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8 [2025 凉山]如图，$AB=AC$，$AE=AD$，点$E$在$BD$上，$∠ EAD=∠ BAC$，$∠ BDC=56°$，则$∠ ABC$的度数为
62°
。答案
8. 62°
9 整体思想 在$△ ABC$中，$AB$，$AC$的垂直平分线分别交$BC$于点$E$，$F$.若$∠ BAC=115°$，则$∠ EAF$的度数为
50°
.答案
9. 50°
10 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=40°$,$∠ B=∠ C$,$BP=CE$,$BD=CP$,则$∠ DPE$的度数为
70°
.答案
10. 70°
11 分类讨论思想 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=10$,$BC=5$,线段$PQ=AB$,$P$,$Q$两点分别在$AC$和过点$A$且垂直于$AC$的射线$AO$上运动,当$AP$的长为
5或10
时,以$A$,$P$,$Q$三点构成的三角形能与$△ ABC$全等.答案
11. 5或10
12 如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是边BC上一动点,则DP长的最小值为
4
.答案
12. 4
13 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=BC$,$AD$是$△ ABC$的角平分线,过点$B$作$BE⊥ AD$,交$AD$的延长线于点$E$.若$BE=5$,则$AD$的长为
10
.答案
13. 10
【解析】如图,延长 BE,AC 交于点 F.
∵ AD 是△ABC 的角平分线,
∴ ∠BAE = ∠FAE.
∵ BE ⊥ AD,
∴ ∠AEB = ∠AEF = 90°. 在 △ABE 和 △AFE 中,
$\begin{cases}∠BAE=∠FAE, \\AE=AE, \\∠AEB=∠AEF,\end{cases}$
∴ △ABE≌△AFE(ASA),
∴ BE=FE=5.
∵ ∠AEF=90°,
∴ ∠CAD+∠F=90°.
∵ ∠ACD=90°,
∴ ∠CBF+∠F=90°,
∴ ∠CAD=∠CBF. 在 △ACD 和 △BCF 中,
$\begin{cases}∠ACD=∠BCF=90°, \\AC=BC, \\∠CAD=∠CBF,\end{cases}$
∴ △ACD ≌ △BCF(ASA),
∴ AD=BF=BE+FE=10.
14 [2025 滨州]如图，网格中每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上.只用无刻度的直尺在AC上找一点D，使得BD最短(保留作图痕迹，不写作法).
答案
14. 作法不唯一,如图,点 D 即为所求
15 [2025 自贡]如图，$∠ ABE=∠ BAF$，$CE=CF$.求证:$AE=BF$.
答案
15.
∵ ∠ABE=∠BAF,
∴ CB=CA.
∵ CE=CF,
∴ CB+CE=CA+CF, 即 BE = AF. 在 △ABE 和 △BAF 中,
$\begin{cases}BE=AF, \\∠ABE=∠BAF, \\AB=BA,\end{cases}$
∴ △ABE≌△BAF(SAS),
∴ AE=BF
∵ ∠ABE=∠BAF,
∴ CB=CA.
∵ CE=CF,
∴ CB+CE=CA+CF, 即 BE = AF. 在 △ABE 和 △BAF 中,
$\begin{cases}BE=AF, \\∠ABE=∠BAF, \\AB=BA,\end{cases}$
∴ △ABE≌△BAF(SAS),
∴ AE=BF
