21.10分如图,一架长25 m的直梯AC斜靠在一面墙上,梯
子底端C离墙7 m.
(1)这个梯子的顶端距地面有多高?
(2)如果梯子的顶端下滑了4 m至$A'C'$的位置,那么梯子
的底端在水平方向滑动了几米?

解：
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AC=25\ \mathrm{m}$，$BC=7\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AB^2 + BC^2 = AC^2$，
则$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24\ \mathrm{m}$。
(2) 由题意得：$A'B = AB - 4 = 24 - 4 = 20\ \mathrm{m}$，$A'C' = AC = 25\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ A'BC'$中，$∠ B=90°$，
由勾股定理得：$A'B^2 + BC'^2 = A'C'^2$，
则$BC' = \sqrt{A'C'^2 - A'B^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15\ \mathrm{m}$，
所以$CC' = BC' - BC = 15 - 7 = 8\ \mathrm{m}$。
答：(1) 梯子的顶端距地面$24\ \mathrm{m}$；(2) 梯子的底端在水平方向滑动了$8\ \mathrm{m}$。

22.10分如图,在$6× 6$的网格中,每个小正方形的边长都为
1,$△ ABC$的顶点均为网格上的格点网格线的交点.
(1)$AB=$,$BC=$,$AC=$;
(2)$∠ ABC=$$°$;
(3)在网格中是否存在格点P,使$∠ APC=90°$? 请在图中
标出所有满足条件的格点P用$P_{1},P_{2},···$表示.

解：
(1) 根据勾股定理：
$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{4^2+3^2}=5$；
(2) $\because AB^2+BC^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=5+20=25$，$AC^2=5^2=25$，
$\therefore AB^2+BC^2=AC^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，$∠ ABC=90°$；
(3) 存在，满足条件的格点为$P_1(1,0)$，$P_2(3,4)$，$P_3(5,3)$，在图中对应格点位置标注即可。

23.10分如图,将长方形ABCD沿直线BD折叠,使点C落
在点$C'$处,$BC'$交AD于点E,$AD=8,AB=4$,求$△ BED$的
面积.

解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，AB=4，AD=8，∠A=90°。
由折叠的性质得：∠C'BD=∠CBD。
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADB=∠C'BD，
∴BE=DE。
设DE=x，则BE=x，AE=8-x。
在Rt△ABE中，根据勾股定理：
$AB^2 + AE^2 = BE^2$，
即$4^2 + (8-x)^2 = x^2$，
解得$x=5$。
∴$S_{△ BED} = \frac{1}{2} × DE × AB = \frac{1}{2} × 5 × 4 = 10$。
答：△BED的面积为10。