1. (2025·东营中考)2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩,图片为滑雪比赛的精彩瞬间.抽象为如图所示的图形,已知滑雪杖AB和滑雪板DE平行,滑雪杖AB与大腿BC的夹角为30°,小腿CE与滑雪板DE的夹角为80°,则大腿与小腿的夹角∠C的度数为 ()


A.80°
B.90°
C.100°
D.110°

1. D 解析:如图,过点 C 作 CM//AB,因为 AB // DE,所以 CM // DE,所以 ∠BCM = ∠B = 30°, ∠ECM = ∠E = 80°,所以 ∠BCM+∠ECM = 30°+80° = 110°.故选 D.

2. 如图,将∠A为$30°$的直角三角尺ABC的直角顶点C放在直尺的一边上,则∠1+∠2的度数为.

2. 60° 解析:过点 B 作 BD//EF 交 AC 于点 D,在直角三角尺 ABC 中,∠A = 30°,所以 ∠ABC = 60°.因为 BD//EF,所以 ∠1 = ∠ABD.因为 BD//EF,MN//EF,易证 MN//BD,所以 ∠2 = ∠CBD,所以 ∠1 + ∠2 = ∠ABD + ∠CBD = ∠ABC = 60°.

3. 如图，$AB// EF$，$∠ C=90°$，则$α$，$β$和$\gamma$的关系是
()


A.$β=α+\gamma$
B.$α+β+\gamma=180°$
C.$α+β-\gamma=90°$
D.$β+\gamma-α=180°$

3. C 解析:延长 DC 交 AB 于点 G,延长 CD 交 EF 于点 H,如图,在直角三角形 BGC 中,∠1 = 90°-α;在三角形 EHD 中,∠EDH = 180°-β,∠EDH+γ+∠2 = 180°,所以 180°-β+γ+∠2= 180°,所以 ∠2 = β - γ. 因为 AB // EF,所以 ∠1 = ∠2,所以 90°-α=β-γ,所以 α+β-γ=90°.故选 C.

4. 如图，AB//CD，若∠E + ∠G = ∠H，则∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠F的度数为°。

4. 360 解析:如图所示,延长 AE,DG 交于点 Q,过点 H,Q 分别作 AB,CD 的平行线 l₁,l₂,连接 FQ,由平行线的性质,易得∠A + ∠D = ∠AQD, ∠B + ∠BHC + ∠C = 360°. 又因为 ∠FEQ+∠EFQ+∠EQF = 180°,∠FEQ = 180°-∠AEF,所以 180°-∠AEF+∠EFQ+∠EQF = 180°,所以 ∠EFQ+∠EQF = ∠AEF ①.同理可得∠GFQ+∠GQF = ∠DGF ②.所以①+②得∠EFQ+∠EQF+∠GFQ+∠GQF = ∠AEF+∠DGF,整理得∠EFG+∠EQG = ∠AEF+∠DGF,所以 ∠EQG = ∠AEF+∠DGF-∠EFG,所以 ∠A+∠D = ∠AEF+∠DGF-∠EFG,即 ∠EFG = ∠AEF+∠DGF-(∠A+∠D).又因为 ∠AEF + ∠DGF = ∠BHC,所以 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠EFG = ∠A+∠B+∠C+∠D+∠AEF+∠DGF-(∠A+∠D) = ∠B+∠C+∠BHC = 360°.

5. 已知直线$AB// DC$，点$P$为平面上一点，连接$AP$与$CP$.
(1) 如图①，点$P$在直线$AB, CD$之间，当$∠ BAP=60°, ∠ DCP=20°$时，求$∠ APC$的度数.
(2) 如图②，点$P$在直线$AB, CD$之间，在$AC$左侧，$∠ BAP$与$∠ DCP$的平分线相交于点$K$，写出$∠ AKC$与$∠ APC$之间的数量关系，并说明理由.
(3) 如图③，点$P$落在$CD$外，$∠ BAP$与$∠ DCP$的平分线相交于点$K$，$∠ AKC$与$∠ APC$有何数量关系？并说明理由.

类型二 “铅笔”型图形研究
①基本型

5. (1) 如图①,过点 P 作 PE//AB,因为 AB//CD,所以 PE//AB//CD,所以 ∠APE = ∠BAP,∠CPE = ∠DCP,所以 ∠APC = ∠APE+∠CPE = ∠BAP+∠DCP = 60°+20° = 80°.
(2) ∠AKC = 1/2 ∠APC.理由如下:如图②,过点 K 作 KE//AB,因为 AB//CD,所以 KE//AB//CD,所以 ∠AKE = ∠BAK, ∠CKE = ∠DCK,所以 ∠AKC = ∠AKE + ∠CKE = ∠BAK + ∠DCK.过点 P 作 PF//AB,同理可得 ∠APC = ∠BAP + ∠DCP.因为 ∠BAP 与 ∠DCP 的平分线交于点 K,所以 ∠BAK + ∠DCK = 1/2 ∠BAP + 1/2 ∠DCP = 1/2(∠BAP+∠DCP) = 1/2 ∠APC,所以 ∠AKC = 1/2 ∠APC.
(3) ∠AKC = 1/2 ∠APC.理由如下:如图③,过点 K 作 KE//AB,因为 AB//CD,所以 KE//AB//CD,所以 ∠BAK = ∠AKE, ∠DCK = ∠CKE,所以 ∠AKC = ∠AKE - ∠CKE = ∠BAK - ∠DCK.过点 P 作 PF//AB,同理可得 ∠APC = ∠BAP - ∠DCP.因为 ∠BAP 与 ∠DCP 的平分线相交于点 K,所以 ∠BAK - ∠DCK = 1/2 ∠BAP - 1/2 ∠DCP = 1/2 ( ∠BAP - ∠DCP ) = 1/2 ∠APC,所以 ∠AKC = 1/2 ∠APC.

6. 如图，直线$AB// CD$，$AE⊥ CE$于点E，若$∠ EAB=120°$，则$∠ ECD=$°。

6. 150 解析:过点 E 作 EF//AB,因为直线 AB // CD,EF // AB,所以 EF // CD,所以 ∠BAE + ∠FEA = 180°, ∠FEC + ∠ECD = 180°,所以 ∠BAE+∠FEA+∠FEC+∠ECD = 360°.因为 ∠EAB = 120°, ∠AEC = 90°,所以 ∠ECD = 360°-( ∠BAE+∠FEA+∠FEC ) = 360°-( 120°+90° ) = 150°.
一题多解 如图,延长 AE,与 DC 的延长线交于点 G.因为 AB//CD,所以 ∠A + ∠AGC = 180°.因为 ∠EAB = 120°,所以 ∠AGC = 180° - 120° = 60°.因为 AE ⊥ CE,所以 ∠AEC = 90°,所以 ∠CEG = 180° - 90° = 90°,所以 ∠ECG = 180° - ( ∠CEG+∠AGC ) = 30°,所以 ∠ECD = 180° - 30° = 150°.