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10. 把一副三角尺按如图2-2-7所示的方式放置，其中$∠ C=∠ DFE=90°$，$∠ A=45°$，$∠ E=60°$，点D在斜边AB上. 现将三角尺DEF绕着点D顺时针旋转，当DF第一次与BC平行时，$∠ BDE$的度数是
$15°$
.答案
10.$15°$
解析
【分析】
解题时先明确两个三角尺的内角度数，当DF第一次与BC平行时，利用平行线的性质求出∠FDB的度数，再结合∠EDF的固定度数，通过角度的差运算即可求出∠BDE的度数。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，
∴∠B=180°-∠C-∠A=45°，
在Rt△DEF中，∠DFE=90°，∠E=60°，
∴∠EDF=180°-∠DFE-∠E=30°，
当DF//BC时，根据两直线平行，内错角相等，可得：
∠FDB=∠B=45°，
∴∠BDE=∠FDB - ∠EDF=45°-30°=15°。
【答案】
15°
【知识点】
三角尺内角度数；平行线的性质；角度计算
【点评】
本题结合三角尺的旋转场景考查几何基础知识点，解题核心是熟练掌握常见三角尺的角度特征，能准确运用平行线的性质推导角的等量关系，是几何基础阶段的典型练习题。
【难度系数】
0.8
解题时先明确两个三角尺的内角度数，当DF第一次与BC平行时，利用平行线的性质求出∠FDB的度数，再结合∠EDF的固定度数，通过角度的差运算即可求出∠BDE的度数。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，
∴∠B=180°-∠C-∠A=45°，
在Rt△DEF中，∠DFE=90°，∠E=60°，
∴∠EDF=180°-∠DFE-∠E=30°，
当DF//BC时，根据两直线平行，内错角相等，可得：
∠FDB=∠B=45°，
∴∠BDE=∠FDB - ∠EDF=45°-30°=15°。
【答案】
15°
【知识点】
三角尺内角度数；平行线的性质；角度计算
【点评】
本题结合三角尺的旋转场景考查几何基础知识点，解题核心是熟练掌握常见三角尺的角度特征，能准确运用平行线的性质推导角的等量关系，是几何基础阶段的典型练习题。
【难度系数】
0.8
11. 如图2-2-8，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，$△ ABC$的三个顶点A，B，C都在格点(正方形网格的交点称为格点)上. 现将$△ ABC$平移，使点A平移到点D，点E，F分别是B，C的对应点.
(1)请在图中画出平移后的$△ DEF$；
(2)$△ ABC$的面积为多少？
图2-2-8
(1)请在图中画出平移后的$△ DEF$；
(2)$△ ABC$的面积为多少？
图2-2-8
答案
11.(1)利用平移变换的性质分别作出B，C的对应点E，F，然后连接DE，EF，FD，图略。
(2)7
(2)7
解析
【分析】
(1) 平移作图的核心是所有点的平移规律完全一致，首先观察点A到点D的位置变化，确定平移的方向和距离：向右平移7个单位、向下平移2个单位；再将点B、C按照相同规律平移得到对应点E、F，最后顺次连接三个对应点即可得到平移后的三角形。
(2) 格点三角形没有直接可用的底和高，采用常用的割补法计算面积：将△ABC放入一个完全覆盖它的矩形中，用矩形总面积减去矩形内△ABC周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 确定平移规律：点A向右平移7格，再向下平移2格得到点D；
② 分别将点B、C向右平移7格、向下平移2格，得到对应点E、F；
③ 顺次连接DE、EF、FD，所得△DEF即为平移后的图形。
(2) 面积计算：
选取覆盖△ABC的矩形，矩形长为6，宽为4，矩形面积 = 6×4 = 24；
△ABC周围三个直角三角形的面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}×2×4=4$，$S_2=\frac{1}{2}×6×1=3$，$S_3=\frac{1}{2}×4×3=6$；
因此$S_{△ABC}=24 - 4 - 3 - 6=7$。
【答案】
(1) 见解析作图步骤，图略；
(2) 7
【知识点】
平移作图，割补法求格点面积
【点评】
本题考查平移性质的应用和格点图形面积的计算，平移作图需保证所有点平移的方向、距离完全一致，割补法是计算格点不规则图形面积的常用方法，掌握这两个要点即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 平移作图的核心是所有点的平移规律完全一致，首先观察点A到点D的位置变化，确定平移的方向和距离：向右平移7个单位、向下平移2个单位；再将点B、C按照相同规律平移得到对应点E、F，最后顺次连接三个对应点即可得到平移后的三角形。
(2) 格点三角形没有直接可用的底和高，采用常用的割补法计算面积：将△ABC放入一个完全覆盖它的矩形中，用矩形总面积减去矩形内△ABC周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 确定平移规律：点A向右平移7格，再向下平移2格得到点D；
② 分别将点B、C向右平移7格、向下平移2格，得到对应点E、F；
③ 顺次连接DE、EF、FD，所得△DEF即为平移后的图形。
(2) 面积计算：
选取覆盖△ABC的矩形，矩形长为6，宽为4，矩形面积 = 6×4 = 24；
△ABC周围三个直角三角形的面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}×2×4=4$，$S_2=\frac{1}{2}×6×1=3$，$S_3=\frac{1}{2}×4×3=6$；
因此$S_{△ABC}=24 - 4 - 3 - 6=7$。
【答案】
(1) 见解析作图步骤，图略；
(2) 7
【知识点】
平移作图，割补法求格点面积
【点评】
本题考查平移性质的应用和格点图形面积的计算，平移作图需保证所有点平移的方向、距离完全一致，割补法是计算格点不规则图形面积的常用方法，掌握这两个要点即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
12. 已知C为射线AB上方一点，过点C作AB的平行线MN，点O在射线AC上运动(不与点A，C重合)，点D在射线CM上，连接OD，满足∠COD = m∠BAC(0＜m＜1).
(1)如图2-2-9①，点O在线段AC上，∠BAC=60°，若m=$\frac{1}{2}$，依题意补全图形，并直接写出∠MDO的度数.
(2)点E，F在射线CN上，连接AE，OF，满足∠COF=(1−m)∠CAE.
①如图2-2-9②，点O在线段AC上，AE⊥AB，写出m的值，使得∠MDO+∠NFO恒为定值，并求出此定值；
②如图2-2-9③，∠BAC=70°，∠CAE=50°，若直线OD和直线OF中至少有一条与直线AE平行或垂直，直接写出m的值.
(1)如图2-2-9①，点O在线段AC上，∠BAC=60°，若m=$\frac{1}{2}$，依题意补全图形，并直接写出∠MDO的度数.
(2)点E，F在射线CN上，连接AE，OF，满足∠COF=(1−m)∠CAE.
①如图2-2-9②，点O在线段AC上，AE⊥AB，写出m的值，使得∠MDO+∠NFO恒为定值，并求出此定值；
②如图2-2-9③，∠BAC=70°，∠CAE=50°，若直线OD和直线OF中至少有一条与直线AE平行或垂直，直接写出m的值.
答案
12.(1)补全图形略，$150°$
(2)①$m=\frac{1}{2}$，$225°$ ②$\frac{1}{5}$，$\frac{4}{7}$或$\frac{5}{7}$
(2)①$m=\frac{1}{2}$，$225°$ ②$\frac{1}{5}$，$\frac{4}{7}$或$\frac{5}{7}$
解析
【分析】
(1) 先利用平行线的内错角相等得到∠ACN与∠BAC相等，再求出△COD的两个内角，结合邻补角关系即可计算∠MDO的度数。
(2) ① 先由垂直关系得∠BAC+∠CAE=90°，将∠MDO和∠NFO转化为三角形外角形式，合并后令含变量∠BAC的项系数为0，即可求出m的值和定值。
② 分OD//AE、OD⊥AE、OF⊥AE三种符合取值范围的情况，结合平行、垂直的角度关系列方程求解m，舍去不符合0＜m＜1的情况。
【解析】
(1) 补全图形略：
∵ MN//AB，
∴ ∠ACN=∠BAC=60°（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠OCD=∠ACM=180°-60°=120°，
∵ $m=\frac{1}{2}$，
∴ ∠COD=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
在△COD中，∠CDO=180°-120°-30°=30°，
∴ ∠MDO=180°-30°=150°。
(2) ① 解：
∵ AE⊥AB，MN//AB，
∴ ∠BAE=90°，即∠BAC+∠CAE=90°，
由三角形外角性质可得：∠MDO=∠OCD+∠COD，∠NFO=∠OCF+∠COF，
∴ ∠MDO+∠NFO=(∠OCD+∠OCF)+(∠COD+∠COF)，
∵ ∠OCD+∠OCF=180°，∠COD=m∠BAC，∠COF=(1-m)∠CAE，
∴ 原式=180°+m∠BAC+(1-m)∠CAE，
代入∠CAE=90°-∠BAC得：原式=180°+90°(1-m)+(2m-1)∠BAC，
要使和为定值，需2m-1=0，解得$m=\frac{1}{2}$，
代入得定值为180°+90°×$\frac{1}{2}$=225°。
② 解：分情况讨论：
1. 若OD//AE：∠COD=∠CAE=50°，即70m=50，解得$m=\frac{5}{7}$，符合范围；
2. 若OD⊥AE：∠COD+∠CAE=90°，即70m+50°=90°，解得$m=\frac{4}{7}$，符合范围；
3. 若OF⊥AE：∠COF+∠CAE=90°，即50(1-m)+50°=90°，解得$m=\frac{1}{5}$，符合范围；
4. 若OF//AE：得m=0，不符合0＜m＜1，舍去。
综上，m的值为$\frac{1}{5}$、$\frac{4}{7}$或$\frac{5}{7}$。
【答案】
(1) 补全图形略，$\boldsymbol{150°}$
(2) ① $\boldsymbol{m=\frac{1}{2}}$，定值为$\boldsymbol{225°}$；② $\boldsymbol{\frac{1}{5}}$，$\boldsymbol{\frac{4}{7}}$或$\boldsymbol{\frac{5}{7}}$
【知识点】
平行线的性质，三角形内外角关系，分类讨论思想
【点评】
本题是平行线与角度计算的综合题型，结合动点背景考查逻辑推理能力，需要熟练掌握角度转化方法，根据定值要求和位置关系分类讨论求解，避免漏解。
【难度系数】
0.3
(1) 先利用平行线的内错角相等得到∠ACN与∠BAC相等，再求出△COD的两个内角，结合邻补角关系即可计算∠MDO的度数。
(2) ① 先由垂直关系得∠BAC+∠CAE=90°，将∠MDO和∠NFO转化为三角形外角形式，合并后令含变量∠BAC的项系数为0，即可求出m的值和定值。
② 分OD//AE、OD⊥AE、OF⊥AE三种符合取值范围的情况，结合平行、垂直的角度关系列方程求解m，舍去不符合0＜m＜1的情况。
【解析】
(1) 补全图形略：
∵ MN//AB，
∴ ∠ACN=∠BAC=60°（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠OCD=∠ACM=180°-60°=120°，
∵ $m=\frac{1}{2}$，
∴ ∠COD=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
在△COD中，∠CDO=180°-120°-30°=30°，
∴ ∠MDO=180°-30°=150°。
(2) ① 解：
∵ AE⊥AB，MN//AB，
∴ ∠BAE=90°，即∠BAC+∠CAE=90°，
由三角形外角性质可得：∠MDO=∠OCD+∠COD，∠NFO=∠OCF+∠COF，
∴ ∠MDO+∠NFO=(∠OCD+∠OCF)+(∠COD+∠COF)，
∵ ∠OCD+∠OCF=180°，∠COD=m∠BAC，∠COF=(1-m)∠CAE，
∴ 原式=180°+m∠BAC+(1-m)∠CAE，
代入∠CAE=90°-∠BAC得：原式=180°+90°(1-m)+(2m-1)∠BAC，
要使和为定值，需2m-1=0，解得$m=\frac{1}{2}$，
代入得定值为180°+90°×$\frac{1}{2}$=225°。
② 解：分情况讨论：
1. 若OD//AE：∠COD=∠CAE=50°，即70m=50，解得$m=\frac{5}{7}$，符合范围；
2. 若OD⊥AE：∠COD+∠CAE=90°，即70m+50°=90°，解得$m=\frac{4}{7}$，符合范围；
3. 若OF⊥AE：∠COF+∠CAE=90°，即50(1-m)+50°=90°，解得$m=\frac{1}{5}$，符合范围；
4. 若OF//AE：得m=0，不符合0＜m＜1，舍去。
综上，m的值为$\frac{1}{5}$、$\frac{4}{7}$或$\frac{5}{7}$。
【答案】
(1) 补全图形略，$\boldsymbol{150°}$
(2) ① $\boldsymbol{m=\frac{1}{2}}$，定值为$\boldsymbol{225°}$；② $\boldsymbol{\frac{1}{5}}$，$\boldsymbol{\frac{4}{7}}$或$\boldsymbol{\frac{5}{7}}$
【知识点】
平行线的性质，三角形内外角关系，分类讨论思想
【点评】
本题是平行线与角度计算的综合题型，结合动点背景考查逻辑推理能力，需要熟练掌握角度转化方法，根据定值要求和位置关系分类讨论求解，避免漏解。
【难度系数】
0.3
