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1. 下列二次根式的运算正确的是(
A.$\sqrt{(-3)^2} = -3$
B.$\sqrt{3} + \sqrt{3} = \sqrt{6}$
C.$5\sqrt{3} × 2\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$
D.$\sqrt{6} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{2}$
D
)。A.$\sqrt{(-3)^2} = -3$
B.$\sqrt{3} + \sqrt{3} = \sqrt{6}$
C.$5\sqrt{3} × 2\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$
D.$\sqrt{6} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{2}$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查二次根式的性质与四则运算，解题时需结合二次根式的相关规则逐个判断选项正误即可。首先明确判断依据：①二次根式具有非负性，满足$\sqrt{a^2}=|a|$；②同类二次根式加减时，仅合并系数，根号部分不变；③二次根式乘除运算时，系数与系数运算，根号部分按照$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）计算。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A选项：根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$，选项结果为$-3$，运算错误；
B选项：$\sqrt{3}$与$\sqrt{3}$是同类二次根式，合并时系数相加、根号部分不变，即$\sqrt{3}+\sqrt{3}=(1+1)\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，选项结果为$\sqrt{6}$，运算错误；
C选项：二次根式乘法运算，系数相乘、根号部分相乘，即$5\sqrt{3}×2\sqrt{3}=(5×2)×(\sqrt{3}×\sqrt{3})=10×3=30$，选项结果为$10\sqrt{3}$，运算错误；
D选项：二次根式除法运算，$\sqrt{6}÷\sqrt{3}=\sqrt{6÷3}=\sqrt{2}$，运算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质；二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查对二次根式基本性质和四则运算法则的掌握，错误选项均为学生运算时的常见易错点，只要牢记运算规则、仔细计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的性质与四则运算，解题时需结合二次根式的相关规则逐个判断选项正误即可。首先明确判断依据：①二次根式具有非负性，满足$\sqrt{a^2}=|a|$；②同类二次根式加减时，仅合并系数，根号部分不变；③二次根式乘除运算时，系数与系数运算，根号部分按照$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）计算。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A选项：根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$，选项结果为$-3$，运算错误；
B选项：$\sqrt{3}$与$\sqrt{3}$是同类二次根式，合并时系数相加、根号部分不变，即$\sqrt{3}+\sqrt{3}=(1+1)\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，选项结果为$\sqrt{6}$，运算错误；
C选项：二次根式乘法运算，系数相乘、根号部分相乘，即$5\sqrt{3}×2\sqrt{3}=(5×2)×(\sqrt{3}×\sqrt{3})=10×3=30$，选项结果为$10\sqrt{3}$，运算错误；
D选项：二次根式除法运算，$\sqrt{6}÷\sqrt{3}=\sqrt{6÷3}=\sqrt{2}$，运算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质；二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查对二次根式基本性质和四则运算法则的掌握，错误选项均为学生运算时的常见易错点，只要牢记运算规则、仔细计算即可得分。
【难度系数】
0.8
2.若代数式$\frac{\sqrt{x}}{x-1}$有意义，则实数$x$的取值范围是(
A.$x≠1$
B.$x≥0$
C.$x＞0$
D.$x≥0$且$x≠1$
D
)。A.$x≠1$
B.$x≥0$
C.$x＞0$
D.$x≥0$且$x≠1$
答案
2.D
解析
【分析】
要确定代数式有意义时x的取值范围，需先明确代数式中包含的运算的限制条件：该式子既有二次根式，又有分式，所以需要同时满足两个要求：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0。我们先分别根据这两个要求列出关于x的不等式，再取两个不等式解集的公共部分，就是x的取值范围。
【解析】
要使代数式$\frac{\sqrt{x}}{x-1}$有意义，需同时满足：
1. 二次根式的被开方数非负：$x≥0$；
2. 分式的分母不为0：$x-1≠0$，解得$x≠1$。
综合两个条件，x的取值范围是$x≥0$且$x≠1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握不同类型代数式有意义的限制条件，解题时注意要把所有限制条件都考虑到，避免出现只考虑二次根式或者只考虑分式的漏解情况。
【难度系数】
0.8
要确定代数式有意义时x的取值范围，需先明确代数式中包含的运算的限制条件：该式子既有二次根式，又有分式，所以需要同时满足两个要求：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0。我们先分别根据这两个要求列出关于x的不等式，再取两个不等式解集的公共部分，就是x的取值范围。
【解析】
要使代数式$\frac{\sqrt{x}}{x-1}$有意义，需同时满足：
1. 二次根式的被开方数非负：$x≥0$；
2. 分式的分母不为0：$x-1≠0$，解得$x≠1$。
综合两个条件，x的取值范围是$x≥0$且$x≠1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握不同类型代数式有意义的限制条件，解题时注意要把所有限制条件都考虑到，避免出现只考虑二次根式或者只考虑分式的漏解情况。
【难度系数】
0.8
3. 如右图,面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上,且点A表示的数为1,若点E在数轴上(点E在点A的右侧)且AB = AE,则点E所表示的数为(
A.$4 + \sqrt{7}$
B.$3 + \sqrt{7}$
C.$2 + \sqrt{7}$
D.$1 + \sqrt{7}$
D
)。A.$4 + \sqrt{7}$
B.$3 + \sqrt{7}$
C.$2 + \sqrt{7}$
D.$1 + \sqrt{7}$
答案
3.D
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先，要求数轴上点E表示的数，已知点A对应的数，只需先求出线段AE的长度；其次，利用正方形面积和边长的关系，计算出正方形边长AB，再结合题目给出的AB=AE，即可得到AE的长度；最后，由于点E在点A右侧，点E表示的数等于点A表示的数加上AE的长度，按此逻辑就能算出结果。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的面积为7，且正方形的面积=边长²
∴正方形的边长$AB=\sqrt{7}$
又
∵题目给出$AB=AE$
∴$AE=\sqrt{7}$
已知点A在数轴上表示的数为1，且点E在点A的右侧
∴点E所表示的数为$1+\sqrt{7}$
故选D
【答案】
D
【知识点】
正方形面积公式；数轴上点的表示；算术平方根应用
【点评】
本题是几何性质与数轴知识结合的基础题，解题核心是先通过正方形面积求出边长，再结合数轴上点的位置关系计算对应数值，运算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：首先，要求数轴上点E表示的数，已知点A对应的数，只需先求出线段AE的长度；其次，利用正方形面积和边长的关系，计算出正方形边长AB，再结合题目给出的AB=AE，即可得到AE的长度；最后，由于点E在点A右侧，点E表示的数等于点A表示的数加上AE的长度，按此逻辑就能算出结果。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的面积为7，且正方形的面积=边长²
∴正方形的边长$AB=\sqrt{7}$
又
∵题目给出$AB=AE$
∴$AE=\sqrt{7}$
已知点A在数轴上表示的数为1，且点E在点A的右侧
∴点E所表示的数为$1+\sqrt{7}$
故选D
【答案】
D
【知识点】
正方形面积公式；数轴上点的表示；算术平方根应用
【点评】
本题是几何性质与数轴知识结合的基础题，解题核心是先通过正方形面积求出边长，再结合数轴上点的位置关系计算对应数值，运算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
4.如右图,在△ABC中,AC = 6,BC = 8,BA = 10,P为边AB上一动点,PE ⊥ AC于点E,PF ⊥ BC于点F,点M为EF的中点,则PM的最小值为(
A.2.4
B.2.5
C.4.8
D.5
A
)A.2.4
B.2.5
C.4.8
D.5
答案
4.A
解析
【分析】
解题可按三步思考：①先判断△ABC的形状，由三边长度6、8、10，用勾股定理逆定理可证∠C为直角；②结合PE⊥AC、PF⊥BC的条件，可证四边形CEPF是矩形，根据矩形对角线相等且互相平分的性质，可得EF=CP，且PM是CP的一半，因此求PM的最小值可转化为求CP的最小值；③点P在AB上，根据垂线段最短，CP的最小值是点C到AB的垂线段长度，用面积法求出该高后除以2即可得到PM的最小值。
【解析】
1. 证明△ABC是直角三角形：
已知AC=6，BC=8，AB=10，
∵$AC^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2=AB^2$，
∴$∠ C=90°$。
2. 证明四边形CEPF是矩形：
∵$PE⊥ AC$，$PF⊥ BC$，$∠ C=90°$，
∴$∠ CEP=∠ CFP=∠ C=90°$，
∴四边形CEPF是矩形。
3. 推导PM和CP的关系：
矩形对角线相等，故$EF=CP$；
矩形对角线互相平分，M是EF中点，因此M也是CP的中点，
∴$PM=\frac{1}{2}CP$。
4. 求CP的最小值：
根据垂线段最短，当$CP⊥ AB$时，CP长度最小。
由三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CP$，
代入数值：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CP$，
解得$CP=4.8$。
5. 计算PM的最小值：
$PM=\frac{1}{2}×4.8=2.4$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理逆定理，矩形的性质，垂线段最短
【点评】
本题将几何最值和特殊四边形性质结合考查，解题核心是通过矩形的性质把未知的PM最值转化为我们熟悉的点到直线的最短距离问题，用面积法求直角三角形斜边上的高是常用的解题技巧。
【难度系数】
0.6
解题可按三步思考：①先判断△ABC的形状，由三边长度6、8、10，用勾股定理逆定理可证∠C为直角；②结合PE⊥AC、PF⊥BC的条件，可证四边形CEPF是矩形，根据矩形对角线相等且互相平分的性质，可得EF=CP，且PM是CP的一半，因此求PM的最小值可转化为求CP的最小值；③点P在AB上，根据垂线段最短，CP的最小值是点C到AB的垂线段长度，用面积法求出该高后除以2即可得到PM的最小值。
【解析】
1. 证明△ABC是直角三角形：
已知AC=6，BC=8，AB=10，
∵$AC^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2=AB^2$，
∴$∠ C=90°$。
2. 证明四边形CEPF是矩形：
∵$PE⊥ AC$，$PF⊥ BC$，$∠ C=90°$，
∴$∠ CEP=∠ CFP=∠ C=90°$，
∴四边形CEPF是矩形。
3. 推导PM和CP的关系：
矩形对角线相等，故$EF=CP$；
矩形对角线互相平分，M是EF中点，因此M也是CP的中点，
∴$PM=\frac{1}{2}CP$。
4. 求CP的最小值：
根据垂线段最短，当$CP⊥ AB$时，CP长度最小。
由三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CP$，
代入数值：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CP$，
解得$CP=4.8$。
5. 计算PM的最小值：
$PM=\frac{1}{2}×4.8=2.4$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理逆定理，矩形的性质，垂线段最短
【点评】
本题将几何最值和特殊四边形性质结合考查，解题核心是通过矩形的性质把未知的PM最值转化为我们熟悉的点到直线的最短距离问题，用面积法求直角三角形斜边上的高是常用的解题技巧。
【难度系数】
0.6
1. 使 $\sqrt{4x - 1}$ 有意义的 $x$ 的取值范围是
$x ≥ \frac{1}{4}$或$x ≥ 0.25$
。答案
1.$x ≥ \frac{1}{4}$或$x ≥ 0.25$
解析
【分析】
要确定使二次根式有意义的x的取值范围，首先回忆二次根式的相关性质：只有当被开方数为非负数时，二次根式才有意义。因此本题只需令被开方数4x-1大于等于0，再解这个一元一次不等式，即可得到x的取值范围。
【解析】
解：要使$\sqrt{4x - 1}$有意义，需满足被开方数为非负数，即：
$4x - 1 ≥ 0$
移项可得：$4x ≥ 1$
不等式两边同时除以4，得：$x ≥ \frac{1}{4}$（也可写作$x≥0.25$）
【答案】
$x≥\frac{1}{4}$（或$x≥0.25$）
【知识点】
二次根式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，核心考点是二次根式的成立条件，牢记被开方数非负的规则即可快速求解，计算难度低。
【难度系数】
0.9
要确定使二次根式有意义的x的取值范围，首先回忆二次根式的相关性质：只有当被开方数为非负数时，二次根式才有意义。因此本题只需令被开方数4x-1大于等于0，再解这个一元一次不等式，即可得到x的取值范围。
【解析】
解：要使$\sqrt{4x - 1}$有意义，需满足被开方数为非负数，即：
$4x - 1 ≥ 0$
移项可得：$4x ≥ 1$
不等式两边同时除以4，得：$x ≥ \frac{1}{4}$（也可写作$x≥0.25$）
【答案】
$x≥\frac{1}{4}$（或$x≥0.25$）
【知识点】
二次根式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，核心考点是二次根式的成立条件，牢记被开方数非负的规则即可快速求解，计算难度低。
【难度系数】
0.9
2.如右图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点B'处,当△CEB'为直角三角形时,BE的长为
3或$\frac{3}{2}$
。答案
2.3或$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
本题属于矩形背景下的折叠问题，核心思路是利用折叠的不变性（对应边、对应角相等），结合直角三角形的性质分类讨论求解。首先明确△CEB'为直角三角形时，直角顶点未确定，因此需要分情况讨论：分别考虑∠B'EC=90°、∠EB'C=90°、∠ECB'=90°三种情况，排除不可能的情况后，对剩余两种情况结合图形性质和勾股定理计算BE的长度。
【解析】
已知矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=∠C=90°，由折叠性质可得△AB'E≌△ABE，因此AB'=AB=3，B'E=BE，∠AB'E=∠B=90°，分情况讨论：
1. 当∠B'EC=90°时：
∠BEB'=180°-∠B'EC=90°，又∠B=∠AB'E=90°，因此四边形ABEB'是矩形，又AB=AB'，故四边形ABEB'是正方形，可得BE=AB=3。
2. 当∠EB'C=90°时：
此时∠AB'E + ∠EB'C=180°，因此A、B'、C三点共线。在Rt△ABC中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，因此$B'C=AC-AB'=5-3=2$。
设BE=x，则B'E=x，$EC=4-x$，在Rt△B'EC中，由勾股定理得：
$B'E^2 + B'C^2 = EC^2$
即$x^2 + 2^2 = (4-x)^2$
展开化简得：$x^2+4=16-8x+x^2$，解得$x=\frac{3}{2}$。
3. 当∠ECB'=90°时，点B'需落在CD边上，此时AB'=3＜AD=4，Rt△AB'D中斜边小于直角边，不可能成立，故该情况舍去。
综上，BE的长为3或$\frac{3}{2}$。
【答案】
3或$\frac{3}{2}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题考查分类讨论思想在几何问题中的应用，解题的关键是明确直角三角形直角顶点的所有可能情况，结合折叠前后线段、角度不变的性质，利用勾股定理建立方程求解，解题时注意排除不符合实际的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.5
本题属于矩形背景下的折叠问题，核心思路是利用折叠的不变性（对应边、对应角相等），结合直角三角形的性质分类讨论求解。首先明确△CEB'为直角三角形时，直角顶点未确定，因此需要分情况讨论：分别考虑∠B'EC=90°、∠EB'C=90°、∠ECB'=90°三种情况，排除不可能的情况后，对剩余两种情况结合图形性质和勾股定理计算BE的长度。
【解析】
已知矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=∠C=90°，由折叠性质可得△AB'E≌△ABE，因此AB'=AB=3，B'E=BE，∠AB'E=∠B=90°，分情况讨论：
1. 当∠B'EC=90°时：
∠BEB'=180°-∠B'EC=90°，又∠B=∠AB'E=90°，因此四边形ABEB'是矩形，又AB=AB'，故四边形ABEB'是正方形，可得BE=AB=3。
2. 当∠EB'C=90°时：
此时∠AB'E + ∠EB'C=180°，因此A、B'、C三点共线。在Rt△ABC中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，因此$B'C=AC-AB'=5-3=2$。
设BE=x，则B'E=x，$EC=4-x$，在Rt△B'EC中，由勾股定理得：
$B'E^2 + B'C^2 = EC^2$
即$x^2 + 2^2 = (4-x)^2$
展开化简得：$x^2+4=16-8x+x^2$，解得$x=\frac{3}{2}$。
3. 当∠ECB'=90°时，点B'需落在CD边上，此时AB'=3＜AD=4，Rt△AB'D中斜边小于直角边，不可能成立，故该情况舍去。
综上，BE的长为3或$\frac{3}{2}$。
【答案】
3或$\frac{3}{2}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题考查分类讨论思想在几何问题中的应用，解题的关键是明确直角三角形直角顶点的所有可能情况，结合折叠前后线段、角度不变的性质，利用勾股定理建立方程求解，解题时注意排除不符合实际的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.5
