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17. （★★）如图，在四边形ABCD中，AB= AD=6， $ ∠ A=60° $ $ ∠ ADC=150° $ $ ∠ ABC=90°. $
(1) 填空： $ ∠ C $的度数为_______， $ \frac{CD}{BC} $的值为_______；
(2) 求四边形ABCD的面积.
(1) 填空： $ ∠ C $的度数为_______， $ \frac{CD}{BC} $的值为_______；
(2) 求四边形ABCD的面积.
答案
17. (1)60° $\frac{1}{2}$
(2)连接BD,过点D作DE⊥AB于点E.
∵ AB=AD=6,∠A=60°,
∴ △ABD是等边三角形.
∴ ∠ADB=∠ABD=60°,AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=3.
∴ DE=$\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}$,
∠CDB=∠ADC−∠ADB=150°−60°=90°,
∠DBC=∠ABC−∠ABD=90°−60°=30°.
∴ BC=2CD.
∴ 在Rt△BDC中,BD=$\sqrt{BC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{(2CD)^{2}-CD^{2}}=\sqrt{3}CD=6$.
∴ CD=2$\sqrt{3}$.
∴ S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=$\frac{1}{2}$AB·DE+$\frac{1}{2}$BD·CD=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$=15$\sqrt{3}$.
(2)连接BD,过点D作DE⊥AB于点E.
∵ AB=AD=6,∠A=60°,
∴ △ABD是等边三角形.
∴ ∠ADB=∠ABD=60°,AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=3.
∴ DE=$\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}$,
∠CDB=∠ADC−∠ADB=150°−60°=90°,
∠DBC=∠ABC−∠ABD=90°−60°=30°.
∴ BC=2CD.
∴ 在Rt△BDC中,BD=$\sqrt{BC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{(2CD)^{2}-CD^{2}}=\sqrt{3}CD=6$.
∴ CD=2$\sqrt{3}$.
∴ S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=$\frac{1}{2}$AB·DE+$\frac{1}{2}$BD·CD=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$=15$\sqrt{3}$.
18. （★★★）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长 AD=80 cm，高 AB= 50 cm，水深 AE=40 cm，在水面上紧贴内壁的 G处有一块面包屑，G在水面线 EF上，且 FG=30 cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的 A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的 G处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路程为_______cm.
答案
18. 10$\sqrt{61}$ 提示:作出点A关于BC的对称点A',连接A'G,与BC交于点Q,蚂蚁沿着A→Q→G的路线爬行时路程最短.
