【典例1】不等式$\frac{x}{x-1} ≥ 2$的解集为.
解题指导 看到分式不等式,想到转化为整式不等式求解.
解析 移项,得$\frac{x}{x-1} - 2 ≥ 0$,整理,得$\frac{x-2}{x-1} ≤ 0$,
等价于不等式组$\begin{cases}(x-2)(x-1) ≤ 0, \\ x-1 ≠ 0,\end{cases}$
解得$1 ＜ x ≤ 2$,
所以原不等式的解集为$\{x ∣ 1 ＜ x ≤ 2\}$.
答案 $\{x ∣ 1 ＜ x ≤ 2\}$

解：移项，得$\frac{x}{x-1} - 2 \ge 0$，
通分整理得$\frac{x - 2(x-1)}{x-1} \ge 0$，即$\frac{x-2}{x-1} \le 0$，
该分式不等式等价于不等式组：
$\begin{cases}(x-2)(x-1) \le 0 \\x-1 \ne 0\end{cases}$
解$(x-2)(x-1) \le 0$得$1 \le x \le 2$，结合约束条件$x \ne 1$，
可得$1 ＜ x \le 2$，
所以原不等式的解集为$\{x ∣ 1 ＜ x \le 2\}$。

【变式1】若$p:\dfrac{x-5}{2-x}≥0,q:x^2-7x+10＜0$，则
p是q的 （）

A.既不充分也不必要条件
B.充要条件
C.充分不必要条件
D.必要不充分条件

由$p:\dfrac{x-5}{2-x}≥0$,得$\begin{cases}(x-2)(x-5)≤0,\\2-x≠0,\end{cases}$ 解得$2＜x≤5$。
由$q:x^2-7x+10＜0$,得$(x-2)(x-5)＜0$,解得$2＜x＜5$。
所以$p$是$q$的必要不充分条件。

【典例2】解关于$x$的不等式$ax^2-(a+3)x+3≤0.$
解题指导 第1步:将不等式左边因式分解.
第2步:根据$a$与0的大小关系进行分类讨论;当$a=0$时,直接求解即可;当$a＞0$或$a＜0$时,先求得对应方程的根,再结合对应二次函数的图象求解即可.
答案 解:不等式可化为$(ax-3)(x-1)≤0.$
(1)当$a=0$时,解得$x≥1$. 注意变号.
(2)当$a＜0$时,不等式化为$(x-\frac{3}{a})(x-1)≥0$,(需将不等式转化为二次项系数为正的不等式)解得$x≤\frac{3}{a}$或$x≥1.$
(3)当$a＞0$时,不等式化为$(x-\frac{3}{a})(x-1)≤0.$(由于$\frac{3}{a}$与1的大小关系不确定,故还需讨论)
①若$0＜a＜3$,即$\frac{3}{a}＞1$,解得$1≤x≤\frac{3}{a};$
②若$a=3$,解得$x=1;$
③若$a＞3$,即$\frac{3}{a}＜1$,解得$\frac{3}{a}≤x≤1.$
综上所述,当$a=0$时,原不等式的解集为$\{x|x≥1\}$;当$a＜0$时,原不等式的解集为$\{x|x≤\frac{3}{a}$或$x≥1\}$;当$0＜a＜3$时,原不等式的解集为$\{x|1≤x≤\frac{3}{a}\}$;当$a=3$时,原不等式的解集为$\{1\}$;当$a＞3$时,原不等式的解集为$\{x|\frac{3}{a}≤x≤1\}.$
▶方法总结
在解含参数的一元二次不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从以下三个方面进行考虑:
(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数$a＞0$, $a＜0$和$a=0.$
(2)关于不等式对应的方程的根的讨论:两个不相等的实数根($Δ＞0$),两个相等的实数根($Δ=0$),没有实数根($Δ＜0$).(如果可以直接分解因式,可省略此步)
(3)关于不等式对应的方程的根的大小的讨论:$x_1＞x_2,x_1=x_2,x_1＜x_2.$
注意:对参数分类讨论的每一种情况中,所求出的一元二次不等式的解集是相互独立的,不能合并.

解：
原不等式可因式分解为$(ax-3)(x-1)≤0$。
(1) 当$a=0$时，原不等式化为$-3x+3≤0$，解得$x≥1$。
(2) 当$a＜0$时，不等式两边同除以负数$a$，不等号方向改变，化为$(x-\dfrac{3}{a})(x-1)≥0$，
由$a＜0$得$\dfrac{3}{a}＜0＜1$，解得$x≤\dfrac{3}{a}$或$x≥1$。
(3) 当$a＞0$时，不等式两边同除以正数$a$，化为$(x-\dfrac{3}{a})(x-1)≤0$，对应方程的两根为$x_1=\dfrac{3}{a}$，$x_2=1$，分情况讨论：
① 若$0＜a＜3$，即$\dfrac{3}{a}＞1$，解得$1≤ x≤\dfrac{3}{a}$；
② 若$a=3$，即$\dfrac{3}{a}=1$，不等式化为$(x-1)^2≤0$，解得$x=1$；
③ 若$a＞3$，即$\dfrac{3}{a}＜1$，解得$\dfrac{3}{a}≤ x≤1$。
综上所述：
当$a=0$时，原不等式的解集为$\{x∣ x≥1\}$；
当$a＜0$时，原不等式的解集为$\{x∣ x≤\dfrac{3}{a}\mathrm{ 或 }x≥1\}$；
当$0＜a＜3$时，原不等式的解集为$\{x∣ 1≤ x≤\dfrac{3}{a}\}$；
当$a=3$时，原不等式的解集为$\{1\}$；
当$a＞3$时，原不等式的解集为$\{x∣ \dfrac{3}{a}≤ x≤1\}$。