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11. 方程$(a+1)x^{|a|} - 3y = 5$是关于$x,y$的二元一次方程，则$a=$
1
.答案
11.1
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确二元一次方程的定义：含有2个未知数，且含未知数的项的次数都为1的整式方程是二元一次方程。我们需要根据定义列出两个限制条件：一是x的次数必须为1，二是x的系数不能为0（否则方程就只含y一个未知数，不符合二元的要求），再分别求解两个条件，最终取共同满足的a的值即可。
【解析】
解：
∵方程$(a+1)x^{|a|} - 3y = 5$是关于$x,y$的二元一次方程
∴根据二元一次方程的定义可得：
$\begin{cases}|a| = 1 \quad \mathrm{（保证x的次数为1，符合“一次”要求）} \\a + 1 ≠ 0 \quad \mathrm{（保证x的系数不为0，符合“二元”要求）}\end{cases}$
由$|a|=1$解得：$a = 1$或$a = -1$
由$a + 1 ≠ 0$解得：$a ≠ -1$
综上，同时满足两个条件的$a$的值为$1$。
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程的定义、绝对值的运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是完整掌握二元一次方程的所有限定条件，很容易忽略未知数系数不为0的要求，错误得出a=-1的结果，做题时要注意对概念的全面理解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需要明确二元一次方程的定义：含有2个未知数，且含未知数的项的次数都为1的整式方程是二元一次方程。我们需要根据定义列出两个限制条件：一是x的次数必须为1，二是x的系数不能为0（否则方程就只含y一个未知数，不符合二元的要求），再分别求解两个条件，最终取共同满足的a的值即可。
【解析】
解：
∵方程$(a+1)x^{|a|} - 3y = 5$是关于$x,y$的二元一次方程
∴根据二元一次方程的定义可得：
$\begin{cases}|a| = 1 \quad \mathrm{（保证x的次数为1，符合“一次”要求）} \\a + 1 ≠ 0 \quad \mathrm{（保证x的系数不为0，符合“二元”要求）}\end{cases}$
由$|a|=1$解得：$a = 1$或$a = -1$
由$a + 1 ≠ 0$解得：$a ≠ -1$
综上，同时满足两个条件的$a$的值为$1$。
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程的定义、绝对值的运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是完整掌握二元一次方程的所有限定条件，很容易忽略未知数系数不为0的要求，错误得出a=-1的结果，做题时要注意对概念的全面理解。
【难度系数】
0.6
12. 已知$\begin{cases}x=2, \\ y=-1\end{cases}$是二元一次方程$2ax - y = 9$的解，则$a$的值为 ______ 。
答案
12.2
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确二元一次方程解的定义：能让二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是该方程的解。因此我们可以把已知的x、y的取值直接代入原二元一次方程，此时方程会转化为仅含未知数a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算，就能求出a的取值。
【解析】
解：已知$\begin{cases}x=2, \\ y=-1\end{cases}$是二元一次方程$2ax - y = 9$的解，将$x=2$，$y=-1$代入原方程，可得：
$2a×2 - (-1) = 9$
化简得：$4a + 1 = 9$
移项计算：$4a = 9 - 1 = 8$
系数化为1得：$a = 8÷4 = 2$
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程解的应用，只要掌握“方程的解代入原方程后等式仍然成立”这一要点，即可快速转化为熟悉的一元一次方程求解，计算难度低。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先要明确二元一次方程解的定义：能让二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是该方程的解。因此我们可以把已知的x、y的取值直接代入原二元一次方程，此时方程会转化为仅含未知数a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算，就能求出a的取值。
【解析】
解：已知$\begin{cases}x=2, \\ y=-1\end{cases}$是二元一次方程$2ax - y = 9$的解，将$x=2$，$y=-1$代入原方程，可得：
$2a×2 - (-1) = 9$
化简得：$4a + 1 = 9$
移项计算：$4a = 9 - 1 = 8$
系数化为1得：$a = 8÷4 = 2$
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程解的应用，只要掌握“方程的解代入原方程后等式仍然成立”这一要点，即可快速转化为熟悉的一元一次方程求解，计算难度低。
【难度系数】
0.9
13. 已知关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases}2x + 3y = k, \\x + 2y = 1\end{cases}$ 的解互为相反数，则 $ k $ 的值是 ______ 。
答案
13.1
解析
【分析】
解题的关键是抓住“方程组的解互为相反数”这一条件，根据相反数的性质可得x=-y（或x+y=0）。优先选择将x=-y代入不含参数k的方程x+2y=1，先求出x、y的具体值，再代入含k的方程即可求出k的值，这种方法计算量更小。
【解析】
∵ 关于x、y的二元一次方程组的解互为相反数
∴ x = -y
把x = -y代入方程x + 2y = 1，得：
-y + 2y = 1
解得 y = 1
∴ x = -y = -1
把x=-1，y=1代入方程2x + 3y = k，得：
2×(-1) + 3×1 = k
计算得 k = -2 + 3 = 1
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组的解，相反数的性质，代入消元法
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对二元一次方程组解的概念的理解，解题的突破口是利用解互为相反数的条件建立x与y的数量关系，熟练掌握代入消元法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题的关键是抓住“方程组的解互为相反数”这一条件，根据相反数的性质可得x=-y（或x+y=0）。优先选择将x=-y代入不含参数k的方程x+2y=1，先求出x、y的具体值，再代入含k的方程即可求出k的值，这种方法计算量更小。
【解析】
∵ 关于x、y的二元一次方程组的解互为相反数
∴ x = -y
把x = -y代入方程x + 2y = 1，得：
-y + 2y = 1
解得 y = 1
∴ x = -y = -1
把x=-1，y=1代入方程2x + 3y = k，得：
2×(-1) + 3×1 = k
计算得 k = -2 + 3 = 1
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组的解，相反数的性质，代入消元法
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对二元一次方程组解的概念的理解，解题的突破口是利用解互为相反数的条件建立x与y的数量关系，熟练掌握代入消元法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
14.一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为13，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的2倍小4，则原来的两位数为
49
.答案
14.49
解析
【分析】
这是一道数字类的一元一次方程应用题，解题思路如下：①首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10 + 个位数字；②根据“个位与十位数字和为13”，可以设其中一个数位的数字为未知数，用含未知数的式子表示另一个数位的数字；③分别表示出原数和对调后的新数；④根据“对调后所得的数比原数的2倍小4”这一等量关系列方程，求解后即可得到原数的两个数位数字，进而得到原两位数。
【解析】
设原来两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$13 - x$。
原两位数可表示为：$10x + (13 - x) = 9x + 13$
对调后新的两位数可表示为：$10(13 - x) + x = 130 - 9x$
根据题意列方程：
$130 - 9x = 2(9x + 13) - 4$
展开并化简方程右边：
$130 - 9x = 18x + 26 - 4$
$130 - 9x = 18x + 22$
移项合并同类项：
$27x = 108$
解得：$x = 4$
则个位数字为$13 - 4 = 9$，所以原来的两位数是49。
【答案】
49
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 两位数的表示
【点评】
本题是数字类应用题的典型题型，解题核心是掌握多位数的数位表示方法，准确提取题目中的等量关系列方程求解，只要理清数位间的数量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类的一元一次方程应用题，解题思路如下：①首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10 + 个位数字；②根据“个位与十位数字和为13”，可以设其中一个数位的数字为未知数，用含未知数的式子表示另一个数位的数字；③分别表示出原数和对调后的新数；④根据“对调后所得的数比原数的2倍小4”这一等量关系列方程，求解后即可得到原数的两个数位数字，进而得到原两位数。
【解析】
设原来两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$13 - x$。
原两位数可表示为：$10x + (13 - x) = 9x + 13$
对调后新的两位数可表示为：$10(13 - x) + x = 130 - 9x$
根据题意列方程：
$130 - 9x = 2(9x + 13) - 4$
展开并化简方程右边：
$130 - 9x = 18x + 26 - 4$
$130 - 9x = 18x + 22$
移项合并同类项：
$27x = 108$
解得：$x = 4$
则个位数字为$13 - 4 = 9$，所以原来的两位数是49。
【答案】
49
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 两位数的表示
【点评】
本题是数字类应用题的典型题型，解题核心是掌握多位数的数位表示方法，准确提取题目中的等量关系列方程求解，只要理清数位间的数量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
15. 如果$-2x^{m-1}y^{4}$与$5x^{n}y^{m-2n}$是同类项，则$m+n$的值为
-5
。答案
15.-5
解析
【分析】
解题时首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。根据这个性质，我们可以得到两个关于m、n的等式，组成二元一次方程组，解出m、n的值后，代入计算m+n即可。具体步骤为：第一步根据同类项指数相等的特征列方程组，第二步用代入消元法解方程组，第三步计算代数式的值。
【解析】
解：
∵$-2x^{m-1}y^{4}$与$5x^{n}y^{m-2n}$是同类项
∴相同字母的指数对应相等，可得方程组：
$\begin{cases}m-1 = n&①\\m - 2n = 4&②\end{cases}$
把①代入②得：$m - 2(m - 1) = 4$
去括号得：$m - 2m + 2 = 4$
移项合并同类项得：$-m = 2$
解得：$m = -2$
把$m=-2$代入①得：$n = -2 - 1 = -3$
∴$m + n = -2 + (-3) = -5$
【答案】
-5
【知识点】
同类项的定义，二元一次方程组的解法
【点评】
本题是基础常考题，核心考查同类项的概念和简单二元一次方程组的求解，解题的关键是准确抓住同类项“相同字母指数相等”的特征列方程，计算时注意符号避免出错即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。根据这个性质，我们可以得到两个关于m、n的等式，组成二元一次方程组，解出m、n的值后，代入计算m+n即可。具体步骤为：第一步根据同类项指数相等的特征列方程组，第二步用代入消元法解方程组，第三步计算代数式的值。
【解析】
解：
∵$-2x^{m-1}y^{4}$与$5x^{n}y^{m-2n}$是同类项
∴相同字母的指数对应相等，可得方程组：
$\begin{cases}m-1 = n&①\\m - 2n = 4&②\end{cases}$
把①代入②得：$m - 2(m - 1) = 4$
去括号得：$m - 2m + 2 = 4$
移项合并同类项得：$-m = 2$
解得：$m = -2$
把$m=-2$代入①得：$n = -2 - 1 = -3$
∴$m + n = -2 + (-3) = -5$
【答案】
-5
【知识点】
同类项的定义，二元一次方程组的解法
【点评】
本题是基础常考题，核心考查同类项的概念和简单二元一次方程组的求解，解题的关键是准确抓住同类项“相同字母指数相等”的特征列方程，计算时注意符号避免出错即可。
【难度系数】
0.8
16.在平面直角坐标系中，5个大小、形状完全相同的长方形纸片摆成如图所示的图案，已知点B(-10,7)，则点A的坐标是
(-3,9)
。答案
16.(-3,9)
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先设每个小长方形的长为$a$，宽为$b$，结合点B的坐标和图形的拼接特点建立等量关系，求出$a$和$b$的值，再根据点A的位置计算其坐标。首先观察图形，第一层两个横放的小长方形总水平长度对应x轴上从-10到0的距离，可得关于$a$的方程；点B的纵坐标是横放长方形的宽与竖放长方形的长之和，可得第二个方程，求解得到$a$、$b$后，分别分析A的横、纵坐标即可。
【解析】
设每个完全相同的小长方形的长为$a$，宽为$b$。
1. 根据图形特征列方程求解$a$、$b$：
第一层有2个横放的小长方形，总水平长度等于x轴上从-10到0的距离10，因此$2a=10$，解得$a=5$。
点B的纵坐标为7，对应1个横放长方形的宽加1个竖放长方形的长，因此$a+b=7$，将$a=5$代入得$5+b=7$，解得$b=2$。
2. 计算点A的坐标：
纵坐标：点A的高度为1个长加2个宽，即$a+2b=5+2×2=9$。
横坐标：点A在y轴左侧，距离y轴的水平距离为$a-b=5-2=3$，因此横坐标为$-3$。
综上，点A的坐标为$(-3,9)$。
【答案】
$(-3,9)$
【知识点】
1. 平面直角坐标系
2. 二元一次方程组的应用
3. 图形拼接
【点评】
本题结合了平面直角坐标系与图形拼接的知识，解题核心是通过观察图形找到小长方形长宽的等量关系，建立方程组求解后结合点的位置确定坐标，能有效考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以先设每个小长方形的长为$a$，宽为$b$，结合点B的坐标和图形的拼接特点建立等量关系，求出$a$和$b$的值，再根据点A的位置计算其坐标。首先观察图形，第一层两个横放的小长方形总水平长度对应x轴上从-10到0的距离，可得关于$a$的方程；点B的纵坐标是横放长方形的宽与竖放长方形的长之和，可得第二个方程，求解得到$a$、$b$后，分别分析A的横、纵坐标即可。
【解析】
设每个完全相同的小长方形的长为$a$，宽为$b$。
1. 根据图形特征列方程求解$a$、$b$：
第一层有2个横放的小长方形，总水平长度等于x轴上从-10到0的距离10，因此$2a=10$，解得$a=5$。
点B的纵坐标为7，对应1个横放长方形的宽加1个竖放长方形的长，因此$a+b=7$，将$a=5$代入得$5+b=7$，解得$b=2$。
2. 计算点A的坐标：
纵坐标：点A的高度为1个长加2个宽，即$a+2b=5+2×2=9$。
横坐标：点A在y轴左侧，距离y轴的水平距离为$a-b=5-2=3$，因此横坐标为$-3$。
综上，点A的坐标为$(-3,9)$。
【答案】
$(-3,9)$
【知识点】
1. 平面直角坐标系
2. 二元一次方程组的应用
3. 图形拼接
【点评】
本题结合了平面直角坐标系与图形拼接的知识，解题核心是通过观察图形找到小长方形长宽的等量关系，建立方程组求解后结合点的位置确定坐标，能有效考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
17.某中学组织若干名学生组成冰雪节志愿者小组，负责冰雕展区物资管理.若小组中每人分配4件工具，则剩余10件；若前面每人分配6件工具，则最后一人分到了工具但不足4件.这批工具共有
38
件.答案
17.38
解析
【分析】
这是一道典型的分配类实际应用题，解题思路如下：首先设志愿者的人数为未知数，根据第一种分配方式用含未知数的代数式表示出工具的总数量；再抓住第二种分配方式中“最后一人分到了工具但不足4件”的核心不等关系，即最后一人分到的工具数大于0且小于4，列出对应的一元一次不等式组；解不等式组得到人数的取值范围，结合人数是正整数的隐含条件确定人数的具体值，最后代入代数式即可求出工具总数量。
【解析】
解：设该志愿者小组共有$ x $名学生，则这批工具共有$ (4x + 10) $件。
根据最后一人分到的工具数=总工具数-前面$ x-1 $人分的工具数，可得不等式组：
$\begin{cases}4x + 10 - 6(x - 1) ＞ 0 \\4x + 10 - 6(x - 1) ＜ 4\end{cases}$
解第一个不等式：
$ 4x + 10 - 6x + 6 ＞ 0 $
$ -2x + 16 ＞ 0 $
$ x ＜ 8 $
解第二个不等式：
$ 4x + 10 - 6x + 6 ＜ 4 $
$ -2x + 16 ＜ 4 $
$ x ＞ 6 $
因此不等式组的解集为$ 6 ＜ x ＜ 8 $。
由于学生人数$ x $为正整数，故$ x = 7 $。
将$ x=7 $代入$ 4x + 10 $，得工具总数为：$ 4 × 7 + 10 = 38 $（件）。
【答案】
38
【知识点】
1. 一元一次不等式组的应用
2. 实际问题的正整数解
【点评】
本题属于分配类不等式常规应用题，解题的关键是准确挖掘题干中的不等关系列出不等式组，同时要注意实际问题中未知数的取值通常为正整数，这是此类题的常见易错点。
【难度系数】
0.6
这是一道典型的分配类实际应用题，解题思路如下：首先设志愿者的人数为未知数，根据第一种分配方式用含未知数的代数式表示出工具的总数量；再抓住第二种分配方式中“最后一人分到了工具但不足4件”的核心不等关系，即最后一人分到的工具数大于0且小于4，列出对应的一元一次不等式组；解不等式组得到人数的取值范围，结合人数是正整数的隐含条件确定人数的具体值，最后代入代数式即可求出工具总数量。
【解析】
解：设该志愿者小组共有$ x $名学生，则这批工具共有$ (4x + 10) $件。
根据最后一人分到的工具数=总工具数-前面$ x-1 $人分的工具数，可得不等式组：
$\begin{cases}4x + 10 - 6(x - 1) ＞ 0 \\4x + 10 - 6(x - 1) ＜ 4\end{cases}$
解第一个不等式：
$ 4x + 10 - 6x + 6 ＞ 0 $
$ -2x + 16 ＞ 0 $
$ x ＜ 8 $
解第二个不等式：
$ 4x + 10 - 6x + 6 ＜ 4 $
$ -2x + 16 ＜ 4 $
$ x ＞ 6 $
因此不等式组的解集为$ 6 ＜ x ＜ 8 $。
由于学生人数$ x $为正整数，故$ x = 7 $。
将$ x=7 $代入$ 4x + 10 $，得工具总数为：$ 4 × 7 + 10 = 38 $（件）。
【答案】
38
【知识点】
1. 一元一次不等式组的应用
2. 实际问题的正整数解
【点评】
本题属于分配类不等式常规应用题，解题的关键是准确挖掘题干中的不等关系列出不等式组，同时要注意实际问题中未知数的取值通常为正整数，这是此类题的常见易错点。
【难度系数】
0.6
18.已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x+3y=4-a, \\ x-y=3a\end{cases}$有下列结论:①当这个方程组的解$x,y$的值互为相反数时，$a=-2$；②当$a=1$时，方程组的解也是方程$x+y=4+2a$的解；③无论$a$取什么实数，$x+2y$的值始终不变；④若用含$x$的式子表示$y$，则$y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2}$。其中正确的有 ______ (填序号)。
答案
18.①③④
解析
【分析】首先我们可以通过加减消元法求出原方程组中x、y关于参数a的表达式，再依次对4个结论分别验证：对于结论①，利用相反数的性质x+y=0代入表达式求解a判断；结论②将a=1代入得x、y的值，再代入方程x+y=4+2a验证左右是否相等；结论③计算x+2y的表达式，化简后看是否含参数a即可判断；结论④消去参数a，将y用含x的式子表示出来对比即可。
【解析】首先解原方程组$\begin{cases}x+3y=4-a \quad① \\ x-y=3a \quad②\end{cases}$
用①-②得：$4y=4-4a$，解得$y=1-a$
把$y=1-a$代入②得：$x - (1-a)=3a$，解得$x=2a+1$
接下来逐个验证结论：
①若x,y互为相反数，则$x+y=0$，代入得：$(2a+1)+(1-a)=0$，解得$a=-2$，故①正确；
②当$a=1$时，$x=2×1+1=3$，$y=1-1=0$，代入方程$x+y=4+2a$，左边$=3+0=3$，右边$=4+2×1=6$，左边≠右边，故②错误；
③计算$x+2y=(2a+1)+2(1-a)=2a+1+2-2a=3$，结果为定值，和a的取值无关，故③正确；
④由$x=2a+1$可得$a=\frac{x-1}{2}$，代入$y=1-a$得：$y=1-\frac{x-1}{2}=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$，故④正确。
综上，正确的结论是①③④。
【答案】①③④
【知识点】二元一次方程组的解，加减消元法，含参方程组判断
【点评】这道题考查含参数的二元一次方程组的解的相关判断，解题关键是先求出方程组的通解，再结合每个结论的条件逐一验证，也可运用整体思想简化计算，需注意计算的准确性。
【难度系数】0.7
【解析】首先解原方程组$\begin{cases}x+3y=4-a \quad① \\ x-y=3a \quad②\end{cases}$
用①-②得：$4y=4-4a$，解得$y=1-a$
把$y=1-a$代入②得：$x - (1-a)=3a$，解得$x=2a+1$
接下来逐个验证结论：
①若x,y互为相反数，则$x+y=0$，代入得：$(2a+1)+(1-a)=0$，解得$a=-2$，故①正确；
②当$a=1$时，$x=2×1+1=3$，$y=1-1=0$，代入方程$x+y=4+2a$，左边$=3+0=3$，右边$=4+2×1=6$，左边≠右边，故②错误；
③计算$x+2y=(2a+1)+2(1-a)=2a+1+2-2a=3$，结果为定值，和a的取值无关，故③正确；
④由$x=2a+1$可得$a=\frac{x-1}{2}$，代入$y=1-a$得：$y=1-\frac{x-1}{2}=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$，故④正确。
综上，正确的结论是①③④。
【答案】①③④
【知识点】二元一次方程组的解，加减消元法，含参方程组判断
【点评】这道题考查含参数的二元一次方程组的解的相关判断，解题关键是先求出方程组的通解，再结合每个结论的条件逐一验证，也可运用整体思想简化计算，需注意计算的准确性。
【难度系数】0.7
