9. (2026·苏州期末)如果$∠α$和$∠β$互补，且$∠α＜∠β$，那么下列式子：①$90° - ∠α$；②$∠β - 90°$；③$\frac{1}{2}(180° - ∠β)$；④$\frac{1}{2}(∠β - ∠α)$中一定表示$∠α$的余角有.(填序号)

①②④ 解析:因为∠α 和∠β 互补,所以∠α + ∠β = 180°,所以∠α 的余角为 90°-∠α.①90°-∠α,直接是余角,正确.②∠β-90°=(180°-∠α)-90°=90°-∠α,是余角,正确.③$\frac{1}{2}(180°-∠β)=\frac{1}{2}∠α$,不一定等于90°-∠α,错误.④$\frac{1}{2}(∠β-∠α)=\frac{1}{2}[(180°-∠α)-∠α]=\frac{1}{2}(180°-2∠α)=90°-∠α$,是余角,正确.所以正确的有①②④.

10. 如图,先找到长方形纸的宽DC的中点E,将∠C过点E折起任意一个角,折痕是EF,再将∠D过点E折起,使DE和C'E重合,折痕是GE,请探索下列问题:
(1)∠FEC'和∠GEC'互为余角吗?为什么?
(2)∠GEF是直角吗?为什么?
(3)在上述折纸图形中,还有哪些角互为余角?还有哪些角互为补角?各写出四对即可.

(1)∠FEC'和∠GEC'互为余角.理由如下:根据折叠得∠3=∠1,∠4=∠2.因为∠1+∠2+∠3+∠4=180°,所以∠1+∠2=90°,即∠FEC' + ∠GEC' = 90°,故∠FEC' 和 ∠GEC' 互为余角.
(2)∠GEF 是直角.理由如下:由(1)知∠GEF=∠1+∠2=90°,所以∠GEF 是直角.
(3)答案合理即可,如:互余的角有∠3 和∠4,∠1 和∠EFC',∠2 和∠EGC',∠3 和∠EFC 等;互补的角有∠AGF 和∠DGF,∠CEC' 和∠DEC',∠AGE 和∠EGD,∠BFG 和∠CFG 等.

11. (2025·合肥期末)定义:从一个角的顶点出发,在角的内部引两条射线,如果这两条射线所成的角与这个角互余,那么这两条射线所成的角叫作这个角的内余角,若射线OC,OD在∠AOB的内部,且∠COD+∠AOB=90°,则∠COD是∠AOB的内余角.
根据以上信息,解决下面的问题:
(1)如图①,∠AOB=70°,∠AOC=20°,若∠COD是∠AOB的内余角,则∠BOD=;
(2)如图②,已知∠AOB=50°,将OA绕点O沿顺时针方向旋转一个角度α(0°＜α＜60°)得到OC,同时将OB绕点O沿顺时针方向旋转一个角度$\frac{1}{3}α$得到OD.若∠COB是∠AOD的内余角,求α的值;
(3)把一块含有30°角的三角板COD按图③方式放置,使OC边与OA边重合,OD边与OB边重合,如图④,将三角板COD绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转,旋转时间为t秒,在旋转一周的时间内,当射线OA,OB,OC,OD构成内余角时,请求出t的值.

(1)30° 解析:因为∠COD 是∠AOB 的内余角,所以∠COD+∠AOB=90°.因为∠AOB=70°,所以∠COD=20°.因为∠AOC=20°,所以∠BOD=∠AOB-∠AOC-∠COD=70°-20°-20°=30°.
(2)已知∠AOB=50°,OA 绕点 O 沿顺时针方向旋转一个角度 α(0°＜α＜60°)得到 OC,OB 绕点 O 沿顺时针方向旋转一个角度 $\frac{1}{3}α$ 得到 OD,所以∠AOC = α, ∠BOD = $\frac{1}{3}α$,所以∠BOC = ∠AOB-α = 50°-α, ∠AOD = ∠AOB+∠BOD=50°+$\frac{1}{3}α$.因为∠COB 是∠AOD 的内余角,所以∠COB+∠AOD = 90°,所以 50°-α+50°+$\frac{1}{3}α$=90°,解得 α=15°,所以 α 的值为 15°.
(3)根据题意可得∠AOB=30°,三角板 COD 绕顶点 O 以6 度/秒的速度按顺时针方向旋转,旋转时间为 t 秒.
①当 OC 在∠AOB 内部时,如图①所示,所以∠AOC=(6t)°,∠BOD=(6t)°,所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°-(6t)°,∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+(6t)°,当∠COB 是∠AOD 的内余角时,∠COB + ∠AOD = 90°,所以 30°-(6t)°+30°+(6t)°=90°,无解,所以当 OC 在∠AOB 内部时,射线 OA,OB,OC,OD 不能构成内余角;

②当 OC 在射线 OB 下方时,如图②所示,所以∠BOC=(6t)°-30°,∠AOD=(6t)°+30°,当∠BOC 是∠AOD 的内余角时,∠BOC + ∠AOD = 90°,所以(6t)°-30°+(6t)°+30°=90°,解得 t=7.5;
③当 OD 在 OA 上方时,如图③所示,所以∠AOD=360°-(6t)°-30°=330°-(6t)°,∠BOC=∠AOD+60°=330°-(6t)°+60°=390°-(6t)°,当∠AOD 是∠BOC 的内余角时,∠AOD+∠BOC=90°,所以 330°-(6t)°+390°-(6t)°=90°,解得 t=52.5;

④当 OD 在∠AOB 内部时,如图④所示,所以∠AOC=360°-(6t)°,∠BOD=360°-(6t)°,∠AOD=30°-∠COA=30°-[360°-(6t)°]=(6t)°-330°,所以∠BOC=∠AOC+∠AOB=390°-(6t)°,当∠AOD 是∠BOC 的内余角时,∠AOD+∠COB=90°,所以(6t)°-330°+390°-(6t)°=90°,无解,所以当 OD 在∠AOB 内部时,射线 OA,OB,OC,OD不能构成内余角.
综上所述,当射线 OA,OB,OC,OD 构成内余角时,t 的值为7.5 或 52.5.