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10. 某学习小组用实验的方式研究一根弹簧的长度 $ y $(单位：cm)与所挂物体的质量 $ x $(单位：kg)之间的关系，记录的数据如下表：
(1)弹簧不悬挂物体时的长度为
(2)写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式。
(3)当所挂物体的质量为 $ 6.5 $ kg 时，求弹簧的长度。
(4)如果这根弹簧的弹性限度(弹簧最长可以被拉长到的长度，超过这个长度，弹簧将失去弹性)为 $ 25 $ cm，则在弹性限度之内，这根弹簧最多可以挂多重的物体？
(1)弹簧不悬挂物体时的长度为
9
cm；所挂物体的质量每增加 $ 1 $ kg，弹簧的长度 $ y $ 增加2
cm。(2)写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式。
(3)当所挂物体的质量为 $ 6.5 $ kg 时，求弹簧的长度。
(4)如果这根弹簧的弹性限度(弹簧最长可以被拉长到的长度，超过这个长度，弹簧将失去弹性)为 $ 25 $ cm，则在弹性限度之内，这根弹簧最多可以挂多重的物体？
答案
10. 解：(1)9 2
(2)y = 2x + 9
(3)22 cm
(4)将 y = 25 代入 y = 2x + 9，得 2x + 9 = 25。
解得 x = 8。
所以在弹性限度之内，这根弹簧最多可以挂 8 kg 重的物体。
(2)y = 2x + 9
(3)22 cm
(4)将 y = 25 代入 y = 2x + 9，得 2x + 9 = 25。
解得 x = 8。
所以在弹性限度之内，这根弹簧最多可以挂 8 kg 重的物体。
解析
【分析】
本题是关于弹簧长度与所挂物体质量的一次函数应用问题，解题思路如下：
1. 对于第(1)问：观察表格，当所挂物体质量x=0时，对应的弹簧长度就是弹簧不悬挂物体的长度；再看x每增加1kg时，弹簧长度y的变化量，即可得到每增加1kg物体时弹簧长度的增加量。
2. 对于第(2)问：判断y与x是一次函数关系，设一次函数解析式为y=kx+b，利用表格中x=0时的y值确定b，再代入一组(x,y)的值求出k，进而得到关系式。
3. 对于第(3)问：将x=6.5代入已求得的关系式，计算对应的y值即可。
4. 对于第(4)问：将弹性限度的y=25代入关系式，解关于x的一元一次方程，得到最大可挂物体的质量。
【解析】
(1) 当x=0时，y=9，所以弹簧不悬挂物体时的长度为9cm；
当x从0增加到1时，y从9增加到11，增加了11-9=2cm，因此所挂物体的质量每增加1kg，弹簧的长度y增加2cm。
(2) 设y与x之间的关系式为y=kx+b（k≠0），
将x=0，y=9代入得：b=9；
再将x=1，y=11代入得：11=k×1 + 9，解得k=2；
因此y与x之间的关系式为y=2x+9。
(3) 当x=6.5时，代入y=2x+9得：
y=2×6.5 + 9=13 + 9=22（cm），即弹簧的长度为22cm。
(4) 已知弹性限度y=25cm，将y=25代入y=2x+9得：
2x + 9=25，
移项得2x=25-9=16，
解得x=8（kg），即最多可以挂8kg重的物体。
【答案】
(1) 9；2
(2) y=2x+9
(3) 22 cm
(4) 8 kg
【知识点】
一次函数的应用，变量间的关系，弹簧伸长规律
【点评】
本题结合实际实验数据考查一次函数的建立与应用，属于基础题型，重点考查学生从表格中提取信息、求解一次函数关系式并解决实际问题的能力，贴近生活实际，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是关于弹簧长度与所挂物体质量的一次函数应用问题，解题思路如下：
1. 对于第(1)问：观察表格，当所挂物体质量x=0时，对应的弹簧长度就是弹簧不悬挂物体的长度；再看x每增加1kg时，弹簧长度y的变化量，即可得到每增加1kg物体时弹簧长度的增加量。
2. 对于第(2)问：判断y与x是一次函数关系，设一次函数解析式为y=kx+b，利用表格中x=0时的y值确定b，再代入一组(x,y)的值求出k，进而得到关系式。
3. 对于第(3)问：将x=6.5代入已求得的关系式，计算对应的y值即可。
4. 对于第(4)问：将弹性限度的y=25代入关系式，解关于x的一元一次方程，得到最大可挂物体的质量。
【解析】
(1) 当x=0时，y=9，所以弹簧不悬挂物体时的长度为9cm；
当x从0增加到1时，y从9增加到11，增加了11-9=2cm，因此所挂物体的质量每增加1kg，弹簧的长度y增加2cm。
(2) 设y与x之间的关系式为y=kx+b（k≠0），
将x=0，y=9代入得：b=9；
再将x=1，y=11代入得：11=k×1 + 9，解得k=2；
因此y与x之间的关系式为y=2x+9。
(3) 当x=6.5时，代入y=2x+9得：
y=2×6.5 + 9=13 + 9=22（cm），即弹簧的长度为22cm。
(4) 已知弹性限度y=25cm，将y=25代入y=2x+9得：
2x + 9=25，
移项得2x=25-9=16，
解得x=8（kg），即最多可以挂8kg重的物体。
【答案】
(1) 9；2
(2) y=2x+9
(3) 22 cm
(4) 8 kg
【知识点】
一次函数的应用，变量间的关系，弹簧伸长规律
【点评】
本题结合实际实验数据考查一次函数的建立与应用，属于基础题型，重点考查学生从表格中提取信息、求解一次函数关系式并解决实际问题的能力，贴近生活实际，难度适中。
【难度系数】
0.6
1. 图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，图象法直观地反映出
变量之间的关系
。在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平
方向的数轴(称为横轴
)上的点表示自变量，用竖直
方向的数轴(称为纵轴
)上的点表示因变量。答案
1. 变量之间的关系 水平 横轴 竖直 纵轴
解析
【分析】这道题考查函数图象的基础概念，解题思路是回忆函数图象的定义、自变量与因变量在图象中的表示规则：先明确图象法的作用是直观反映变量之间的关系，再记住自变量对应水平方向的数轴（横轴），因变量对应竖直方向的数轴（纵轴），即可完成填空。
【解析】1. 图象法的作用是直观反映变量之间的关系，故第一个空填“变量之间的关系”；2. 通常用水平方向的数轴表示自变量，该数轴称为横轴，故第二、三个空依次填“水平”“横轴”；3. 用竖直方向的数轴表示因变量，该数轴称为纵轴，故第四、五个空依次填“竖直”“纵轴”。
【答案】变量之间的关系 水平 横轴 竖直 纵轴
【知识点】函数图象；变量的表示；横轴与纵轴
【点评】本题为基础概念识记题，是函数图象相关知识的入门内容，难度较低，主要考查学生对函数图象基本定义和坐标轴规定的掌握，适合巩固函数入门的基础知识点。
【难度系数】0.8
【解析】1. 图象法的作用是直观反映变量之间的关系，故第一个空填“变量之间的关系”；2. 通常用水平方向的数轴表示自变量，该数轴称为横轴，故第二、三个空依次填“水平”“横轴”；3. 用竖直方向的数轴表示因变量，该数轴称为纵轴，故第四、五个空依次填“竖直”“纵轴”。
【答案】变量之间的关系 水平 横轴 竖直 纵轴
【知识点】函数图象；变量的表示；横轴与纵轴
【点评】本题为基础概念识记题，是函数图象相关知识的入门内容，难度较低，主要考查学生对函数图象基本定义和坐标轴规定的掌握，适合巩固函数入门的基础知识点。
【难度系数】0.8
2. 从左向右看，若图象是上升的，则因变量随自变量的增大而
增大
；若图象是下降的，则因变量随自变量的增大而减小
。答案
2. 增大 减小
解析
【分析】
本题考查函数图像的增减性相关概念，解题思路是：明确函数图像从左向右的变化趋势与因变量、自变量的变化关系，上升趋势对应自变量增大时因变量变大，下降趋势对应自变量增大时因变量变小，据此完成填空。
【解析】
根据函数图像增减性的定义：从左向右看，若图象上升，说明自变量增大时，对应的因变量数值随之变大，即因变量随自变量的增大而增大；若图象下降，说明自变量增大时，对应的因变量数值随之变小，即因变量随自变量的增大而减小。
【答案】
增大 减小
【知识点】
函数的增减性
【点评】
本题为基础概念题，直接考查函数图像增减性的基本定义，属于函数部分的入门知识点，难度较低，是学生必须掌握的内容。
【难度系数】
0.9
本题考查函数图像的增减性相关概念，解题思路是：明确函数图像从左向右的变化趋势与因变量、自变量的变化关系，上升趋势对应自变量增大时因变量变大，下降趋势对应自变量增大时因变量变小，据此完成填空。
【解析】
根据函数图像增减性的定义：从左向右看，若图象上升，说明自变量增大时，对应的因变量数值随之变大，即因变量随自变量的增大而增大；若图象下降，说明自变量增大时，对应的因变量数值随之变小，即因变量随自变量的增大而减小。
【答案】
增大 减小
【知识点】
函数的增减性
【点评】
本题为基础概念题，直接考查函数图像增减性的基本定义，属于函数部分的入门知识点，难度较低，是学生必须掌握的内容。
【难度系数】
0.9
例 1 某地某一天的气温随时间变化的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
(1) 在这一天中，什么时间气温最低？最低气温是多少？
(2) 在这一天中，什么时间气温最高？最高气温是多少？
(3) 在这一天中，什么时间气温是 $2^{\circ}C$？
(4) 12 时的气温是多少？
(5) 哪段时间气温不断下降？
(6) 哪段时间气温不断上升？
(7) 这一天的温差是多少？
(1) 在这一天中，什么时间气温最低？最低气温是多少？
(2) 在这一天中，什么时间气温最高？最高气温是多少？
(3) 在这一天中，什么时间气温是 $2^{\circ}C$？
(4) 12 时的气温是多少？
(5) 哪段时间气温不断下降？
(6) 哪段时间气温不断上升？
(7) 这一天的温差是多少？
答案
(1) 4时气温最低，最低气温是$-6^{\circ}C$。
(2) 14时气温最高，最高气温是$12^{\circ}C$。
(3) 10时和24时气温是$2^{\circ}C$。
(4) 12时的气温是$6^{\circ}C$。
(5) 0时到4时，14时到24时气温不断下降。
(6) 4时到14时气温不断上升。
(7) 这一天的温差是$18^{\circ}C$。
(2) 14时气温最高，最高气温是$12^{\circ}C$。
(3) 10时和24时气温是$2^{\circ}C$。
(4) 12时的气温是$6^{\circ}C$。
(5) 0时到4时，14时到24时气温不断下降。
(6) 4时到14时气温不断上升。
(7) 这一天的温差是$18^{\circ}C$。
解析
【分析】本题是根据气温随时间变化的图像解答问题，解题时需明确横轴表示时间、纵轴表示气温，图像上的点对应某一时刻的气温，通过观察图像的位置、走势，逐一对应问题找到答案。
【解析】
(1) 观察图像，最低点对应的时间为4时，对应的气温是$-6℃$，因此4时气温最低，最低气温是$-6℃$；
(2) 观察图像，最高点对应的时间为14时，对应的气温是$12℃$，因此14时气温最高，最高气温是$12℃$；
(3) 在图像中找到气温为$2℃$的点，对应时间为10时和24时，因此10时和24时气温是$2℃$；
(4) 找到横轴12时对应的图像上的点，其纵轴数值为$6℃$，因此12时的气温是$6℃$；
(5) 观察图像走势，0时到4时、14时到24时，图像呈下降趋势，因此这两段时间气温不断下降；
(6) 观察图像走势，4时到14时，图像呈上升趋势，因此这段时间气温不断上升；
(7) 温差为最高气温减去最低气温，即$12 - (-6) = 18℃$，因此这一天的温差是$18℃$。
【答案】(1) 4时气温最低，最低气温是$-6°C$；(2) 14时气温最高，最高气温是$12°C$；(3) 10时和24时气温是$2°C$；(4) 12时的气温是$6°C$；(5) 0时到4时，14时到24时气温不断下降；(6) 4时到14时气温不断上升；(7) 这一天的温差是$18°C$。
【知识点】函数图像应用，气温变化分析
【点评】本题属于基础的图像信息读取题，考查学生对函数图像的理解与应用能力，通过观察图像的点、走势即可解答，难度较低。
【难度系数】0.2
【解析】
(1) 观察图像，最低点对应的时间为4时，对应的气温是$-6℃$，因此4时气温最低，最低气温是$-6℃$；
(2) 观察图像，最高点对应的时间为14时，对应的气温是$12℃$，因此14时气温最高，最高气温是$12℃$；
(3) 在图像中找到气温为$2℃$的点，对应时间为10时和24时，因此10时和24时气温是$2℃$；
(4) 找到横轴12时对应的图像上的点，其纵轴数值为$6℃$，因此12时的气温是$6℃$；
(5) 观察图像走势，0时到4时、14时到24时，图像呈下降趋势，因此这两段时间气温不断下降；
(6) 观察图像走势，4时到14时，图像呈上升趋势，因此这段时间气温不断上升；
(7) 温差为最高气温减去最低气温，即$12 - (-6) = 18℃$，因此这一天的温差是$18℃$。
【答案】(1) 4时气温最低，最低气温是$-6°C$；(2) 14时气温最高，最高气温是$12°C$；(3) 10时和24时气温是$2°C$；(4) 12时的气温是$6°C$；(5) 0时到4时，14时到24时气温不断下降；(6) 4时到14时气温不断上升；(7) 这一天的温差是$18°C$。
【知识点】函数图像应用，气温变化分析
【点评】本题属于基础的图像信息读取题，考查学生对函数图像的理解与应用能力，通过观察图像的点、走势即可解答，难度较低。
【难度系数】0.2
