24.12分如图,长方形ABCO的顶点A,C,O都在坐标轴上,
点B的坐标为$(8,3)$,M为AB的中点.
(1)直接写出点M的坐标:M,$△ AOM$的周长
是;
(2)若P是x轴上的一个动点,它从点C出发,以每秒1个
单位长度的速度沿射线CO方向匀速运动,设运动时间
为t秒$t＞0$.
①若$△ POM$的面积等于$△ AOM$面积的一半,试求
t的值;
②是否存在t的值,使$△ POM$是以OP为腰的等腰三
角形? 若存在,求出此时t的值;若不存在,试说明理由.

解：
(1) $\boldsymbol{(4, 3)}$；$\boldsymbol{12}$
(2) ① 由题意得，$S_{△ AOM} = \frac{1}{2} × AO × AM = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$，
则$S_{△ POM} = \frac{1}{2} × 6 = 3$。
设$OP$的长度为$x$，
$\because$ 点$M$的纵坐标为3，
$\therefore S_{△ POM} = \frac{1}{2} × x × 3 = 3$，解得$x=2$。
当点$P$在$OC$上时，$OP=8-t=2$，解得$t=6$；
当点$P$在$CO$的延长线上时，$OP=t-8=2$，解得$t=10$。
综上，$t$的值为6或10。
② 存在，分两种情况：
情况一：$OP=OM$，
$\because OM=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
$\therefore |8-t|=5$，
当$8-t=5$时，$t=3$；
当$8-t=-5$时，$t=13$。
情况二：$OP=PM$，
设$P(8-t, 0)$，
$\because M(4, 3)$，
$\therefore PM=\sqrt{(8-t-4)^2+(0-3)^2}=\sqrt{(4-t)^2+9}$，$OP=|8-t|$，
则$|8-t|=\sqrt{(4-t)^2+9}$，
两边平方得：$(8-t)^2=(4-t)^2+9$，
展开得：$64-16t+t^2=16-8t+t^2+9$，
化简得：$8t=39$，解得$t=\frac{39}{8}$。
综上，$t$的值为$\boldsymbol{3}$、$\boldsymbol{13}$或$\boldsymbol{\frac{39}{8}}$。