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如图,在 Rt △ABC 中,∠ACB = 90°,AC = 3,
BC = 4 ,D 是边 BC 上一动点,连接 AD。将 △ABD
沿着直线 AD 翻折。使点 B 落到点 B' 处,得到
△AB'D。
(1)如图1,当点 B' 在线段 AC 的延长线上时,连
接 BB' ,求 BB' 的长;
(2)如图2,当 DB' // AC 时,求 ∠CAD 的度数。
BC = 4 ,D 是边 BC 上一动点,连接 AD。将 △ABD
沿着直线 AD 翻折。使点 B 落到点 B' 处,得到
△AB'D。
(1)如图1,当点 B' 在线段 AC 的延长线上时,连
接 BB' ,求 BB' 的长;
(2)如图2,当 DB' // AC 时,求 ∠CAD 的度数。
答案
(1) $BB' = 2\sqrt{5}$。
(2) $∠CAD = 45°$。
(2) $∠CAD = 45°$。
解析
【分析】
（1）第一问先在$Rt△ ABC$中用勾股定理求出斜边$AB$的长度，再根据折叠的性质得到$AB'=AB$，进而求出$CB'$的长度，最后在$Rt△ BCB'$中用勾股定理计算$BB'$的长即可。
（2）第二问先根据平行线的性质得到$∠ B'DC=90°$，结合周角的定义和折叠前后对应角相等的性质求出$∠ ADB$的度数，进而得到$∠ ADC$的度数，最后在$Rt△ ACD$中利用直角三角形两锐角互余求出$∠ CAD$的度数。
【解析】
（1）在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
由折叠的性质可知，$AB'=AB=5$。
∵点$B'$在线段$AC$的延长线上，
∴$CB'=AB'-AC=5-3=2$。
又
∵$∠ ACB=90°$，
∴$∠ BCB'=180°-∠ ACB=90°$。
在$Rt△ BCB'$中，由勾股定理得：
$BB'=\sqrt{CB'^2+BC^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
（2）
∵$DB'// AC$，$∠ ACB=90°$，
∴$∠ B'DC=∠ ACB=90°$，即$∠ B'DB=90°$。
由折叠的性质可知，$∠ ADB=∠ ADB'$。
∵$∠ ADB+∠ ADB'+∠ B'DB=360°$，
∴$2∠ ADB+90°=360°$，解得$∠ ADB=135°$。
∴$∠ ADC=180°-∠ ADB=180°-135°=45°$。
在$Rt△ ACD$中，$∠ C=90°$，
∴$∠ CAD=90°-∠ ADC=90°-45°=45°$。
【答案】
(1) $BB' = 2\sqrt{5}$；(2) $∠ CAD = 45°$
【知识点】
勾股定理，折叠的性质，平行线的性质
【点评】
本题结合折叠变换考查几何基本性质的应用，解题关键是抓住折叠前后对应边相等、对应角相等的特点，结合图形梳理线段和角的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
（1）第一问先在$Rt△ ABC$中用勾股定理求出斜边$AB$的长度，再根据折叠的性质得到$AB'=AB$，进而求出$CB'$的长度，最后在$Rt△ BCB'$中用勾股定理计算$BB'$的长即可。
（2）第二问先根据平行线的性质得到$∠ B'DC=90°$，结合周角的定义和折叠前后对应角相等的性质求出$∠ ADB$的度数，进而得到$∠ ADC$的度数，最后在$Rt△ ACD$中利用直角三角形两锐角互余求出$∠ CAD$的度数。
【解析】
（1）在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
由折叠的性质可知，$AB'=AB=5$。
∵点$B'$在线段$AC$的延长线上，
∴$CB'=AB'-AC=5-3=2$。
又
∵$∠ ACB=90°$，
∴$∠ BCB'=180°-∠ ACB=90°$。
在$Rt△ BCB'$中，由勾股定理得：
$BB'=\sqrt{CB'^2+BC^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
（2）
∵$DB'// AC$，$∠ ACB=90°$，
∴$∠ B'DC=∠ ACB=90°$，即$∠ B'DB=90°$。
由折叠的性质可知，$∠ ADB=∠ ADB'$。
∵$∠ ADB+∠ ADB'+∠ B'DB=360°$，
∴$2∠ ADB+90°=360°$，解得$∠ ADB=135°$。
∴$∠ ADC=180°-∠ ADB=180°-135°=45°$。
在$Rt△ ACD$中，$∠ C=90°$，
∴$∠ CAD=90°-∠ ADC=90°-45°=45°$。
【答案】
(1) $BB' = 2\sqrt{5}$；(2) $∠ CAD = 45°$
【知识点】
勾股定理，折叠的性质，平行线的性质
【点评】
本题结合折叠变换考查几何基本性质的应用，解题关键是抓住折叠前后对应边相等、对应角相等的特点，结合图形梳理线段和角的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
四、综合实践活动
如右图，观察图形，解答下面的问题：
（1）此图形的名称为
（2）请你与同伴一起制作一个这样的立体图形，并把它的侧面沿SA剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个
（3）如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食物，且它只能绕此立体图形的侧面爬行一周到C处。你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？
（4）SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方。
如右图，观察图形，解答下面的问题：
（1）此图形的名称为
圆锥
。（2）请你与同伴一起制作一个这样的立体图形，并把它的侧面沿SA剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个
扇形
。（3）如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食物，且它只能绕此立体图形的侧面爬行一周到C处。你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？
（4）SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方。
答案
(1)圆锥
(2)扇形
(3)把此立体图形的侧面展开,如答图所示,连接AC,则AC为蜗牛爬行的最短路线。
(4)125。
解析
【分析】
（1）首先观察几何体特征：有1个顶点、1个圆形底面、1个曲面侧面，结合常见几何体的定义即可判断名称；
（2）回忆圆锥的侧面展开图的基础概念直接作答；
（3）立体图形上的最短路径问题，核心思路是“化曲为直”：将立体侧面展开为平面图形，根据平面内“两点之间线段最短”，连接两点的线段即为最短路径；
（4）展开后已知圆心角为90°，可得△ASC是直角三角形，结合SA长度和C是中点的条件，用勾股定理即可计算最短路程的平方。
【解析】
（1）该几何体符合圆锥的特征，名称为圆锥；
（2）圆锥的侧面沿母线剪开后，展开得到的图形是扇形；
（3）将圆锥侧面展开为平面扇形，根据两点之间线段最短，连接A、C两点，线段AC就是蜗牛爬行的最短路线；
（4）由题意可知，侧面展开图中∠ASC=90°，SA=10，
∵C是SA的中点，
∴$SC=\frac{1}{2}SA=\frac{1}{2}×10=5$，
在Rt△ASC中，根据勾股定理：
$AC^2=SA^2+SC^2=10^2+5^2=100+25=125$，
即蜗牛爬行的最短路程的平方为125。
【答案】
(1)圆锥
(2)扇形
(3)把此立体图形的侧面展开,如答图所示,连接AC,则AC为蜗牛爬行的最短路线。
(4)125
【知识点】
圆锥的特征，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题结合圆锥的基础性质和实际应用考察，注重“立体转平面”的转化思想，既需要掌握基础的几何概念，也需要一定的空间想象能力，能帮助学生巩固“化曲为直”的最短路径解题思路。
【难度系数】
0.7
（1）首先观察几何体特征：有1个顶点、1个圆形底面、1个曲面侧面，结合常见几何体的定义即可判断名称；
（2）回忆圆锥的侧面展开图的基础概念直接作答；
（3）立体图形上的最短路径问题，核心思路是“化曲为直”：将立体侧面展开为平面图形，根据平面内“两点之间线段最短”，连接两点的线段即为最短路径；
（4）展开后已知圆心角为90°，可得△ASC是直角三角形，结合SA长度和C是中点的条件，用勾股定理即可计算最短路程的平方。
【解析】
（1）该几何体符合圆锥的特征，名称为圆锥；
（2）圆锥的侧面沿母线剪开后，展开得到的图形是扇形；
（3）将圆锥侧面展开为平面扇形，根据两点之间线段最短，连接A、C两点，线段AC就是蜗牛爬行的最短路线；
（4）由题意可知，侧面展开图中∠ASC=90°，SA=10，
∵C是SA的中点，
∴$SC=\frac{1}{2}SA=\frac{1}{2}×10=5$，
在Rt△ASC中，根据勾股定理：
$AC^2=SA^2+SC^2=10^2+5^2=100+25=125$，
即蜗牛爬行的最短路程的平方为125。
【答案】
(1)圆锥
(2)扇形
(3)把此立体图形的侧面展开,如答图所示,连接AC,则AC为蜗牛爬行的最短路线。
(4)125
【知识点】
圆锥的特征，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题结合圆锥的基础性质和实际应用考察，注重“立体转平面”的转化思想，既需要掌握基础的几何概念，也需要一定的空间想象能力，能帮助学生巩固“化曲为直”的最短路径解题思路。
【难度系数】
0.7
