1. 新趋势 过程性学习 如图①,已知三角形ABC,试说明:∠A+∠B+∠C=180°.
分析:通过画平行线,将∠A,∠B,∠C作等角代换,使各角之和恰为一个平角,依辅助线不同而得到多种说法.

说法1:如图②,延长BC到点D,过点C作CE//BA.
因为BA//CE,所以∠B=(两直线平行,同位角相等),∠A=∠2().
又因为∠BCD=∠BCA+∠2+∠1=180°(平角的定义),所以∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).
(1)请补全上述说明过程.
(2)如图③,过线段BC上任一点F(点B,C除外),作FH//AC,FG//AB,这种添加辅助线的方法也能证明∠A+∠B+∠C=180°.请完成说理过程(此题不需要写括号部分的理论依据).
说法2:如图③,过线段BC上任一点F(点B,C除外),作FH//AC,FG//AB,分别交AB,AC于点H,G.

1. (1)∠1 两直线平行,内错角相等
(2)因为 FH//AC,FG//AB,所以∠1=∠C,∠B=∠3,∠A=∠BHF,∠2=∠BHF,所以∠A=∠2. 因为∠1+∠2+∠3=180°,所以∠A+∠B+∠C=180°.

2. 如图，AB//CD，若∠B+∠D+∠BED=180°，则∠BED=°。

2. 90 解析: 连接 BD,因为 AB//CD,所以∠ABE+∠DBE+∠BDE+∠CDE = 180°. 又因为∠ABE + ∠CDE + ∠BED = 180°,所以∠DBE+∠BDE = ∠BED. 又因为∠DBE+∠BDE+∠BED=180°,所以2∠BED=180°,所以∠BED=90°.

3. 如图,已知$AB// DE$,$∠ B=150°$,$∠ D=145°$,则$∠ C=$°。

3. 65 解析: 连接 BD,因为 AB//DE,所以∠ABD+∠BDE = 180°.因为∠ABC+∠EDC=∠ABD+∠DBC+∠BDE+∠BDC=150°+145° = 295°,所以∠DBC + ∠BDC = 295° - 180° = 115°,所以∠C=180°-(∠DBC+∠BDC)=180°-115°=65°.

4. (2025·绥化模拟)如图是我们生活中经常接触的小刀的示意图,刀柄外形是一个直角梯形(挖去一个半圆),刀片上下是平行的,转动刀片时会形成∠1,∠2,则∠1+∠2= ()


A.$180°$
B.$90°$
C.$60°$
D.$45°$

4. B 解析:如图,延长 AB 交 CD 于点 E,由题意得 AF//CD,∠ABD=∠DBE=90°.因为 AF//CD,所以∠1=∠DEB.因为∠DBE=90°,所以∠1+∠2=90°.故选 B.

5. 如图，已知$AB// CD$，$∠α=130°$，$∠\gamma=20°$，则$∠β=$°。

5. 70 解析:如图,延长 AE 交 DC 的延长线于点 F,因为 AB//CD,所以∠α+∠AFD=180°.因为∠β+∠DEF=180°,且由三角形的内角和为180°可得∠AFD+∠γ+∠DEF=180°,所以∠β=∠AFD+∠γ=180°-∠α+∠γ=180°-130°+20°=70°.

6. 一题多解（2026·扬州期末）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A=130°,第二次拐角∠B=150°.第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,则∠C=°.

6. 160 解析:如图,延长 AB,交 DC 延长线于点 E,由题意得 AF//DE,所以∠A=∠E=130°.过点 B 作 GH//AF,所以∠A=∠ABH,所以∠ABH = ∠E,所以 GH // CD,所以∠HBC=∠BCE.因为∠ABC=∠ABH+∠HBC=∠E+∠BCE=150°,所以∠BCE = 150° - ∠E = 150° - 130° = 20°,所以∠BCD=180°-∠BCE=160°.
一题多解 如图,延长 AB,交 DC 的延长线于点 E,由题意得 AF//DE,所以∠A=∠E=130°.因为∠ABC=150°,所以∠CBE = 180° - 150° = 30°.又因为三角形内角和为180°,所以∠E+∠BCE+∠CBE=180°.又∠BCD+∠BCE=180°,所以∠E+∠CBE=∠BCD=130°+30°=160°.