【变式2】解关于$x$的不等式:$x^{2}+(1-a)x-a＜0(a \in \mathbf{R}).$

不等式可化为$(x+1)(x-a)＜0$。
当$a=-1$时,原不等式的解集为$∅$;
当$a＞-1$时,原不等式的解集为$\{x∣ -1＜x＜a\}$;
当$a＜-1$时,原不等式的解集为$\{x∣ a＜x＜-1\}$。
综上所述,当$a=-1$时,原不等式的解集为$∅$;
当$a＞-1$时,原不等式的解集为$\{x∣ -1＜x＜a\}$;
当$a＜-1$时,原不等式的解集为$\{x∣ a＜x＜-1\}$。

【典例3】(多选)已知关于$x$的不等式$ax^2 + bx + c ≥ 0$的解集为$\{x|x ≤ -3或x ≥ 4\}$,则下列说法正确的是（）

A.$a＞0$
B.不等式$bx + c ＞ 0$的解集为$\{x|x ＜ -4\}$
C.$a + b + c ＞ 0$
D.不等式$cx^2 - bx + a ＜ 0$的解集为$\{x|x ＜ -\frac{1}{4}或x ＞ \frac{1}{3}\}$
解题指导 第1步:根据“不等式大于等于0的解集形式为取两边”,结合“二次函数图象与一元二次不等式解集的关系”,确定二次项系数$a$的符号.第2步:根据不等式的解集,可以知道$-3$和$4$是对应一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的根.第3步:根据根与系数的关系,列出系数$a,b,c$之间的关系式,并用$a$分别表示$b$和$c$,然后代入选项即可判断.
解析 因为关于$x$的不等式$ax^2 + bx + c ≥ 0$的解集为$\{x|x ≤ -3或x ≥ 4\}$,所以二次函数$y=ax^2 + bx + c$的图象开口向上,即$a＞0$,故选项A正确.
由题意,易得方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个实数根为$-3,4$,所以$\begin{cases}-3 + 4 = -\frac{b}{a}, \\ (-3) × 4 = \frac{c}{a},\end{cases}$
解得$\begin{cases}b = -a, \\ c = -12a,\end{cases}$
所以不等式$bx + c ＞ 0$等价于$-ax -12a ＞ 0$.因为$a＞0$,所以$x ＜ -12$,故选项B错误.
因为$a + b + c = a - a -12a = -12a ＜ 0$,故选项C错误.
不等式$cx^2 - bx + a ＜ 0$等价于$-12ax^2 + ax + a ＜ 0$,即$12x^2 - x -1 ＞ 0$,解得$x ＜ -\frac{1}{4}$或$x ＞ \frac{1}{3}$,所以不等式$cx^2 - bx + a ＜ 0$的解集为$\{x|x ＜ -\frac{1}{4},或x ＞ \frac{1}{3}\}$,故选项D正确.
答案 AD

AD

由不等式$ax^2+bx+c\ge0$的解集为$\{x|x\le-3或x\ge4\}$，可知对应二次函数图象开口向上，因此$a＞0$，A正确；
由题意得$-3$和$4$是方程$ax^2+bx+c=0$的两个实根，根据韦达定理得$\begin{cases}-3+4=-\frac{b}{a}\\-3×4=\frac{c}{a}\end{cases}$，解得$\begin{cases}b=-a\\c=-12a\end{cases}$；
将$b=-a,c=-12a$代入$bx+c＞0$得$-ax-12a＞0$，结合$a＞0$，解得$x＜-12$，B错误；
计算$a+b+c=a-a-12a=-12a＜0$，C错误；
将$b=-a,c=-12a$代入$cx^2-bx+a＜0$得$-12ax^2+ax+a＜0$，两边同除以$-a(a＞0)$得$12x^2-x-1＞0$，解得$x＜-\frac{1}{4}$或$x＞\frac{1}{3}$，D正确。