16 如图,在$△ ABC$中,$CF ⊥ AB$,垂足为$F$,$M$为$BC$的中点,$E$为$AC$上一点,连接$ME$,$MF$,$EF$,$BE$,且$ME=MF$.
(1) 求证:$BE ⊥ AC$;
(2) 若$∠ A=50°$,求$∠ FME$的度数.

16. (1)
∵ CF⊥AB,M 为 BC 的中点,
∴ MF=BM=CM=$\frac{1}{2}$BC.
∵ ME=MF,
∴ ME = BM = CM,
∴ ∠MBE=∠MEB, ∠MEC=∠MCE.
∵ △BCE 的内角和为 180°,
∴ ∠MEB + ∠MEC = $\frac{1}{2}$ × 180° = 90°,
∴ ∠BEC=90°,
∴ BE⊥AC
(2)
∵ ∠A=50°,
∴ ∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°. 由(1),得 MF = BM, ME = CM,
∴ ∠MBF=∠MFB, ∠MEC=∠MCE,
∴ ∠BMF+∠CME = (180°-2∠ABC)+(180°-2∠ACB)=360°-2(∠ABC+∠ACB)=360°-2×130°=100°,
∴ ∠FME=180°-(∠BMF+∠CME)=80°

17 [2025 遂宁改编]如图,在四边形ABCD中,AB//CD,点E,F在对角线BD上,BE=EF=FD,且AF⊥AB,CE⊥CD.
(1) 求证:△ABF≌△CDE.
(2) 连接AE,CF.若∠ABD=30°,求证:四边形AECF的四条边相等.

17. (1)
∵ AB//CD,
∴ ∠ABF=∠CDE.
∵ AF⊥AB,CE⊥CD,
∴ ∠BAF=∠DCE=90°.
∵ BE=EF=FD,
∴ BE+EF=FD+EF, 即 BF = DE. 在 △ABF 和 △CDE 中,
$\begin{cases}∠ABF=∠CDE, \\∠BAF=∠DCE, \\BF=DE,\end{cases}$
∴ △ABF≌△CDE(AAS)
(2)
∵ ∠ABD=30°, AB//CD,
∴ ∠CDB=∠ABD=30°.
∵ ∠BAF=90°, BE=EF,
∴ AE=$\frac{1}{2}$BF.
∵ 在 Rt△ABF 中, ∠ABF=30°,
∴ AF=$\frac{1}{2}$BF,
∴ AE=AF. 同理可证 CE=CF.
∵ △ABF≌△CDE,
∴ AF=CE,
∴ AE=AF=CE=CF, 即四边形 AECF 的四条边相等

18 如图①，点B,A,C在同一条直线上，$DB ⊥ BC$，$EC ⊥ BC$，且$∠ DAE=90°$，$AD=AE$，易证$△ DBA ≌ △ ACE$。
（1）如图②，在$△ DBA$和$△ ACE$中，$AD=AE$。若$∠ DAE=α(0°＜α＜90°)$，$∠ BAC=2α$，$∠ B=∠ C=180°-α$，求证：$△ DBA ≌ △ ACE$。
（2）方程思想 如图②，在$△ DBA$和$△ ACE$中，$AD=AE$。若$∠ DAE=70°$，$∠ BAC=140°$，$∠ B=∠ C=110°$，当$∠ DAC$的度数是$∠ E$的3倍时，求$∠ D$的度数。

18. (1)
∵ ∠BAC=2α, ∠DAE=α,
∴ ∠DAB+∠EAC=α.
∵ ∠B=180°−α, △ABD 的内角和为 180°,
∴ ∠DAB+∠D = α,
∴ ∠EAC=∠D. 在 △DBA 和 △ACE 中,
$\begin{cases}∠B=∠C, \\∠D=∠EAC, \\DA=AE,\end{cases}$
∴ △DBA≌△ACE(AAS)
(2) 设∠D=x. 根据(1),得∠EAC=∠D=x.
∵ ∠DAE=70°,
∴ ∠DAC=∠DAE+∠EAC=70°+x.
∵ 在 △EAC 中, ∠C=110°,
∴ ∠E=180°−110°−x=70°−x.
∵ ∠DAC 的度数是∠E 的 3 倍,
∴ 70°+x=3(70°−x), 解得 x=35°, 即∠D=35°.
∴ 当∠DAC 的度数是∠E 的 3 倍时, ∠D=35°