18.7分如图,某小区有一块四边形空地ACBD,现计划在空
地上种植草皮,经测量得$∠ ACB=90°,AD=24\ \mathrm{m},BD=$
$26\ \mathrm{m},AC=6\ \mathrm{m},BC=8\ \mathrm{m}$.若种植每平方米草皮需要支出
300元,要将这块空地种满草皮,需要投入多少经费?

解：
连接AB，
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6\ \mathrm{m}$，$BC=8\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AB^2=AC^2+BC^2=6^2+8^2=100$，
$\therefore AB=10\ \mathrm{m}$。
在$△ ABD$中，$AB=10\ \mathrm{m}$，$AD=24\ \mathrm{m}$，$BD=26\ \mathrm{m}$，
$\because 10^2+24^2=676$，$26^2=676$，
$\therefore AB^2+AD^2=BD^2$，
由勾股定理的逆定理得：$∠ BAD=90°$。
$\therefore$ 四边形$ACBD$的面积$=S_{△ ACB}+S_{△ ABD}$
$=\frac{1}{2}× AC× BC+\frac{1}{2}× AB× AD$
$=\frac{1}{2}×6×8+\frac{1}{2}×10×24$
$=24+120$
$=144\ \mathrm{m^2}$。
需要投入的经费：$144×300=43200$（元）。
答：需要投入43200元经费。

19.7分如图,甲、乙两船同时从港口A出发,甲船以
16 n mile/h的速度向南偏东$50°$方向航行,乙船向北偏东
$40°$方向航行.3 h后,甲船到达B岛,乙船到达C岛.若B,
C两岛相距60 n mile,请问乙船的速度是多少?

解：
由题意得，$∠ CAB = 180° - 50° - 40° = 90°$，
$AB = 16×3 = 48(\mathrm{n mile})$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{60^2 - 48^2} = \sqrt{3600 - 2304} = \sqrt{1296} = 36(\mathrm{n mile})$，
乙船的速度为：$36÷3 = 12(\mathrm{n mile/h})$。
答：乙船的速度是12 n mile/h。

20.7分将等腰直角三角板按如图所示的方式放置,直角顶
点C在直线m上,分别过点A,B作$AE⊥ m$于点E,
$BD⊥ m$于点D.
(1)求证:$EC=BD$;
(2)设$△ AEC$的三边长分别为a,b,c,利用此图证明勾股
定理.

(1)证明：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCD=90°，
∵AE⊥m，BD⊥m，
∴∠AEC=∠CDB=90°，
∴∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠EAC=∠BCD，
在△AEC和△CDB中，
$\{\begin{array}{l}∠AEC=∠CDB\\∠EAC=∠BCD\\AC=BC\end{array} $
∴△AEC≌△CDB(AAS)，
∴EC=BD。
(2)证明：
由(1)知△AEC≌△CDB，
∴AE=CD=b，EC=BD=a，
∵梯形ABDE的面积$S_{梯形ABDE}=\frac{1}{2}(AE+BD)· ED=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$，
又$S_{梯形ABDE}=S_{△AEC}+S_{△CDB}+S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$，
∴$\frac{1}{2}(a+b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$，
两边同乘2得：$(a+b)^2=2ab+c^2$，
展开得：$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，
化简得：$a^2+b^2=c^2$，即勾股定理得证。