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10.如图是小晨在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”。$△ ABC$是等边三角形，$△ ABF$，$△ BCD$，$△ ACE$是三个全等的三角形，$△ DEF$是围成的小等边三角形。已知$AE=1$，$ED=2$，则$BC$的长是（）
A.$\sqrt{13}$
B.$\sqrt{14}$
C.$\sqrt{15}$
D.$4$
A.$\sqrt{13}$
B.$\sqrt{14}$
C.$\sqrt{15}$
D.$4$
答案
A
解析
1. 由△ABF、△BCD、△ACE全等，可得$AE=CD=BF=1$，$BD=CE=AF$。
2. 因为△DEF是等边三角形，$ED=2$，所以$EF=FD=DE=2$，因此$BD=BF+FD=1+2=3$，即$CE=3$。
3. 由∠DEF=60°，得∠AEC=180°-∠DEF=120°。过点A作$AG⊥CE$，交CE的延长线于点G，可得∠AEG=180°-120°=60°。
4. 在$Rt△AEG$中，∠G=90°，∠EAG=30°，因此$EG=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}$，由勾股定理得$AG=\sqrt{AE^2-EG^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
5. $CG=CE+EG=3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$，在$Rt△ACG$中，由勾股定理：
$AC^2=AG^2+CG^2=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{7}{2})^2=13$，即$AC=\sqrt{13}$。
6. 因为△ABC是等边三角形，所以$BC=AC=\sqrt{13}$。
2. 因为△DEF是等边三角形，$ED=2$，所以$EF=FD=DE=2$，因此$BD=BF+FD=1+2=3$，即$CE=3$。
3. 由∠DEF=60°，得∠AEC=180°-∠DEF=120°。过点A作$AG⊥CE$，交CE的延长线于点G，可得∠AEG=180°-120°=60°。
4. 在$Rt△AEG$中，∠G=90°，∠EAG=30°，因此$EG=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}$，由勾股定理得$AG=\sqrt{AE^2-EG^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
5. $CG=CE+EG=3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$，在$Rt△ACG$中，由勾股定理：
$AC^2=AG^2+CG^2=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{7}{2})^2=13$，即$AC=\sqrt{13}$。
6. 因为△ABC是等边三角形，所以$BC=AC=\sqrt{13}$。
11. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AD$平分$∠ BAC$。若$DC=7$，则点$D$到$AB$的距离为。
答案
解：
过点D作DE⊥AB于点E。
∵ ∠C=90°，
∴ DC⊥AC。
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴ DE = DC = 7，
即点D到AB的距离为7。
过点D作DE⊥AB于点E。
∵ ∠C=90°，
∴ DC⊥AC。
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴ DE = DC = 7，
即点D到AB的距离为7。
12.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E。若AE=3，△ABC的周长为15，则△ABD的周长是。
答案
$\boldsymbol{9}$
解析
解：
∵ DE是AC的垂直平分线，
∴ AD=DC，AE=EC。
∵ AE=3，
∴ AC=AE+EC=2AE=6。
∵ △ABC的周长为15，
∴ AB + BC + AC = 15，
∴ AB + BC = 15 - 6 = 9。
△ABD的周长 = AB + BD + AD，
又∵ AD=DC，
∴ AB + BD + AD = AB + BD + DC = AB + BC = 9。
∵ DE是AC的垂直平分线，
∴ AD=DC，AE=EC。
∵ AE=3，
∴ AC=AE+EC=2AE=6。
∵ △ABC的周长为15，
∴ AB + BC + AC = 15，
∴ AB + BC = 15 - 6 = 9。
△ABD的周长 = AB + BD + AD，
又∵ AD=DC，
∴ AB + BD + AD = AB + BD + DC = AB + BC = 9。
13. 在一个直角三角形中，它的一个锐角为$34°$，则另一个锐角的度数是。
答案
$\boldsymbol{56°}$
解析
解：
直角三角形的两个锐角互余，
因此另一个锐角的度数为 $90° - 34° = 56°$。
最终
直角三角形的两个锐角互余，
因此另一个锐角的度数为 $90° - 34° = 56°$。
最终
14.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，$AD⊥ BC$于点$D$，$BC=6$，则$BD$的长是________。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
解：∵ AB=AC，AD⊥BC，
由等腰三角形三线合一的性质可知，AD是底边BC的中线，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC$，
∵ BC=6，
∴ $BD=\frac{1}{2}×6=3$。
由等腰三角形三线合一的性质可知，AD是底边BC的中线，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC$，
∵ BC=6，
∴ $BD=\frac{1}{2}×6=3$。
15.若$△ ABC$三个角的大小满足$∠ A:∠ B:∠ C=2:3:4$,则$∠ A$的度数为。
答案
$\boldsymbol{40°}$
解析
解：设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，
根据三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°，
即2x+3x+4x=180°，
合并同类项得9x=180°，
解得x=20°，
所以∠A=2x=40°。
最终
根据三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°，
即2x+3x+4x=180°，
合并同类项得9x=180°，
解得x=20°，
所以∠A=2x=40°。
最终
16.如图,在长方形纸片ABCD中,AB=6,AD=10。将这张长方形纸片翻折,使点D落到BC边上的点H处,点C落到点G处,折痕交边AD,BC于点E,F。若BH=1,则AE的长为。
答案
解：设AE = x，
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD = BC = 10，AB = 6，∠A = ∠B = 90°，AD//BC，
过点E作EM⊥BC于点M，
则四边形ABME是矩形，
∴ EM = AB = 6，BM = AE = x，
∵ BH = 1，
∴ HM = BM - BH = x - 1，
由折叠的性质得：EH = DE = AD - AE = 10 - x，
在Rt△EMH中，由勾股定理得：
$EM^2 + HM^2 = EH^2$
即 $6^2 + (x - 1)^2 = (10 - x)^2$，
展开整理得：$18x = 63$，
解得 $x = \frac{7}{2}$。
故AE的长为 $\frac{7}{2}$。
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD = BC = 10，AB = 6，∠A = ∠B = 90°，AD//BC，
过点E作EM⊥BC于点M，
则四边形ABME是矩形，
∴ EM = AB = 6，BM = AE = x，
∵ BH = 1，
∴ HM = BM - BH = x - 1，
由折叠的性质得：EH = DE = AD - AE = 10 - x，
在Rt△EMH中，由勾股定理得：
$EM^2 + HM^2 = EH^2$
即 $6^2 + (x - 1)^2 = (10 - x)^2$，
展开整理得：$18x = 63$，
解得 $x = \frac{7}{2}$。
故AE的长为 $\frac{7}{2}$。
