5.已知一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数为。

$\boldsymbol{10}$

解：设这个多边形的边数为$n$。
任意多边形的外角和都为$360°$，$n$边形的内角和公式为$(n-2)×180°$，根据题意列方程：
$(n-2)×180° = 4×360°$
化简得：
$n-2 = 8$
解得：
$n=10$

6.从一个n边形的同一顶点出发，分别连接和它不相邻的各顶点。若把这个n边形分成8个三角形，则这个多边形的内角和为。

$\boldsymbol{1440°}$

解：从n边形的同一个顶点出发，连接其余不相邻的顶点，可将n边形分成 $ n-2 $ 个三角形。
该多边形的内角和等于分出的8个三角形的内角和总和，
因此内角和为 $ 8 × 180° = 1440° $。

7.如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角。若∠A=115°，则∠1+∠2+∠3+∠4=。

$\boldsymbol{295}$

解：
任意多边形的外角和为360°，
与内角∠A相邻的外角的度数为：$180° - ∠ A = 180° - 115° = 65°$，
因此$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 360° - 65° = 295°$。

8.如图,正六边形与正方形的两邻边相交,则α+β=。

$\boldsymbol{150°}$

解：
正六边形的每个内角为：$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，
正方形的每个内角为$90°$。
正六边形的两条邻边与正方形的两条邻边相交，构成四边形，该四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$，
因此$α + β = 360° - 120° - 90° = 150°$。

9. 在四边形$ABCD$中，$∠ A=150°$，$∠ D=80°$。
(1)如图1，若$∠ B=∠ C$，则$∠ C$的度数是；
(2)如图2，若$∠ ABC$的平分线$BE$交$DC$于点$E$，且$BE// AD$，求$∠ C$的度数；
(3)①如图3，若$∠ ABC$和$∠ BCD$的平分线交于点$P$，求$∠ BPC$的度数；
②如图4，$P$为五边形$ABCDE$内一点，$DP$，$CP$分别平分$∠ EDC$，$∠ BCD$。请直接写出$∠ P$与$∠ A+∠ B+∠ E$的数量关系。

解：
(1) 四边形内角和为$360°$，
$\therefore ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 360°$，
代入$∠ A=150°$，$∠ D=80°$，$∠ B=∠ C$，
得$150° + 2∠ C + 80° = 360°$，
解得$∠ C=65°$。
(2) $\because BE// AD$，
$\therefore ∠ ABE + ∠ A = 180°$，
$\therefore ∠ ABE = 180° - 150° = 30°$，
$\because BE$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABC = 2∠ ABE = 60°$，
在四边形$ABCD$中，
$∠ C = 360° - ∠ A - ∠ D - ∠ ABC = 360° -150° -80° -60° =70°$。
(3) ① 在四边形$ABCD$中，
$∠ ABC + ∠ BCD = 360° - ∠ A - ∠ D = 360° -150° -80° =130°$，
$\because BP$平分$∠ ABC$，$CP$平分$∠ BCD$，
$\therefore ∠ PBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCB = \frac{1}{2}∠ BCD$，
$\therefore ∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD) = 65°$，
在$△ BPC$中，
$∠ BPC = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180° -65° =115°$。
② $∠ P = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ B + ∠ E) - 90°$（或$2∠ P = ∠ A + ∠ B + ∠ E - 180°$）。