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10.如图所示是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形的边数是（）
A.4
B.5
C.6
D.8
A.4
B.5
C.6
D.8
答案
C
解析
由三个完全相同的正多边形无缝隙不重叠拼接可知，公共顶点处三个内角的和为$360°$，因此该正多边形的每个内角为$360°÷3=120°$。设该正多边形边数为$n$，根据正多边形内角公式$\frac{(n-2)×180°}{n}=120°$，解方程得：$180n - 360 = 120n$，即$60n=360$，$n=6$。
11.某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用显微镜观察该分子的结构，则保持不变的是（）
A.AB 的长度
B.六边形 ABCDEF 的周长
C.六边形 ABCDEF 的面积
D.$∠ EDC=120°$
A.AB 的长度
B.六边形 ABCDEF 的周长
C.六边形 ABCDEF 的面积
D.$∠ EDC=120°$
答案
D
解析
用显微镜观察该分子结构，属于对图形进行相似放大变换，根据相似图形的性质：线段长度、图形周长、图形面积都会随放大比例增大，只有图形的内角大小保持不变。正六边形的内角∠EDC=120°，经过相似变换后角度数值不变，因此选项A、B、C中的量均发生变化，只有D中的量保持不变。
12.一个多边形截去一个角后,形成的另一个多边形的内角和是$1080°$,则原来多边形的边数是（）
A.7或8
B.8或9
C.7或9
D.7或8或9
A.7或8
B.8或9
C.7或9
D.7或8或9
答案
D
解析
首先根据多边形内角和公式，设截去一个角后形成的多边形边数为$n$，可得：
$(n-2)×180°=1080°$
解得$n=8$，即截角后得到的是8边形。
一个多边形截去一个角存在三种情况：
1. 截线不经过原多边形的顶点，新多边形边数比原多边形多1，此时原多边形边数为$8-1=7$；
2. 截线经过原多边形1个顶点，新多边形边数与原多边形相等，此时原多边形边数为$8$；
3. 截线经过原多边形2个顶点，新多边形边数比原多边形少1，此时原多边形边数为$8+1=9$。
因此原来多边形的边数是7或8或9。
$(n-2)×180°=1080°$
解得$n=8$，即截角后得到的是8边形。
一个多边形截去一个角存在三种情况：
1. 截线不经过原多边形的顶点，新多边形边数比原多边形多1，此时原多边形边数为$8-1=7$；
2. 截线经过原多边形1个顶点，新多边形边数与原多边形相等，此时原多边形边数为$8$；
3. 截线经过原多边形2个顶点，新多边形边数比原多边形少1，此时原多边形边数为$8+1=9$。
因此原来多边形的边数是7或8或9。
13.如图,在锐角三角形ABC中,AB=AC,∠C=α,D是边BC上不与端点重合的定点,E,F分别是边AB,AC上的两个动点。当△DEF的周长最小时,∠EDF的度数是
()
A.$180° - 2α$
B.$4α - 180°$
C.$90° - α$
D.$3α - 90°$
()
A.$180° - 2α$
B.$4α - 180°$
C.$90° - α$
D.$3α - 90°$
答案
B
解析
作点D关于AB的对称点D'，作点D关于AC的对称点D''，连接D'D''，与AB交于E，与AC交于F，此时△DEF的周长最小。
由AB=AC，∠C=α，得∠B=α，∠BAC=180°-2α。
根据对称性质：DE=D'E，DF=D''F，AD'=AD=AD''，∠D'AB=∠DAB，∠D''AC=∠DAC，因此∠D'AD''=2∠BAC=2(180°-2α)=360°-4α。
在等腰△D'AD''中，∠D'=∠D''=(180°-∠D'AD'')/2=2α-90°。
又因为∠D'=∠D'DE，∠D''=∠D''DF，结合角度推导可得：∠EDF=180°-∠D'DE-∠D''DF=180°-2(2α-90°)=4α-180°。
由AB=AC，∠C=α，得∠B=α，∠BAC=180°-2α。
根据对称性质：DE=D'E，DF=D''F，AD'=AD=AD''，∠D'AB=∠DAB，∠D''AC=∠DAC，因此∠D'AD''=2∠BAC=2(180°-2α)=360°-4α。
在等腰△D'AD''中，∠D'=∠D''=(180°-∠D'AD'')/2=2α-90°。
又因为∠D'=∠D'DE，∠D''=∠D''DF，结合角度推导可得：∠EDF=180°-∠D'DE-∠D''DF=180°-2(2α-90°)=4α-180°。
14. 已知一个n边形的内角和为1 980°,则从这个多边形的一个顶点出发可以画条对角线。
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
解：
根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)×180°=1980°$
解得：
$n-2=11$
$n=13$
从n边形的一个顶点出发可以画出$(n-3)$条对角线，将$n=13$代入得：
$13-3=10$
根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)×180°=1980°$
解得：
$n-2=11$
$n=13$
从n边形的一个顶点出发可以画出$(n-3)$条对角线，将$n=13$代入得：
$13-3=10$
15.一个多边形，除了一个内角外其余各内角和为2 080°，则这个内角的度数是。
答案
$\boldsymbol{80}$
解析
解：设这个多边形的边数为n，除去的这个内角的度数为x，
根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)×180° = 2080° + x$，
其中$0° ＜ x ＜ 180°$，
因此有不等式：
$2080° ＜ (n-2)×180° ＜ 2080° + 180°$，
即$2080 ＜ 180(n-2) ＜ 2260$，
解得$11\frac{5}{9} ＜ n-2 ＜ 12\frac{5}{9}$。
因为$n-2$为正整数，所以$n-2=12$，
该多边形的内角和为$12×180°=2160°$，
因此$x=2160° - 2080°=80°$。
根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)×180° = 2080° + x$，
其中$0° ＜ x ＜ 180°$，
因此有不等式：
$2080° ＜ (n-2)×180° ＜ 2080° + 180°$，
即$2080 ＜ 180(n-2) ＜ 2260$，
解得$11\frac{5}{9} ＜ n-2 ＜ 12\frac{5}{9}$。
因为$n-2$为正整数，所以$n-2=12$，
该多边形的内角和为$12×180°=2160°$，
因此$x=2160° - 2080°=80°$。
16. 在四边形纸片ABCD中，∠C=90°，AB与CD不平行，将四边形纸片ABCD沿EF折叠成如图所示的形状，点A落在点A'处，点D落在点D'处。若∠D'EC=115°，∠A'FB=45°，则∠ABC的度数是。
答案
$\boldsymbol{55°}$
解析
解：由折叠的性质可得：$∠ DEF=∠ D'EF$，$∠ AFE=∠ A'FE$。
$\because ∠ D'EC=115°$，且$∠ D'EC + ∠ D'ED=180°$，
$\therefore ∠ D'ED=180° - 115°=65°$，
$\therefore ∠ DEF=∠ D'EF=\frac{1}{2}∠ D'ED=32.5°$，
$\therefore ∠ CEF=180° - ∠ DEF=180° - 32.5°=147.5°$。
$\because ∠ A'FB=45°$，$∠ A'FA=180° + ∠ A'FB=225°$，
$\therefore ∠ AFE=∠ A'FE=\frac{1}{2}∠ A'FA=112.5°$，
$\therefore ∠ EFB=∠ AFE - ∠ A'FB=112.5° - 45°=67.5°$。
在四边形$BCEF$中，内角和为$360°$，已知$∠ C=90°$，
$\therefore ∠ ABC=360° - ∠ C - ∠ CEF - ∠ EFB=360° - 90° - 147.5° - 67.5°=55°$。
$\because ∠ D'EC=115°$，且$∠ D'EC + ∠ D'ED=180°$，
$\therefore ∠ D'ED=180° - 115°=65°$，
$\therefore ∠ DEF=∠ D'EF=\frac{1}{2}∠ D'ED=32.5°$，
$\therefore ∠ CEF=180° - ∠ DEF=180° - 32.5°=147.5°$。
$\because ∠ A'FB=45°$，$∠ A'FA=180° + ∠ A'FB=225°$，
$\therefore ∠ AFE=∠ A'FE=\frac{1}{2}∠ A'FA=112.5°$，
$\therefore ∠ EFB=∠ AFE - ∠ A'FB=112.5° - 45°=67.5°$。
在四边形$BCEF$中，内角和为$360°$，已知$∠ C=90°$，
$\therefore ∠ ABC=360° - ∠ C - ∠ CEF - ∠ EFB=360° - 90° - 147.5° - 67.5°=55°$。
