三、解答题
11. (1)解方程组$\begin{cases}3x - 5z = 6, \mathrm{①}\\x + 4z = -15. \mathrm{②}\end{cases}$

11.(1)由②,得x=-15-4z. ③
把③代入①,得3(-15-4z)-5z=6.
解得z=-3.
把z=-3代入③,得x=-3.
∴ 原方程组的解为$\begin{cases} x=-3, \\ z=-3. \end{cases}$

(2)已知方程组$\begin{cases}ax+y=15,①\\4x-by=-2.②\end{cases}$由于乙修改了方程①中的$a$,甲得到方程组的解为$\begin{cases}x=-3,\\y=-1;\end{cases}$由于甲修改了方程②中的$b$,乙得到方程组的解为$\begin{cases}x=4,\\y=3.\end{cases}$若按正确的计算,求$x+6y$的值.

(2)方法一. 将x=-3,y=-1代入②,得-12+b=-2. 所以b=10.
将x=4,y=3代入①,得4a+3=15.
所以a=3.
所以原方程组为$\begin{cases}3x+y=15,③\\4x-10y=-2. ④\end{cases}$
③×10+④,得34x=148. 所以x=$\dfrac{74}{17}$.
将x=$\dfrac{74}{17}$代入③,得3×$\dfrac{74}{17}$+y=15.
所以y=$\dfrac{33}{17}$. 则x+6y=$\dfrac{74}{17}$+$\dfrac{198}{17}$=16.
方法二. 将x=-3,y=-1代入②,得-12+b=-2. 所以b=10.
将x=4,y=3代入①,得4a+3=15.
所以a=3.
所以原方程组为$\begin{cases}3x+y=15,③\\4x-10y=-2. ④\end{cases}$
由④,得2x-5y=-1. ⑤
由③-⑤,得x+6y=16.

12. 国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动. 班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买). 其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，试求共有几种购买方案.

12. 设购买笔记本x本,碳素笔y支.
根据题意,得3x+2y=28.
∴ y=14-$\dfrac{3}{2}$x.
∵ x,y均为正整数,
∴ $\begin{cases} x=2, \\ y=11 \end{cases}$或$\begin{cases} x=4, \\ y=8 \end{cases}$或$\begin{cases} x=6, \\ y=5 \end{cases}$或$\begin{cases} x=8, \\ y=2 \end{cases}$.
答:共有4种购买方案.