3.如右图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在边AD上，且EO ⊥ AC，若AB = 6，AC = 10，则△EDC的周长是。

3.14

【分析】
解题时先从矩形性质入手，首先明确矩形对边相等、对角线互相平分，且内角为直角；其次看到EO⊥AC且O是AC中点，可知EO是AC的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得AE=EC，此时可将△EDC的周长转化为AD+CD的长度和，最后用勾股定理求出AD的长度即可算出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6，∠ADC=90°，对角线AC、BD互相平分，即OA=OC，
又
∵EO⊥AC，
∴EO是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
△EDC的周长=DE + CE + CD，将CE替换为AE可得：
周长=DE + AE + CD = AD + CD，
在Rt△ADC中，AC=10，CD=6，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2 - CD^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8$，
∴△EDC的周长=$8 + 6=14$。
【答案】
14
【知识点】
矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质对三角形周长进行转化，避免单独计算各边长度，简化了运算过程，能很好地考查学生对基础几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

三、解答题
如右图,在四边形ABCD中,AB = BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N。
(1)求证:∠ADB = ∠CDB;
(2)若∠ADC = 90°,求证:四边形MPND是正方形。

证明:(1)因为对角线BD平分∠ABC,
所以∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD 中:
AB = BC(已知),∠ABD = ∠CBD(已证),
BD = BD(公共边),
所以△ABD≌△CBD(SAS)
根据全等三角形的对应角相等,得
∠ADB = ∠CDB。
(2)因为PM⊥AD,PN⊥CD,所以∠PMD
= ∠PND = 90°。又因为∠ADC = 90°,根
据“有三个角是直角的四边形是矩形”,
得四边形 MPND 是矩形。由(1)知
∠ADB = ∠CDB,因为 PM ⊥ AD,PN ⊥
CD,根据“角平分线上的点到角两边的
距离相等”,得 PM = PN。因为矩形 MP-
ND 的一组邻边 PM = PN,根据“一组邻
边相等的矩形是正方形”,得四边形 MP-
ND 是正方形。

【分析】
(1) 要证明∠ADB=∠CDB，可通过证明两角所在的△ABD和△CBD全等来推导。已知BD平分∠ABC可得∠ABD=∠CBD，结合题给AB=BC、BD为公共边，满足SAS全等判定条件，全等后对应角相等即可得证。
(2) 要证明四边形MPND是正方形，先根据PM⊥AD、PN⊥CD、∠ADC=90°，可判定该四边形是矩形；再结合(1)的结论可知BD平分∠ADC，利用角平分线的性质可得PM=PN，最后根据“一组邻边相等的矩形是正方形”即可完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵ 对角线BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中：
$\begin{cases}AB = BC（已知）\\∠ABD = ∠CBD（已证）\\BD = BD（公共边）\end{cases}$
∴ △ABD ≌ △CBD（SAS）
根据全等三角形的对应角相等，得∠ADB = ∠CDB。
(2) 证明：
∵ PM⊥AD，PN⊥CD，
∴ ∠PMD = ∠PND = 90°。
又
∵ ∠ADC = 90°，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”，得四边形MPND是矩形。
由(1)知∠ADB = ∠CDB，
∵ PM ⊥ AD，PN ⊥ CD，根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，得PM = PN。
∵ 矩形MPND的一组邻边PM = PN，根据“一组邻边相等的矩形是正方形”，得四边形MPND是正方形。
【答案】
(1) ∠ADB = ∠CDB；
(2) 四边形MPND是正方形。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；正方形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题时要理清逻辑推导顺序，先通过三角形全等得到角相等的中间结论，再结合特殊四边形的判定定理逐步求证，侧重对基础几何定理的理解和应用。
【难度系数】
0.7

四、综合实践活动
如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B,C,G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：$DM = FM$，$DM ⊥ FM$（无需写证明过程）。
（1）如图2，当点B,C,F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明。
（2）如图3，当点E,B,C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想。

(1)$DM ⊥ FM$,$DM = FM$。证明如下:
∵ 四边形ABCD 和四边形 CGEF 都是正方形,
∴ $AB // CD$,$CD = AD$,$GE // CF$,$∠ ADC = ∠ CGE = 90°$,
∴ $AD // GE$,$\therefore ∠ DAM = ∠ NEM$。
∵ M 是 AE 的中点,
∴ $AM = EM$。
在△ADM 和△ENM 中,
$\begin{cases}∠ DAM = ∠ NEM, \\AM = EM, \\∠ AMD = ∠ EMN,\end{cases}$
∴ $△ ADM ≌ △ ENM(\mathrm{ASA})$,
∴ $DM = NM$,$AD = EN$。
又
∵ $CD = AD$,$\therefore CD = EN$。
∵ 四边形 CGEF 是正方形,
∴ $CF = EF$,$∠ FEN = 90°$,
$FD = FN$。
又
∵ $∠ DFN = 90°$,$DM = NM$,
∴ $FM ⊥ DM$,$FM = DM$(等腰直角三角形二线合一)。
(2)$DM ⊥ FM$,$DM = FM$。

【分析】
探究两条线段的关系通常从数量关系和位置关系两方面入手。本题已知M为AE中点，且正方形的对边互相平行，可先通过“角边角”证明△ADM与△ENM全等，得到DM=NM、AD=EN；再结合正方形边长相等的性质，将AD替换为CD得到CD=EN，进而推出△DFN为等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形三线合一的性质即可得到DM与FM的关系。第（2）问可类比第（1）问的思路直接得出结论。
【解析】
(1) 猜想：$DM = FM$，$DM ⊥ FM$，证明如下：
∵ 四边形ABCD和四边形CGEF都是正方形，
∴ $AB // CD$，$CD = AD$，$GE // CF$，$∠ADC = ∠CGE = 90°$，
∴ $AD // GE$，$\therefore ∠DAM = ∠NEM$。
∵ M是AE的中点，
∴ $AM = EM$。
在$△ ADM$和$△ ENM$中，
$\begin{cases}∠DAM = ∠NEM, \\AM = EM, \\∠AMD = ∠EMN,\end{cases}$
∴ $△ ADM ≌ △ ENM(\mathrm{ASA})$，
∴ $DM = NM$，$AD = EN$。
又
∵ $CD = AD$，$\therefore CD = EN$。
∵ 四边形CGEF是正方形，
∴ $CF = EF$，$∠FEN = 90°$，$FD = FN$。
又
∵ $∠DFN = 90°$，$DM = NM$，
∴ $FM ⊥ DM$，$FM = DM$（等腰直角三角形二线合一）。
(2) 猜想：$DM = FM$，$DM ⊥ FM$。
【答案】
(1) $DM = FM$，$DM ⊥ FM$，证明见解析；
(2) $DM = FM$，$DM ⊥ FM$。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何探究类综合题，解题的关键是借助中点和平行线构造全等三角形完成边的等量转化，再结合特殊三角形的性质推导线段的数量与位置关系，能够较好地考查逻辑推理能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6