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一、选择题
1. 下列命题正确的是 （
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.四条边相等且四个角相等的四边形是正方形
D.对角线相等的四边形是矩形
1. 下列命题正确的是 （
C
）A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.四条边相等且四个角相等的四边形是正方形
D.对角线相等的四边形是矩形
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查菱形、矩形、正方形的判定，解题时需逐个对应各选项的判定定理，注意判定规则中“普通四边形”和“平行四边形”的前提条件差异，逐一排查错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 菱形的判定定理为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”或“四条边相等的四边形是菱形”，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故A错误；
B. 矩形的判定定理为“有一个角是直角的平行四边形是矩形”或“三个内角为直角的四边形是矩形”，仅一个角是直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形），故B错误；
C. 四条边相等的四边形是菱形；四边形内角和为360°，若四个角相等，则每个角为360°÷4=90°，有一个内角为90°的菱形是正方形，因此该四边形是正方形，故C正确；
D. 矩形的判定定理为“对角线相等的平行四边形是矩形”，仅对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形对角线也相等），故D错误。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题核心是准确记忆各特殊四边形的判定条件，尤其要注意区分判定的前提是普通四边形还是平行四边形，避免因遗漏条件误选错误选项。
【难度系数】
0.8
本题考查菱形、矩形、正方形的判定，解题时需逐个对应各选项的判定定理，注意判定规则中“普通四边形”和“平行四边形”的前提条件差异，逐一排查错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 菱形的判定定理为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”或“四条边相等的四边形是菱形”，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故A错误；
B. 矩形的判定定理为“有一个角是直角的平行四边形是矩形”或“三个内角为直角的四边形是矩形”，仅一个角是直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形），故B错误；
C. 四条边相等的四边形是菱形；四边形内角和为360°，若四个角相等，则每个角为360°÷4=90°，有一个内角为90°的菱形是正方形，因此该四边形是正方形，故C正确；
D. 矩形的判定定理为“对角线相等的平行四边形是矩形”，仅对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形对角线也相等），故D错误。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题核心是准确记忆各特殊四边形的判定条件，尤其要注意区分判定的前提是普通四边形还是平行四边形，避免因遗漏条件误选错误选项。
【难度系数】
0.8
2. 若一个等边三角形的边长为2 cm，则该三角形的面积为 （
A.$4\ \mathrm{cm}^2$
B.$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
C.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
D.$3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
B
）A.$4\ \mathrm{cm}^2$
B.$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
C.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
D.$3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
答案
2.B
解析
【分析】
要求等边三角形的面积，首先回忆三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，题目已知等边三角形边长为2cm，可将边长作为底，因此只需求出对应边上的高即可。等边三角形具有三线合一的性质，底边上的高会平分底边，结合勾股定理即可求出高的长度，最后代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：设该等边三角形的边长为底，长度为2cm，作该边上的高$h$。
根据等边三角形三线合一的性质，高将底边分为长度相等的两段，每段长度为$2÷2=1\ \mathrm{cm}$。
由勾股定理可得：$h^2 + 1^2 = 2^2$
计算得：$h^2=4-1=3$，因为高为正数，所以$h=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
代入三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是三角形部分的基础常规题型，重点考察等边三角形三线合一的性质以及勾股定理的简单应用，解题的关键是通过性质找到高与边长的关系，进而求出面积。
【难度系数】
0.8
要求等边三角形的面积，首先回忆三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，题目已知等边三角形边长为2cm，可将边长作为底，因此只需求出对应边上的高即可。等边三角形具有三线合一的性质，底边上的高会平分底边，结合勾股定理即可求出高的长度，最后代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：设该等边三角形的边长为底，长度为2cm，作该边上的高$h$。
根据等边三角形三线合一的性质，高将底边分为长度相等的两段，每段长度为$2÷2=1\ \mathrm{cm}$。
由勾股定理可得：$h^2 + 1^2 = 2^2$
计算得：$h^2=4-1=3$，因为高为正数，所以$h=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
代入三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是三角形部分的基础常规题型，重点考察等边三角形三线合一的性质以及勾股定理的简单应用，解题的关键是通过性质找到高与边长的关系，进而求出面积。
【难度系数】
0.8
3. 如图，$DB⊥AE$于点$B$，$DC⊥AF$于点$C$，且$DB=DC$，$∠BAC=50°$，$∠ADG=130°$，则$∠DGF$为（
A.$125°$
B.$105°$
C.$135°$
D.$155°$
D
）A.$125°$
B.$105°$
C.$135°$
D.$155°$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①DB垂直AE、DC垂直AF，且DB=DC，根据角平分线的判定定理可推出AD是∠BAC的角平分线，进而求出∠CAD的度数；②再在△ADG中，利用三角形内角和定理算出∠AGD的度数；③最后根据邻补角的和为180°，即可求出∠DGF的度数。
【解析】
解：
∵$DB⊥AE$，$DC⊥AF$，且$DB=DC$，
∴AD平分$∠BAC$（角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
∵$∠BAC=50°$，
∴$∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC=25°$，
在$△ ADG$中，$∠CAD=25°$，$∠ADG=130°$，
根据三角形内角和为180°可得：
$∠AGD=180°-∠CAD-∠ADG=180°-25°-130°=25°$，
又
∵$∠DGF$与$∠AGD$互为邻补角，即$∠DGF+∠AGD=180°$，
∴$∠DGF=180°-25°=155°$。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定、三角形内角和定理、邻补角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算综合题，解题的关键是先通过角平分线的判定得到AD平分$∠BAC$，再结合三角形内角和、邻补角的性质逐步推导角度，熟练掌握基础定理就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①DB垂直AE、DC垂直AF，且DB=DC，根据角平分线的判定定理可推出AD是∠BAC的角平分线，进而求出∠CAD的度数；②再在△ADG中，利用三角形内角和定理算出∠AGD的度数；③最后根据邻补角的和为180°，即可求出∠DGF的度数。
【解析】
解：
∵$DB⊥AE$，$DC⊥AF$，且$DB=DC$，
∴AD平分$∠BAC$（角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
∵$∠BAC=50°$，
∴$∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC=25°$，
在$△ ADG$中，$∠CAD=25°$，$∠ADG=130°$，
根据三角形内角和为180°可得：
$∠AGD=180°-∠CAD-∠ADG=180°-25°-130°=25°$，
又
∵$∠DGF$与$∠AGD$互为邻补角，即$∠DGF+∠AGD=180°$，
∴$∠DGF=180°-25°=155°$。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定、三角形内角和定理、邻补角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算综合题，解题的关键是先通过角平分线的判定得到AD平分$∠BAC$，再结合三角形内角和、邻补角的性质逐步推导角度，熟练掌握基础定理就能快速解题。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，则下列式子中一定成立的是（
A.$AC=2OE$
B.$BC=2OE$
C.$AD=OE$
D.$OB=OE$
B
）A.$AC=2OE$
B.$BC=2OE$
C.$AD=OE$
D.$OB=OE$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时先结合菱形的性质推导对角线交点的特点，再结合E是BC中点的条件，判断出OE是三角形中位线，利用中位线定理得到OE与菱形边长的关系，最后逐一验证各选项是否成立即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴菱形四条边相等，即$AB=BC=CD=AD$，且菱形对角线互相平分，因此点O是AC的中点
又
∵E为BC的中点
∴OE是$△ ABC$的中位线
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得$OE=\frac{1}{2}AB$
结合$AB=BC$，可推出$OE=\frac{1}{2}BC$，即$BC=2OE$，故B选项成立。
其余选项分析：
A：OE仅和AB有2倍数量关系，与AC无必然2倍关系，不成立；
C：$AD=AB=2OE$，因此$AD≠ OE$，不成立；
D：OB与OE长度无必然相等的关系，仅特殊菱形中才可能相等，不是一定成立。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是几何基础题，核心是结合菱形对角线的特点和中点条件识别出三角形中位线，再结合菱形边的性质推导对应线段的数量关系，是平面几何中常见的组合考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合菱形的性质推导对角线交点的特点，再结合E是BC中点的条件，判断出OE是三角形中位线，利用中位线定理得到OE与菱形边长的关系，最后逐一验证各选项是否成立即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴菱形四条边相等，即$AB=BC=CD=AD$，且菱形对角线互相平分，因此点O是AC的中点
又
∵E为BC的中点
∴OE是$△ ABC$的中位线
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得$OE=\frac{1}{2}AB$
结合$AB=BC$，可推出$OE=\frac{1}{2}BC$，即$BC=2OE$，故B选项成立。
其余选项分析：
A：OE仅和AB有2倍数量关系，与AC无必然2倍关系，不成立；
C：$AD=AB=2OE$，因此$AD≠ OE$，不成立；
D：OB与OE长度无必然相等的关系，仅特殊菱形中才可能相等，不是一定成立。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是几何基础题，核心是结合菱形对角线的特点和中点条件识别出三角形中位线，再结合菱形边的性质推导对应线段的数量关系，是平面几何中常见的组合考查题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在$△ ABC$中，点D，E分别是边AB，AC的中点，$AF⊥ BC$，垂足为点F，$∠ ADE=30°$，$DF=4$，则BF的长为（
A.4
B.8
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
D
）A.4
B.8
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先利用三角形中位线的性质，由D、E分别是AB、AC中点推出DE//BC，得到∠B=∠ADE=30°；再结合AF⊥BC可知△ABF是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，由D是AB中点、DF=4求出AB的长度；最后在Rt△ABF中，结合30°角的直角三角形性质和勾股定理即可求出BF的长度。
【解析】
1.
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，
∴∠B=∠ADE=30°。
2.
∵AF⊥BC，
∴△AFB是直角三角形，∠AFB=90°。又
∵D是AB的中点，
∴DF是Rt△ABF斜边AB的中线，
∴AB=2DF。已知DF=4，
∴AB=2×4=8。
3. 在Rt△ABF中，∠B=30°，30°角对的直角边为AF，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4。
4. 根据勾股定理$AB^2=AF^2+BF^2$，代入数值可得$BF=\sqrt{AB^2-AF^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
【答案】D
【知识点】
三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，解题的关键是熟练掌握中位线、直角三角形的相关性质，逐步推导得到所需边长，再用勾股定理计算结果。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用三角形中位线的性质，由D、E分别是AB、AC中点推出DE//BC，得到∠B=∠ADE=30°；再结合AF⊥BC可知△ABF是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，由D是AB中点、DF=4求出AB的长度；最后在Rt△ABF中，结合30°角的直角三角形性质和勾股定理即可求出BF的长度。
【解析】
1.
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，
∴∠B=∠ADE=30°。
2.
∵AF⊥BC，
∴△AFB是直角三角形，∠AFB=90°。又
∵D是AB的中点，
∴DF是Rt△ABF斜边AB的中线，
∴AB=2DF。已知DF=4，
∴AB=2×4=8。
3. 在Rt△ABF中，∠B=30°，30°角对的直角边为AF，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4。
4. 根据勾股定理$AB^2=AF^2+BF^2$，代入数值可得$BF=\sqrt{AB^2-AF^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
【答案】D
【知识点】
三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，解题的关键是熟练掌握中位线、直角三角形的相关性质，逐步推导得到所需边长，再用勾股定理计算结果。
【难度系数】
0.6
6. 如果一个正多边形的一个外角是$45°$，那么这个正多边形的边数是
8
。答案
6.8
解析
【分析】
解题时需先明确两个核心知识点：一是任意多边形的外角和恒为360°，和边数没有关系；二是正多边形的所有外角大小都相等，外角的个数和正多边形的边数相等。因此要求正多边形的边数，直接用外角和除以单个外角的度数即可。
【解析】
解：
∵任意多边形的外角和均为360°，且正多边形的每一个外角大小相等
已知该正多边形的一个外角为45°
∴这个正多边形的边数 = 360°÷45° = 8
【答案】
8
【知识点】
正多边形的性质；多边形外角和定理
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是牢记多边形外角和为固定值360°，结合正多边形外角相等的性质即可快速求解，是多边形章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时需先明确两个核心知识点：一是任意多边形的外角和恒为360°，和边数没有关系；二是正多边形的所有外角大小都相等，外角的个数和正多边形的边数相等。因此要求正多边形的边数，直接用外角和除以单个外角的度数即可。
【解析】
解：
∵任意多边形的外角和均为360°，且正多边形的每一个外角大小相等
已知该正多边形的一个外角为45°
∴这个正多边形的边数 = 360°÷45° = 8
【答案】
8
【知识点】
正多边形的性质；多边形外角和定理
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是牢记多边形外角和为固定值360°，结合正多边形外角相等的性质即可快速求解，是多边形章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
7. 菱形ABCD的边长为4，且$∠ B=60°$，则菱形的面积为
$8\sqrt{3}$
。答案
7.$8\sqrt{3}$
解析
【分析】
要计算菱形的面积，可选用“底×高”的公式求解：首先菱形的四条边相等，已知边长为4，可任选一条边作为底；接下来需要求这条底对应的高，结合已知∠B=60°，过点A向BC边作高，可得到含30°角的直角三角形，利用直角三角形的性质和勾股定理求出高，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，边长为4
∴ AB=BC=4
过点A作AE⊥BC于点E，即AE为BC边上的高
在Rt△ABE中，∠B=60°，
∴ ∠BAE=30°
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
BE = ½AB = ½×4 = 2
由勾股定理得：
AE = √(AB² - BE²) = √(4² - 2²) = √(16-4) = √12 = 2√3
菱形面积 = 底×高 = BC × AE = 4 × 2√3 = 8√3
【答案】
8√3
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是结合已知条件选择合适的面积计算方法，通过构造直角三角形求出对应高即可得到结果，考察的都是几何部分的基础知识点。
【难度系数】
0.8
要计算菱形的面积，可选用“底×高”的公式求解：首先菱形的四条边相等，已知边长为4，可任选一条边作为底；接下来需要求这条底对应的高，结合已知∠B=60°，过点A向BC边作高，可得到含30°角的直角三角形，利用直角三角形的性质和勾股定理求出高，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，边长为4
∴ AB=BC=4
过点A作AE⊥BC于点E，即AE为BC边上的高
在Rt△ABE中，∠B=60°，
∴ ∠BAE=30°
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
BE = ½AB = ½×4 = 2
由勾股定理得：
AE = √(AB² - BE²) = √(4² - 2²) = √(16-4) = √12 = 2√3
菱形面积 = 底×高 = BC × AE = 4 × 2√3 = 8√3
【答案】
8√3
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是结合已知条件选择合适的面积计算方法，通过构造直角三角形求出对应高即可得到结果，考察的都是几何部分的基础知识点。
【难度系数】
0.8
