17. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$AB=10$，$D$为$BC$的中点，$MN$为$AB$的垂直平分线，$E$为$MN$上任意一点，连接$DE$，$BE$，则$△ BDE$周长的最小值是。

$\boldsymbol{3+\sqrt{73}}$

解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$AB=10$，
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$
$\because D$为$BC$的中点，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=3$
$\because MN$是$AB$的垂直平分线，点$E$在$MN$上，
$\therefore BE=AE$。
则$△ BDE$的周长为：
$C_{△ BDE}=BD+DE+BE=3+DE+AE$
根据两点之间线段最短，当$A$、$E$、$D$三点共线时，$DE+AE$取得最小值，最小值为线段$AD$的长度。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$CD=\frac{1}{2}BC=3$，
由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{73}$
$\therefore △ BDE$周长的最小值为$3+\sqrt{73}$。

18.如图,在四边形ABCD中,AC,BD为对角线,且AC=AB,∠ACD=∠ABD,AE⊥BD于点E。若BD=6,CD=4,则DE的长为。

$\boldsymbol{1}$

解：
过点A作AF⊥CD，交CD的延长线于点F。
∵ AE⊥BD，
∴ ∠AEB = ∠AFC = 90°。
在△AEB和△AFC中，
$\{\begin{array}{l}∠AEB = ∠AFC \\∠ABE = ∠ACF \\AB = AC\end{array} $
∴ △AEB ≌ △AFC（AAS），
∴ AE = AF，BE = CF。
在Rt△AED和Rt△AFD中，
$\{\begin{array}{l}AD = AD \\AE = AF\end{array} $
∴ Rt△AED ≌ Rt△AFD（HL），
∴ DE = DF。
∵ CF = CD + DF，
∴ BE = CD + DE。
又∵ BE = BD - DE，
∴ BD - DE = CD + DE，
将BD=6，CD=4代入得：
6 - DE = 4 + DE，
解得DE=1。

三、解答题
19.如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F。若DE=7，BC=4，∠D=35°，∠C=60°。
(1)求AE的长；
(2)求∠DFA的度数。

解：
(1) ∵△ABC≌△DEB，
∴AB=DE，BE=BC，
∵DE=7，BC=4，
∴AB=7，BE=4，
又∵点E在AB上，
∴AE=AB - BE=7 - 4=3。
(2) ∵△ABC≌△DEB，
∴∠A=∠D=35°，∠DBE=∠C=60°，
在△ABC中，∠ABC=180° - ∠A - ∠C=180° - 35° - 60°=85°，
∴∠DEB=∠ABC=85°，
∴∠AED=180° - ∠DEB=180° - 85°=95°，
∵∠DFA是△AEF的外角，
∴∠DFA=∠A + ∠AED=35° + 95°=130°。
答：AE的长为3，∠DFA的度数为130°。

20. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，过点$A$作$AD⊥ AB$，$BD$平分$∠ ABC$交$AD$于点$D$，交$AC$于点$E$。求证：$∠ D=∠ AED$。

证明：
∵ AD⊥AB，
∴ ∠DAB = 90°，
∴ 在Rt△ABD中，∠D + ∠ABD = 90°。
∵ ∠C = 90°，
∴ 在Rt△BCE中，∠CEB + ∠CBE = 90°。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBE，
∴ ∠D = ∠CEB。
又∵ ∠CEB = ∠AED（对顶角相等），
∴ ∠D = ∠AED。