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三、解答题
19. 解下列方程组：
(1) $\begin{cases}2x - y = 4, \\x + y = 8;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}4x - 2y = 2, \\2x + 3y = -7;\end{cases}$
(3) $\begin{cases}\dfrac{x + 2y}{3} - \dfrac{x - 2y}{5} = 16, \\\dfrac{x + 2y}{5} - \dfrac{x - 2y}{4} = 7;\end{cases}$
(4)
19. 解下列方程组：
(1) $\begin{cases}2x - y = 4, \\x + y = 8;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}4x - 2y = 2, \\2x + 3y = -7;\end{cases}$
(3) $\begin{cases}\dfrac{x + 2y}{3} - \dfrac{x - 2y}{5} = 16, \\\dfrac{x + 2y}{5} - \dfrac{x - 2y}{4} = 7;\end{cases}$
(4)
答案
19.(1)$\begin{cases} x=4, \\ y=4. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=-\dfrac{1}{2}, \\ y=-2. \end{cases}$
(3)$\begin{cases} x=40, \\ y=10. \end{cases}$
(4)$\begin{cases} x=9, \\ y=14. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=-\dfrac{1}{2}, \\ y=-2. \end{cases}$
(3)$\begin{cases} x=40, \\ y=10. \end{cases}$
(4)$\begin{cases} x=9, \\ y=14. \end{cases}$
解析
【分析】
解二元一次方程组的核心是消元，将二元转化为一元求解：
1. 对于(1)(2)这类系数简单的方程组，直接用加减消元法，将两个方程相加/减消去一个未知数，先求出一个未知数的值，再回代求另一个未知数即可；
2. 对于(3)(4)这类含分数、且有重复代数式结构的方程组，可采用换元法简化计算：把重复的代数式设为新的未知数，先求解新的简单二元一次方程组，再回代得到原未知数的值，也可先去分母整理成标准二元一次方程组形式后再消元求解。
【解析】
(1) $\begin{cases}2x - y = 4&① \\x + y = 8&②\end{cases}$
①+②得：$3x=12$，解得$x=4$，
把$x=4$代入②得：$4+y=8$，解得$y=4$。
(2) $\begin{cases}4x - 2y = 2&① \\2x + 3y = -7&②\end{cases}$
②×2得：$4x+6y=-14$ ③，
③-①得：$8y=-16$，解得$y=-2$，
把$y=-2$代入①得：$4x-2×(-2)=2$，解得$x=-\dfrac{1}{2}$。
(3) 设$m=x+2y$，$n=x-2y$，原方程组化为：
$\begin{cases}\dfrac{m}{3}-\dfrac{n}{5}=16 \\\dfrac{m}{5}-\dfrac{n}{4}=7 \end{cases}$
去分母整理得：$\begin{cases}5m - 3n = 240&① \\4m - 5n = 140&②\end{cases}$
①×5得：$25m-15n=1200$ ③，
②×3得：$12m-15n=420$ ④，
③-④得：$13m=780$，解得$m=60$，
把$m=60$代入①得：$5×60-3n=240$，解得$n=20$，
回代得$\begin{cases}x+2y=60 \\x-2y=20 \end{cases}$，两式相加得$2x=80$，解得$x=40$，两式相减得$4y=40$，解得$y=10$。
(4) 设$m=2x+3y$，$n=2x-3y$，原方程组化为：
$\begin{cases}\dfrac{m}{4}+\dfrac{n}{3}=7 \\\dfrac{m}{3}+\dfrac{n}{2}=8 \end{cases}$
去分母整理得：$\begin{cases}3m + 4n = 84&① \\2m + 3n = 48&②\end{cases}$
①×2得：$6m+8n=168$ ③，
②×3得：$6m+9n=144$ ④，
④-③得：$n=-24$，
把$n=-24$代入①得：$3m+4×(-24)=84$，解得$m=60$，
回代得$\begin{cases}2x+3y=60 \\2x-3y=-24 \end{cases}$，两式相加得$4x=36$，解得$x=9$，两式相减得$6y=84$，解得$y=14$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=4, \\ y=4. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=-\dfrac{1}{2}, \\ y=-2. \end{cases}$
(3)$\begin{cases} x=40, \\ y=10. \end{cases}$
(4)$\begin{cases} x=9, \\ y=14. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法，加减消元法，换元法
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用题型，既考查基础消元方法的掌握，也引导学生观察式子结构用换元法简化计算，求解时需要注意去分母不要漏乘常数项，计算过程注意符号问题。
【难度系数】
0.7
解二元一次方程组的核心是消元，将二元转化为一元求解：
1. 对于(1)(2)这类系数简单的方程组，直接用加减消元法，将两个方程相加/减消去一个未知数，先求出一个未知数的值，再回代求另一个未知数即可；
2. 对于(3)(4)这类含分数、且有重复代数式结构的方程组，可采用换元法简化计算：把重复的代数式设为新的未知数，先求解新的简单二元一次方程组，再回代得到原未知数的值，也可先去分母整理成标准二元一次方程组形式后再消元求解。
【解析】
(1) $\begin{cases}2x - y = 4&① \\x + y = 8&②\end{cases}$
①+②得：$3x=12$，解得$x=4$，
把$x=4$代入②得：$4+y=8$，解得$y=4$。
(2) $\begin{cases}4x - 2y = 2&① \\2x + 3y = -7&②\end{cases}$
②×2得：$4x+6y=-14$ ③，
③-①得：$8y=-16$，解得$y=-2$，
把$y=-2$代入①得：$4x-2×(-2)=2$，解得$x=-\dfrac{1}{2}$。
(3) 设$m=x+2y$，$n=x-2y$，原方程组化为：
$\begin{cases}\dfrac{m}{3}-\dfrac{n}{5}=16 \\\dfrac{m}{5}-\dfrac{n}{4}=7 \end{cases}$
去分母整理得：$\begin{cases}5m - 3n = 240&① \\4m - 5n = 140&②\end{cases}$
①×5得：$25m-15n=1200$ ③，
②×3得：$12m-15n=420$ ④，
③-④得：$13m=780$，解得$m=60$，
把$m=60$代入①得：$5×60-3n=240$，解得$n=20$，
回代得$\begin{cases}x+2y=60 \\x-2y=20 \end{cases}$，两式相加得$2x=80$，解得$x=40$，两式相减得$4y=40$，解得$y=10$。
(4) 设$m=2x+3y$，$n=2x-3y$，原方程组化为：
$\begin{cases}\dfrac{m}{4}+\dfrac{n}{3}=7 \\\dfrac{m}{3}+\dfrac{n}{2}=8 \end{cases}$
去分母整理得：$\begin{cases}3m + 4n = 84&① \\2m + 3n = 48&②\end{cases}$
①×2得：$6m+8n=168$ ③，
②×3得：$6m+9n=144$ ④，
④-③得：$n=-24$，
把$n=-24$代入①得：$3m+4×(-24)=84$，解得$m=60$，
回代得$\begin{cases}2x+3y=60 \\2x-3y=-24 \end{cases}$，两式相加得$4x=36$，解得$x=9$，两式相减得$6y=84$，解得$y=14$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=4, \\ y=4. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=-\dfrac{1}{2}, \\ y=-2. \end{cases}$
(3)$\begin{cases} x=40, \\ y=10. \end{cases}$
(4)$\begin{cases} x=9, \\ y=14. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法，加减消元法，换元法
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用题型，既考查基础消元方法的掌握，也引导学生观察式子结构用换元法简化计算，求解时需要注意去分母不要漏乘常数项，计算过程注意符号问题。
【难度系数】
0.7
20. 已知关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} x - 2y = 1, \\ x + 2y = n \end{cases} $ 和 $ \begin{cases} x + y = m, \\ 2x - 3y = 5 \end{cases} $ 有公共解，求 $ m,n $ 的值。
答案
解:$\because \begin{cases} x-2y=1, \\ x+2y=n \end{cases}$ 和 $\begin{cases} x+y=m, \\ 2x-3y=5 \end{cases}$ 有公共解，
$\therefore \begin{cases} x-2y=1, \\ 2x-3y=5 \end{cases}$ 的解也是上述两个方程组的解，解这个方程组得 $\begin{cases} x=7, \\ y=3. \end{cases}$
故 $x+2y=7+6=n$，即 $n=13$。
$x+y=m=10$。
$\therefore \begin{cases} x-2y=1, \\ 2x-3y=5 \end{cases}$ 的解也是上述两个方程组的解，解这个方程组得 $\begin{cases} x=7, \\ y=3. \end{cases}$
故 $x+2y=7+6=n$，即 $n=13$。
$x+y=m=10$。
解析
【分析】
两个方程组有公共解，说明这个解同时满足两个方程组中的所有4个方程。解题时我们可以先把不含参数m、n的两个方程联立组成新的方程组，求解得到x和y的值，再将x、y的值代入含有m、n的方程，即可求出m和n的数值。
【解析】
解：$\because$ 两个方程组有公共解，
$\therefore$ 该解同时满足方程$x-2y=1$和$2x-3y=5$，
联立这两个方程得 $\begin{cases}x-2y=1 ①\\2x-3y=5 ②\end{cases}$，
由①得：$x=1+2y$ ③，
把③代入②得：$2(1+2y)-3y=5$，
去括号得：$2+4y-3y=5$，
解得：$y=3$，
把$y=3$代入③得：$x=1+2×3=7$，
$\therefore$ 公共解为 $\begin{cases}x=7\\y=3\end{cases}$，
将$\begin{cases}x=7\\y=3\end{cases}$代入$x+2y=n$，得$n=7+2×3=13$，
将$\begin{cases}x=7\\y=3\end{cases}$代入$x+y=m$，得$m=7+3=10$。
【答案】
$m=10$，$n=13$
【知识点】
二元一次方程组的公共解；解二元一次方程组；代入求值
【点评】
本题核心是理解二元一次方程组公共解的含义，解题的突破口是优先联立不含未知参数的方程求出公共解，再代入计算参数值，解题思路清晰，方法固定，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
两个方程组有公共解，说明这个解同时满足两个方程组中的所有4个方程。解题时我们可以先把不含参数m、n的两个方程联立组成新的方程组，求解得到x和y的值，再将x、y的值代入含有m、n的方程，即可求出m和n的数值。
【解析】
解：$\because$ 两个方程组有公共解，
$\therefore$ 该解同时满足方程$x-2y=1$和$2x-3y=5$，
联立这两个方程得 $\begin{cases}x-2y=1 ①\\2x-3y=5 ②\end{cases}$，
由①得：$x=1+2y$ ③，
把③代入②得：$2(1+2y)-3y=5$，
去括号得：$2+4y-3y=5$，
解得：$y=3$，
把$y=3$代入③得：$x=1+2×3=7$，
$\therefore$ 公共解为 $\begin{cases}x=7\\y=3\end{cases}$，
将$\begin{cases}x=7\\y=3\end{cases}$代入$x+2y=n$，得$n=7+2×3=13$，
将$\begin{cases}x=7\\y=3\end{cases}$代入$x+y=m$，得$m=7+3=10$。
【答案】
$m=10$，$n=13$
【知识点】
二元一次方程组的公共解；解二元一次方程组；代入求值
【点评】
本题核心是理解二元一次方程组公共解的含义，解题的突破口是优先联立不含未知参数的方程求出公共解，再代入计算参数值，解题思路清晰，方法固定，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
