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8.在大量重复试验中,关于随机事件发生的频率和概率,下列说法正确的是 (
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.在相同的条件下进行试验,若试验次数相同,则各小组所得频率的值也会相同
D.随着试验次数的增加,频率一般会逐步稳定在概率数值附近
D
)A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.在相同的条件下进行试验,若试验次数相同,则各小组所得频率的值也会相同
D.随着试验次数的增加,频率一般会逐步稳定在概率数值附近
答案
8.D
解析
【分析】
这道题考查随机事件的频率和概率的相关概念，解题时首先要明确两者的本质区别：概率是随机事件固有的固定数值，不会随试验情况改变；频率是试验中事件发生次数与总试验次数的比值，会受试验次数、试验随机结果的影响存在波动。我们只要结合两者的定义和关系，逐个判断选项的正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：频率是通过试验得到的波动数值，概率是事件本身固定的理论值，二者不能等同，故A错误；
B选项：频率=事件发生次数÷试验总次数，显然和试验次数有关，故B错误；
C选项：相同条件、相同试验次数下，由于随机事件的结果是不确定的，各小组得到的事件发生次数可能不同，因此频率也可能不同，故C错误；
D选项：根据频率的稳定性，大量重复试验时，频率会逐步稳定在概率的数值附近，这是频率和概率的核心联系，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
频率与概率的关系；频率的定义；概率的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是区分频率的波动性和概率的确定性，掌握大量重复试验下频率趋近于概率的规律即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
这道题考查随机事件的频率和概率的相关概念，解题时首先要明确两者的本质区别：概率是随机事件固有的固定数值，不会随试验情况改变；频率是试验中事件发生次数与总试验次数的比值，会受试验次数、试验随机结果的影响存在波动。我们只要结合两者的定义和关系，逐个判断选项的正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：频率是通过试验得到的波动数值，概率是事件本身固定的理论值，二者不能等同，故A错误；
B选项：频率=事件发生次数÷试验总次数，显然和试验次数有关，故B错误；
C选项：相同条件、相同试验次数下，由于随机事件的结果是不确定的，各小组得到的事件发生次数可能不同，因此频率也可能不同，故C错误；
D选项：根据频率的稳定性，大量重复试验时，频率会逐步稳定在概率的数值附近，这是频率和概率的核心联系，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
频率与概率的关系；频率的定义；概率的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是区分频率的波动性和概率的确定性，掌握大量重复试验下频率趋近于概率的规律即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
9. 某路口南北方向信号灯的设置时间为红灯25 s,绿灯30 s,黄灯5 s.王老师随机地由南往北开车到达该路口,他遇到绿灯的概率是 (
A.$\frac{6}{11}$
B.$\frac{5}{12}$
C.$\frac{1}{12}$
D.$\frac{1}{2}$
D
)A.$\frac{6}{11}$
B.$\frac{5}{12}$
C.$\frac{1}{12}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
9.D
解析
【分析】
这是一道简单的概率计算题目，解题思路如下：王老师随机到达路口，在信号灯的一个完整周期内，每个时刻到达的可能性相等，因此遇到绿灯的概率等于绿灯时长占信号灯一个周期总时长的比例。我们第一步先算出信号灯一个周期的总时长，第二步用绿灯时长除以总时长就能得到所求概率。
【解析】
首先计算信号灯一个周期的总时长：
总时长 = 红灯时长 + 绿灯时长 + 黄灯时长 = $25+30+5=60$（s）
根据等可能事件概率的计算方法，遇到绿灯的概率为绿灯时长与总时长的比值：
$P(\mathrm{遇到绿灯})=\frac{\mathrm{绿灯时长}}{\mathrm{总时长}}=\frac{30}{60}=\frac{1}{2}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
简单概率计算；等可能事件
【点评】
本题是概率类基础题型，解题核心是明确随机事件发生的概率等于对应事件的时长占总周期时长的比值，计算时注意先准确求出信号灯的总周期时长，再代入计算即可。
【难度系数】
0.9
这是一道简单的概率计算题目，解题思路如下：王老师随机到达路口，在信号灯的一个完整周期内，每个时刻到达的可能性相等，因此遇到绿灯的概率等于绿灯时长占信号灯一个周期总时长的比例。我们第一步先算出信号灯一个周期的总时长，第二步用绿灯时长除以总时长就能得到所求概率。
【解析】
首先计算信号灯一个周期的总时长：
总时长 = 红灯时长 + 绿灯时长 + 黄灯时长 = $25+30+5=60$（s）
根据等可能事件概率的计算方法，遇到绿灯的概率为绿灯时长与总时长的比值：
$P(\mathrm{遇到绿灯})=\frac{\mathrm{绿灯时长}}{\mathrm{总时长}}=\frac{30}{60}=\frac{1}{2}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
简单概率计算；等可能事件
【点评】
本题是概率类基础题型，解题核心是明确随机事件发生的概率等于对应事件的时长占总周期时长的比值，计算时注意先准确求出信号灯的总周期时长，再代入计算即可。
【难度系数】
0.9
10.一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种小球(每个球除颜色外都相同),三个人先后去摸球,一人摸一次,一次摸出一个小球,摸出后放回,摸出黑色小球为赢,那么这个游戏
(填“公平”或“不公平”)
公平
.(填“公平”或“不公平”)
答案
10.公平
解析
【分析】
要判断游戏是否公平，核心是看三位参与者赢的可能性是否相等。首先明确规则是摸球后放回，这意味着每次摸球时箱子里球的总数、各色球的数量都和初始状态完全一致，不会受之前摸球结果的影响，因此每次摸球摸到黑球的可能性大小是固定的，三个人获胜的可能性相同，即可判断游戏公平。
【解析】
判断游戏公平的依据是各参与方获胜的可能性是否相等：
1. 每次摸出小球后放回，因此三个人摸球时，箱子里红、黄、黑三种球的数量完全相同，摸到每种球的可能性都不受之前摸球的影响；
2. 因此三个人摸出黑色小球的可能性大小相等，即三个人赢的概率相等。
所以这个游戏是公平的。
【答案】
公平
【知识点】
1. 游戏公平性判定
2. 等可能事件的可能性
3. 放回摸球的特点
【点评】
本题易错点是误以为先摸球的人获胜的可能性更大，要注意放回摸球的规则下，每次摸球的条件完全相同，获胜可能性和摸球的先后顺序无关。
【难度系数】
0.9
要判断游戏是否公平，核心是看三位参与者赢的可能性是否相等。首先明确规则是摸球后放回，这意味着每次摸球时箱子里球的总数、各色球的数量都和初始状态完全一致，不会受之前摸球结果的影响，因此每次摸球摸到黑球的可能性大小是固定的，三个人获胜的可能性相同，即可判断游戏公平。
【解析】
判断游戏公平的依据是各参与方获胜的可能性是否相等：
1. 每次摸出小球后放回，因此三个人摸球时，箱子里红、黄、黑三种球的数量完全相同，摸到每种球的可能性都不受之前摸球的影响；
2. 因此三个人摸出黑色小球的可能性大小相等，即三个人赢的概率相等。
所以这个游戏是公平的。
【答案】
公平
【知识点】
1. 游戏公平性判定
2. 等可能事件的可能性
3. 放回摸球的特点
【点评】
本题易错点是误以为先摸球的人获胜的可能性更大，要注意放回摸球的规则下，每次摸球的条件完全相同，获胜可能性和摸球的先后顺序无关。
【难度系数】
0.9
11.口袋中有10个球(每个球除颜色外都相同),其中白球x个,红球2x个,其余为蓝球.从袋中随机摸出一个球,摸到红球则甲获胜,摸到蓝球则乙获胜.要使游戏对甲、乙双方公平,则x应该等于
2
.答案
11.2
解析
【分析】
要判断游戏公平，核心是甲、乙双方获胜的概率相等。摸球时，摸到某颜色球的概率等于该颜色球的数量除以总球数，总球数固定为10，因此只要红球数量等于蓝球数量，双方获胜概率就相等。解题时先表示出蓝球的数量，再根据红球和蓝球数量相等列一元一次方程求解，最后验证解是否符合球的数量为正整数的实际要求即可。
【解析】
首先计算蓝球的数量：
总球数为10，白球x个，红球2x个，因此蓝球数量为 $10 - x - 2x = 10 - 3x$ 个。
游戏对甲乙公平，说明摸到红球的概率等于摸到蓝球的概率，由于总球数相同，等价于红球数量=蓝球数量，可列方程：
$2x = 10 - 3x$
移项得：$2x + 3x = 10$
合并同类项得：$5x = 10$
解得：$x = 2$
验证：当x=2时，白球2个，红球4个，蓝球4个，均为正整数，符合实际意义。
【答案】
2
【知识点】
游戏公平性、简单概率计算、一元一次方程应用
【点评】
本题主要考查游戏公平性的判断和方程的实际应用，解题关键是将游戏公平的条件转化为对应球的数量相等，进而列方程求解，整体侧重基础概念的灵活运用。
【难度系数】
0.8
要判断游戏公平，核心是甲、乙双方获胜的概率相等。摸球时，摸到某颜色球的概率等于该颜色球的数量除以总球数，总球数固定为10，因此只要红球数量等于蓝球数量，双方获胜概率就相等。解题时先表示出蓝球的数量，再根据红球和蓝球数量相等列一元一次方程求解，最后验证解是否符合球的数量为正整数的实际要求即可。
【解析】
首先计算蓝球的数量：
总球数为10，白球x个，红球2x个，因此蓝球数量为 $10 - x - 2x = 10 - 3x$ 个。
游戏对甲乙公平，说明摸到红球的概率等于摸到蓝球的概率，由于总球数相同，等价于红球数量=蓝球数量，可列方程：
$2x = 10 - 3x$
移项得：$2x + 3x = 10$
合并同类项得：$5x = 10$
解得：$x = 2$
验证：当x=2时，白球2个，红球4个，蓝球4个，均为正整数，符合实际意义。
【答案】
2
【知识点】
游戏公平性、简单概率计算、一元一次方程应用
【点评】
本题主要考查游戏公平性的判断和方程的实际应用，解题关键是将游戏公平的条件转化为对应球的数量相等，进而列方程求解，整体侧重基础概念的灵活运用。
【难度系数】
0.8
12.如图是一个可以自由转动的转盘，该转盘被等分为16个扇形，现计划将其中一些扇形分别涂上红色、蓝色、黄色，转动转盘任其自由停止，若指针正好指在红色、蓝色、黄色区域，即可分别获得一、二、三等奖。已知其中2个扇形涂红色，4个扇形涂蓝色，若要使转动一次转盘中奖的概率为$\frac{3}{4}$，则涂黄色的扇形应有
6
个。答案
12.6
解析
【分析】
解题时先明确概率的计算逻辑：事件发生的概率等于符合条件的情况数除以总情况数。本题中中奖包含指针落在红色、蓝色、黄色区域三类情况，因此我们可以先根据总扇形数和给出的中奖概率，先算出所有中奖区域的总扇形个数，再减去已知的红色、蓝色扇形个数，就能得到涂黄色的扇形个数。
【解析】
解：第一步先计算中奖区域的总扇形数量：
已知转盘总共有16个等分扇形，转动一次中奖的概率为$\frac{3}{4}$，因此中奖的扇形总个数为：
$16×\frac{3}{4}=12$（个）
第二步计算黄色扇形的数量：
已知红色扇形有2个，蓝色扇形有4个，因此黄色扇形个数为：
$12-2-4=6$（个）
【答案】
6
【知识点】
概率的计算；概率实际应用
【点评】
本题是概率的基础考查题型，难度较低，只要掌握概率的基本计算方法，理清中奖总区域和各颜色区域的数量关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时先明确概率的计算逻辑：事件发生的概率等于符合条件的情况数除以总情况数。本题中中奖包含指针落在红色、蓝色、黄色区域三类情况，因此我们可以先根据总扇形数和给出的中奖概率，先算出所有中奖区域的总扇形个数，再减去已知的红色、蓝色扇形个数，就能得到涂黄色的扇形个数。
【解析】
解：第一步先计算中奖区域的总扇形数量：
已知转盘总共有16个等分扇形，转动一次中奖的概率为$\frac{3}{4}$，因此中奖的扇形总个数为：
$16×\frac{3}{4}=12$（个）
第二步计算黄色扇形的数量：
已知红色扇形有2个，蓝色扇形有4个，因此黄色扇形个数为：
$12-2-4=6$（个）
【答案】
6
【知识点】
概率的计算；概率实际应用
【点评】
本题是概率的基础考查题型，难度较低，只要掌握概率的基本计算方法，理清中奖总区域和各颜色区域的数量关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
