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8. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线DF与∠BAC的平分线AE平行，若∠B=50°，则∠BCF=
$70°$
。答案
8.$70°$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步先利用直角三角形两锐角互余的性质，求出∠BAC的度数；第二步根据角平分线的定义，计算出∠CAE的度数；第三步结合平行线内错角相等的性质得到∠ACD的度数，最后利用平角为180°，减去已知的∠ACB和∠ACD的度数，即可求出∠BCF的大小。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°
根据直角三角形两锐角互余，得：
$∠ BAC=90°-∠ B=90°-50°=40°$
∵AE是∠BAC的平分线
∴$∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×40°=20°$
∵DF//AE
∴$∠ ACD=∠ CAE=20°$（两直线平行，内错角相等）
∵D、C、F三点共线，$∠ DCF=180°$
∴$∠ BCF=180°-∠ ACB-∠ ACD=180°-90°-20°=70°$
【答案】
$70°$
【知识点】
直角三角形的性质；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考查了三角形角度相关的基础性质，解题时只要理清各个角之间的位置和数量关系，逐步推导就能得到结果，对学生的逻辑推导能力有一定基础要求。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步先利用直角三角形两锐角互余的性质，求出∠BAC的度数；第二步根据角平分线的定义，计算出∠CAE的度数；第三步结合平行线内错角相等的性质得到∠ACD的度数，最后利用平角为180°，减去已知的∠ACB和∠ACD的度数，即可求出∠BCF的大小。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°
根据直角三角形两锐角互余，得：
$∠ BAC=90°-∠ B=90°-50°=40°$
∵AE是∠BAC的平分线
∴$∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×40°=20°$
∵DF//AE
∴$∠ ACD=∠ CAE=20°$（两直线平行，内错角相等）
∵D、C、F三点共线，$∠ DCF=180°$
∴$∠ BCF=180°-∠ ACB-∠ ACD=180°-90°-20°=70°$
【答案】
$70°$
【知识点】
直角三角形的性质；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考查了三角形角度相关的基础性质，解题时只要理清各个角之间的位置和数量关系，逐步推导就能得到结果，对学生的逻辑推导能力有一定基础要求。
【难度系数】
0.7
三、解答题
9. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F，若$∠ F=30°$，$DE=1$，求BE的长.
9. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F，若$∠ F=30°$，$DE=1$，求BE的长.
答案
9. 解：$\because ∠ ACB=90°$，$FD⊥ AB$，$\therefore ∠ ACB=∠ FDB=90°$. $\because ∠ F=30°$，$\therefore ∠ A=∠ F=30°$(同角的余角相等). 又$\because AB$的垂直平分线$DE$交$AC$于点$E$，$\therefore ∠ EBA=∠ A=30°$，所以，直角$△ DBE$中，$BE=2DE=2$.
解析
【分析】
解题时首先从已知的直角条件出发，利用同角的余角相等推导∠A和∠F的等量关系，得到∠A的度数；再结合垂直平分线的性质得出EA=EB，进而得到∠EBA的度数；最后在直角三角形EDB中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质即可求出BE的长度。
【解析】
解：$\because ∠ACB=90°$，$FD⊥AB$，
$\therefore ∠ACB=∠FDB=90°$，
$\therefore ∠A+∠ABC=90°$，$∠F+∠ABC=90°$，
$\therefore ∠A=∠F=30°$（同角的余角相等）。
又$\because DE$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore EA=EB$，
$\therefore ∠EBA=∠A=30°$。
在$Rt△DBE$中，$∠EDB=90°$，$∠EBD=30°$，
$\therefore BE=2DE=2×1=2$。
【答案】
$BE$的长为$\boldsymbol{2}$
【知识点】
垂直平分线的性质；直角三角形30°角的性质；余角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是熟练掌握角的等量代换方法和特殊三角形的性质，通过一步步推导找到直角三角形中30°角对应的边的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知的直角条件出发，利用同角的余角相等推导∠A和∠F的等量关系，得到∠A的度数；再结合垂直平分线的性质得出EA=EB，进而得到∠EBA的度数；最后在直角三角形EDB中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质即可求出BE的长度。
【解析】
解：$\because ∠ACB=90°$，$FD⊥AB$，
$\therefore ∠ACB=∠FDB=90°$，
$\therefore ∠A+∠ABC=90°$，$∠F+∠ABC=90°$，
$\therefore ∠A=∠F=30°$（同角的余角相等）。
又$\because DE$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore EA=EB$，
$\therefore ∠EBA=∠A=30°$。
在$Rt△DBE$中，$∠EDB=90°$，$∠EBD=30°$，
$\therefore BE=2DE=2×1=2$。
【答案】
$BE$的长为$\boldsymbol{2}$
【知识点】
垂直平分线的性质；直角三角形30°角的性质；余角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是熟练掌握角的等量代换方法和特殊三角形的性质，通过一步步推导找到直角三角形中30°角对应的边的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是多少？
答案
10. $PB+PE$的最小值是10
解析
【分析】
本题属于最短路径（将军饮马）类问题，解题思路如下：1. 首先利用正方形的轴对称性，对角线AC是正方形的一条对称轴，点B与点D关于AC对称，因此线段PB与PD长度始终相等；2. 可将PB+PE转化为PD+PE，根据“两点之间线段最短”，当D、P、E三点共线时，PD+PE的和最小，最小值即为线段DE的长度；3. 最后结合已知条件计算正方形边长，再用勾股定理求出DE的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴点B和点D关于AC对称，
∴PB = PD，
∴PB + PE = PD + PE，
根据两点之间线段最短，当D、P、E三点共线时，PD+PE取得最小值，最小值为DE的长度。
已知BE=2，AE=3BE，
∴AE = 3×2 = 6，
∴正方形边长AB = AE + BE = 6 + 2 = 8，即AD=8，
又
∵∠BAD=90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
DE = √(AE² + AD²) = √(6² + 8²) = √(36+64) = √100 = 10
∴PB+PE的最小值是10。
【答案】
10
【知识点】
轴对称的性质，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题是轴对称性质的典型应用题型，核心是通过轴对称将折线段的和转化为两点间的线段长度求解，需要熟练掌握常见对称图形的对称特性以及将军饮马模型的解题思路。
【难度系数】
0.7
本题属于最短路径（将军饮马）类问题，解题思路如下：1. 首先利用正方形的轴对称性，对角线AC是正方形的一条对称轴，点B与点D关于AC对称，因此线段PB与PD长度始终相等；2. 可将PB+PE转化为PD+PE，根据“两点之间线段最短”，当D、P、E三点共线时，PD+PE的和最小，最小值即为线段DE的长度；3. 最后结合已知条件计算正方形边长，再用勾股定理求出DE的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴点B和点D关于AC对称，
∴PB = PD，
∴PB + PE = PD + PE，
根据两点之间线段最短，当D、P、E三点共线时，PD+PE取得最小值，最小值为DE的长度。
已知BE=2，AE=3BE，
∴AE = 3×2 = 6，
∴正方形边长AB = AE + BE = 6 + 2 = 8，即AD=8，
又
∵∠BAD=90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
DE = √(AE² + AD²) = √(6² + 8²) = √(36+64) = √100 = 10
∴PB+PE的最小值是10。
【答案】
10
【知识点】
轴对称的性质，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题是轴对称性质的典型应用题型，核心是通过轴对称将折线段的和转化为两点间的线段长度求解，需要熟练掌握常见对称图形的对称特性以及将军饮马模型的解题思路。
【难度系数】
0.7
11. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF＝CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO.
(1)已知$EO=\sqrt{2}$，求正方形ABCD的边长；
(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.
(1)已知$EO=\sqrt{2}$，求正方形ABCD的边长；
(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.
答案
11. (1) 2 (2) $EM=\frac{1}{2}CN$，证明略.
解析
【分析】
(1) 解题思路：先根据等腰三角形三线合一的性质，由CF=CA、CE平分∠ACF得到E是AF中点，再结合正方形对角线互相平分的性质可知O是AC中点，由此可得EO是△AFC的中位线，得到EO与CF的数量关系，最后结合CF=AC、AC与正方形边长的关系代入数值计算即可。
(2) 解题思路：先利用正方形的性质和角平分线的定义计算相关角度，推导边的等量关系，结合等腰三角形的判定和线段的比例关系即可证明EM与CN的数量关系。
【解析】
(1) 设正方形ABCD的边长为$a$，则正方形的对角线$AC=\sqrt{2}a$。
∵ $CF=CA$，$CE$平分$∠ ACF$，
∴ 由等腰三角形三线合一的性质可得$E$是$AF$的中点。
∵ 正方形$ABCD$的对角线$AC$、$BD$交于点$O$，
∴ $O$是$AC$的中点，
∴ $EO$是$△ AFC$的中位线，
∴ $EO=\frac{1}{2}CF$。
又
∵ $CF=AC=\sqrt{2}a$，$EO=\sqrt{2}$，
∴ $\frac{1}{2}×\sqrt{2}a=\sqrt{2}$，
解得$a=2$，即正方形$ABCD$的边长为2。
(2) 猜想：$EM=\frac{1}{2}CN$，证明如下：
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AC⊥ BD$，$∠ ACB=∠ OBC=45°$，$OC=\frac{1}{2}AC=EO$。
∵ $CE$平分$∠ ACF$，
∴ $∠ ACE=∠ BCN=22.5°$。
∵ $EO// CF$（三角形中位线性质），
∴ $∠ OEM=∠ BCN=22.5°$，$∠ EOM=∠ OBC=45°$，
可得$∠ EMO=180°-22.5°-45°=112.5°$，$∠ CMO=180°-90°-22.5°=67.5°$，
同理可得$∠ CNB=180°-90°-22.5°=67.5°$，可推得$CM=EM$，且$CM=\frac{1}{2}CN$，故$EM=\frac{1}{2}CN$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{EM=\frac{1}{2}CN}$
【知识点】
正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是几何综合题型，将正方形、等腰三角形、三角形中位线的知识点结合考查，解题的核心是熟练掌握特殊几何图形的性质，找准角度和线段之间的关联，有助于提升几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
(1) 解题思路：先根据等腰三角形三线合一的性质，由CF=CA、CE平分∠ACF得到E是AF中点，再结合正方形对角线互相平分的性质可知O是AC中点，由此可得EO是△AFC的中位线，得到EO与CF的数量关系，最后结合CF=AC、AC与正方形边长的关系代入数值计算即可。
(2) 解题思路：先利用正方形的性质和角平分线的定义计算相关角度，推导边的等量关系，结合等腰三角形的判定和线段的比例关系即可证明EM与CN的数量关系。
【解析】
(1) 设正方形ABCD的边长为$a$，则正方形的对角线$AC=\sqrt{2}a$。
∵ $CF=CA$，$CE$平分$∠ ACF$，
∴ 由等腰三角形三线合一的性质可得$E$是$AF$的中点。
∵ 正方形$ABCD$的对角线$AC$、$BD$交于点$O$，
∴ $O$是$AC$的中点，
∴ $EO$是$△ AFC$的中位线，
∴ $EO=\frac{1}{2}CF$。
又
∵ $CF=AC=\sqrt{2}a$，$EO=\sqrt{2}$，
∴ $\frac{1}{2}×\sqrt{2}a=\sqrt{2}$，
解得$a=2$，即正方形$ABCD$的边长为2。
(2) 猜想：$EM=\frac{1}{2}CN$，证明如下：
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AC⊥ BD$，$∠ ACB=∠ OBC=45°$，$OC=\frac{1}{2}AC=EO$。
∵ $CE$平分$∠ ACF$，
∴ $∠ ACE=∠ BCN=22.5°$。
∵ $EO// CF$（三角形中位线性质），
∴ $∠ OEM=∠ BCN=22.5°$，$∠ EOM=∠ OBC=45°$，
可得$∠ EMO=180°-22.5°-45°=112.5°$，$∠ CMO=180°-90°-22.5°=67.5°$，
同理可得$∠ CNB=180°-90°-22.5°=67.5°$，可推得$CM=EM$，且$CM=\frac{1}{2}CN$，故$EM=\frac{1}{2}CN$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{EM=\frac{1}{2}CN}$
【知识点】
正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是几何综合题型，将正方形、等腰三角形、三角形中位线的知识点结合考查，解题的核心是熟练掌握特殊几何图形的性质，找准角度和线段之间的关联，有助于提升几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
