案】
（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）$\boldsymbol{5}$
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，直角三角形全等的判定
【点评】
本题属于全等三角形综合题，前两问侧重基础的全等判定应用，难度较低；第三问需要按逻辑顺序梳理全等关系，避免漏数或多数，解题时可借助已证的全等结论推导后续全等，降低计数难度。
【难度系数】
0.6

6 如图，$AD=BC$，$AE⊥BD$，$CF⊥BD$，垂足分别为$E$，$F$，且$AE=CF$，则图中相等的角（直角除外）有（）

A.3对
B.4对
C.5对
D.6对

6. D

【分析】
解题思路如下：首先根据已知的垂直关系，确定图中的直角三角形，利用HL判定定理证明Rt△ADE和Rt△CBF全等，得到两组对应角相等；再由全等得到的角相等推出AD与BC平行，结合AD=BC判定四边形ABCD是平行四边形，得到平行四边形对应的对角相等、内错角相等；最后再证明Rt△ABE和Rt△CDF全等，得到另外两组对应角相等，统计所有相等的非直角的对数即可。
【解析】
解：
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=∠AEB=∠CFD=90°。
①在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ CBF$中，
$\{\begin{array}{l}AD=BC\\ AE=CF\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ CBF(\mathrm{HL})$，
∴∠ADE=∠CBF，∠DAE=∠BCF，共2对相等角。
由∠ADE=∠CBF可得$AD// BC$，又
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠ABC=∠ADC，且$AB// CD$，
∴∠ABD=∠CDB，这里又得到3对相等角。
②在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ AEB=∠ CFD=90°\\ ∠ ABE=∠ CDF\\ AB=CD\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{AAS})$，
∴∠BAE=∠DCF，这是第6对相等角。
综上，相等的非直角共有6对。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；全等三角形的性质
【点评】
本题综合考查了直角三角形全等的判定、全等三角形的性质以及平行四边形的判定与性质，解题时要按顺序梳理相等的角，避免漏数或多数，熟练掌握全等三角形和平行四边形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6