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9. 已知$M=(x-2)(x-6),N=(x-4)^2,$则$M$与$N$之间的大小关系是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
N＞M
解析
要比较M与N的大小，采用作差法，计算N-M的值：
N-M=(x-4)² - (x-2)(x-6)
展开式子得：(x² -8x +16) - (x² -8x +12)
合并同类项：x² -8x +16 -x² +8x -12 =4
因为4＞0，所以N-M＞0，即N＞M。
N-M=(x-4)² - (x-2)(x-6)
展开式子得：(x² -8x +16) - (x² -8x +12)
合并同类项：x² -8x +16 -x² +8x -12 =4
因为4＞0，所以N-M＞0，即N＞M。
10. 若 $ m + 98^2 - 1 = 102^2 $，则 $ m $ 的值为 ______。
答案
801
解析
根据题意，移项可得 $ m = 102^2 - 98^2 + 1 $，利用平方差公式 $ a^2 - b^2=(a-b)(a+b) $，计算得 $ 102^2 -98^2=(102-98)(102+98)=4×200=800 $，因此 $ m=800+1=801 $。
11. 如图,大正方形ABCM的边长为a,小正方形EBDN的边长为b,点E在AB上,大正方形与小正方形的面积差为60,则阴影部分的面积为.
答案
30
解析
阴影部分的面积可表示为两个三角形面积之和：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=S_{△ ACE}+S_{△ ADE}\\&=\frac{1}{2}× AE× BC + \frac{1}{2}× AE× BD\\&=\frac{1}{2}(a - b)· a + \frac{1}{2}(a - b)· b\\&=\frac{1}{2}(a - b)(a + b)\\&=\frac{1}{2}(a^2 - b^2)\end{aligned}$
已知大正方形与小正方形的面积差为60，即$a^2 - b^2=60$，代入得：$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}×60=30$。
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=S_{△ ACE}+S_{△ ADE}\\&=\frac{1}{2}× AE× BC + \frac{1}{2}× AE× BD\\&=\frac{1}{2}(a - b)· a + \frac{1}{2}(a - b)· b\\&=\frac{1}{2}(a - b)(a + b)\\&=\frac{1}{2}(a^2 - b^2)\end{aligned}$
已知大正方形与小正方形的面积差为60，即$a^2 - b^2=60$，代入得：$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}×60=30$。
12. 观察下面各式规律：
$1^2+(1×2)^2+2^2=(1×2+1)^2$；
$2^2+(2×3)^2+3^2=(2×3+1)^2$；
$3^2+(3×4)^2+4^2=(3×4+1)^2$
……
写出第$n$行的式子，并证明你的结论.
$1^2+(1×2)^2+2^2=(1×2+1)^2$；
$2^2+(2×3)^2+3^2=(2×3+1)^2$；
$3^2+(3×4)^2+4^2=(3×4+1)^2$
……
写出第$n$行的式子，并证明你的结论.
答案
第n行的式子为$n^2 + [n(n+1)]^2 + (n+1)^2 = [n(n+1)+1]^2$，证明如上。
解析
观察所给式子，第1行对应n=1，式子为$1^2+(1×2)^2+2^2=(1×2+1)^2$；第2行对应n=2，式子为$2^2+(2×3)^2+3^2=(2×3+1)^2$；第3行对应n=3，式子为$3^2+(3×4)^2+4^2=(3×4+1)^2$，由此推出第n行的式子为$n^2 + [n(n+1)]^2 + (n+1)^2 = [n(n+1)+1]^2$。
证明：左边$=n^2 + (n^2+n)^2 + (n+1)^2 =n^2 + n^4+2n^3+n^2 +n^2+2n+1 =n^4+2n^3+3n^2+2n+1$；
右边$=(n^2+n+1)^2 =n^4+2n^3+3n^2+2n+1$；
左边=右边，故等式成立。
证明：左边$=n^2 + (n^2+n)^2 + (n+1)^2 =n^2 + n^4+2n^3+n^2 +n^2+2n+1 =n^4+2n^3+3n^2+2n+1$；
右边$=(n^2+n+1)^2 =n^4+2n^3+3n^2+2n+1$；
左边=右边，故等式成立。
13. 阅读材料：
若$ m^2 - 2mn + 2n^2 - 4n + 4 = 0 $，求$ m,n $的值.
解:因为$ m^2 - 2mn + 2n^2 - 4n + 4 = 0 $，所以$(m^2 - 2mn + n^2)+(n^2 - 4n + 4)=0$，所以$(m - n)^2+(n - 2)^2=0$，所以$(m - n)^2=0,(n - 2)^2=0$，所以$ n = 2,m = 2 $.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1) 若$ a^2 + b^2 - 2a + 1 = 0 $，则$ a = \_\_\_\_\_\_ $，$ b = \_\_\_\_\_\_ $;
(2) 已知$ x^2 + 2y^2 - 2xy + 6y + 9 = 0 $，求$ x^y $的值;
(3) 已知$△ ABC$的三边长$ a,b,c $都是正整数，且满足$ 2a^2 + b^2 - 4a - 6b + 11 = 0 $，求$△ ABC$的周长.
若$ m^2 - 2mn + 2n^2 - 4n + 4 = 0 $，求$ m,n $的值.
解:因为$ m^2 - 2mn + 2n^2 - 4n + 4 = 0 $，所以$(m^2 - 2mn + n^2)+(n^2 - 4n + 4)=0$，所以$(m - n)^2+(n - 2)^2=0$，所以$(m - n)^2=0,(n - 2)^2=0$，所以$ n = 2,m = 2 $.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1) 若$ a^2 + b^2 - 2a + 1 = 0 $，则$ a = \_\_\_\_\_\_ $，$ b = \_\_\_\_\_\_ $;
(2) 已知$ x^2 + 2y^2 - 2xy + 6y + 9 = 0 $，求$ x^y $的值;
(3) 已知$△ ABC$的三边长$ a,b,c $都是正整数，且满足$ 2a^2 + b^2 - 4a - 6b + 11 = 0 $，求$△ ABC$的周长.
答案
（1）$1$，$0$；
（2）$-\frac{1}{27}$；
（3）$7$
（2）$-\frac{1}{27}$；
（3）$7$
解析
（1）对等式$a^2 + b^2 -2a +1=0$配方得：$(a-1)^2 + b^2 = 0$，根据平方数非负性，得$a-1=0$，$b=0$，故$a=1$，$b=0$。
（2）对等式$x^2 +2y^2 -2xy +6y +9=0$配方得：$(x-y)^2 + (y+3)^2 =0$，根据平方数非负性，得$x-y=0$，$y+3=0$，解得$y=-3$，$x=-3$，则$x^y=(-3)^{-3}=-\frac{1}{27}$。
（3）对等式$2a^2 +b^2 -4a -6b +11=0$配方得：$2(a-1)^2 + (b-3)^2 =0$，根据平方数非负性，得$a-1=0$，$b-3=0$，解得$a=1$，$b=3$。根据三角形三边关系，正整数$c$满足$|3-1|＜c＜3+1$，即$2＜c＜4$，故$c=3$，$△ ABC$的周长为$1+3+3=7$。
（2）对等式$x^2 +2y^2 -2xy +6y +9=0$配方得：$(x-y)^2 + (y+3)^2 =0$，根据平方数非负性，得$x-y=0$，$y+3=0$，解得$y=-3$，$x=-3$，则$x^y=(-3)^{-3}=-\frac{1}{27}$。
（3）对等式$2a^2 +b^2 -4a -6b +11=0$配方得：$2(a-1)^2 + (b-3)^2 =0$，根据平方数非负性，得$a-1=0$，$b-3=0$，解得$a=1$，$b=3$。根据三角形三边关系，正整数$c$满足$|3-1|＜c＜3+1$，即$2＜c＜4$，故$c=3$，$△ ABC$的周长为$1+3+3=7$。
