【变式3】一元二次不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为$\{x|-2＜x＜3\}$，那么关于$x$的不等式$ax^2-bx+c＞0$的解集为（）

A.$\{x|x＞3,或x＜-2\}$
B.$\{x|x＞2,或x＜-3\}$
C.$\{x|-2＜x＜3\}$
D.$\{x|-3＜x＜2\}$

因为一元二次不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为$\{x∣ -2＜x＜3\}$,所以$-2$和$3$是对应方程$ax^2+bx+c=0$的两个根,且$a＜0$。由根与系数的关系,得
$\begin{cases}-2+3=-\dfrac{b}{a},\\-2×3=\dfrac{c}{a},\end{cases}$ 解得$b=-a,c=-6a$,将其代入不等式$ax^2-bx+c＞0$,得$ax^2+ax-6a＞0$。化简,得$x^2+x-6＜0$,解得$-3＜x＜2$,所以关于$x$的不等式$ax^2-bx+c＞0$的解集为$\{x∣ -3＜x＜2\}$。

【典例4】对于任意的$x \in \mathbf{R}$,若不等式$ax^2 ＜ 1 - 2ax$恒成立,求实数$a$的取值范围.
解题指导 第1步:移项化简,把不等号右边化为零.
第2步:针对二次项系数进行分类讨论.
第3步:根据恒成立并结合二次函数的图象和性质,列出不等式(组)求解.
答案 解:由题意可得,$ax^2 + 2ax - 1 ＜ 0$恒成立.
当$a=0$时,$-1 ＜ 0$恒成立,符合题意;
当$a ≠ 0$时,$\begin{cases} a ＜ 0, \\ \Delta = 4a^2 + 4a ＜ 0, \end{cases}$（$a＜0$,二次函数图象开口向下,确保最大值小于0即可）
解得$-1 ＜ a ＜ 0$.
综上,实数$a$的取值范围是$\{a ∣ -1 ＜ a ≤ 0\}$.

解：原不等式移项整理得 $ax^2 + 2ax - 1 ＜ 0$ 对任意 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立。
当 $a = 0$ 时，不等式化为 $-1 ＜ 0$，该式恒成立，满足题意。
当 $a ≠ 0$ 时，要使二次函数 $y=ax^2+2ax-1$ 的值恒小于0，需满足：
$\begin{cases}a ＜ 0 \\\Delta = (2a)^2 - 4· a · (-1) = 4a^2 + 4a ＜ 0\end{cases}$
解不等式 $4a^2+4a＜0$，即 $4a(a+1)＜0$，得 $-1 ＜ a ＜ 0$。
综合两种情况，实数 $a$ 的取值范围是 $\{a ∣ -1 ＜ a ≤ 0\}$。

方法总结
(1)不等式$ax^2+bx+c＞0$对任意实数$x$恒成立$⇔$
$\begin{cases}a=b=0, \\ c＞0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a＞0, \\ \Delta = b^2 - 4ac ＜ 0;\end{cases}$
(2)不等式$ax^2+bx+c＜0$对任意实数$x$恒成立$⇔$
$\begin{cases}a=b=0, \\ c＜0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a＜0, \\ \Delta = b^2 - 4ac ＜ 0.\end{cases}$
注意:若题目中未强调是一元二次不等式,则一定要讨论二次项系数是否为0;若已知不等式中含等号,则$\Delta$也需取等号.
【变式4】若$∀ x\in\mathbf{R},ax^2 - 3x + a ≥ 0$恒成立,求实数$a$的取值范围.

当$a=0$时,得$-3x≥0$,不等式不恒成立,不符合题意;当$a≠0$时,要使不等式恒成立,只需$\begin{cases}a＞0,\\\Delta=9-4a^2≤0,\end{cases}$ 解得$a≥\dfrac{3}{2}$。
综上所述,实数$a$的取值范围是$\{a∣ a≥\dfrac{3}{2}\}$。

【典例5】(一题多解)对于任意的$1≤ x≤ 3$,若不等式$mx^2 - mx + m - 6 ＜ 0$恒成立,求实数$m$的取值范围.
解题指导 方法1:本题等价于函数$y = mx^2 - mx + m - 6$在$1≤ x≤ 3$上的最大值小于0.故对$m$进行分类讨论,求得每种情况下函数的最大值,进而列出不等式求解.
方法2:分离参数$m$,将本题转化为$m ＜ \dfrac{6}{x^2 - x + 1}$恒成立,即$m ＜ \dfrac{6}{x^2 - x + 1}$在$1≤ x≤ 3$上恒成立.
答案(一题多解)解:方法1:令$y = mx^2 - mx + m - 6,1≤ x≤ 3$.
当$m = 0$时,$y = -6 ＜ 0$恒成立,符合题意;(若不等式改为$mx^2 - mx + m + 6 ＜ 0$,则当$m = 0$时,不成立,即不符合题意)
当$m ＜ 0$时,二次函数$y = mx^2 - mx + m - 6$的图象开口向下,对称轴为$x = \dfrac{1}{2}$,所以当$x = 1$时,$y$取得最大值,即$y_{\mathrm{max}} = m - m + m - 6 = m - 6$.令$y_{\mathrm{max}} = m - 6 ＜ 0$,解得$m ＜ 6$,所以$m ＜ 0$;
当$m ＞ 0$时,二次函数$y = mx^2 - mx + m - 6$的图象开口向上,对称轴为$x = \dfrac{1}{2}$,所以当$x = 3$时,$y$取得最大值,即$y_{\mathrm{max}} = 9m - 3m + m - 6 = 7m - 6$.令$y_{\mathrm{max}} = 7m - 6 ＜ 0$,解得$m ＜ \dfrac{6}{7}$,所以$0 ＜ m ＜ \dfrac{6}{7}$.
综上所述,实数$m$的取值范围为$\{m\left|m ＜ \dfrac{6}{7} \}$.
方法2:$mx^2 - mx + m - 6 ＜ 0$,即$m(x^2 - x + 1) ＜ 6$.因为$x^2 - x + 1 = (x - \dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4} ＞ 0$恒成立,所以本题转化为$m ＜ \dfrac{6}{x^2 - x + 1}$在$1≤ x≤ 3$上恒成立,所以当$x = 3$时,$x^2 - x + 1$的值最大,所以$m ＜ \dfrac{6}{3^2 - 3 + 1} = \dfrac{6}{7}$,
所以实数$m$的取值范围为$\{m\left|m ＜ \dfrac{6}{7} \}$.
方法总结
(1)对于不等式$ax^2 + bx + c ＞ 0$(或$＜ 0$)在某个范围内的恒成立问题,只需令相应函数在该范围内的最小值大于0(或最大值小于0)即可,若不等式中的参数易分离,也可采用分离参数法求解.
(2)某些特殊条件下的恒成立问题,可简化处理.
常见结论:
①当$a ＞ 0$时,$$$$,$ax^2 + bx + c ＜ 0$在$m≤ x≤ n$上恒成立$⇔ y = ax^2 + bx + c$在$x = m,x = n$时的函数值同时小于0;
②当$a ＜ 0$时,$$$$,$ax^2 + bx + c ＞ 0$在$m≤ x≤ n$上恒成立$⇔ y = ax^2 + bx + c$在$x = m,x = n$时的函数值同时大于0.

解：
方法1：令$y = mx^2 - mx + m - 6$，其中$1≤ x≤ 3$。
当$m=0$时，$y=-6＜0$恒成立，符合题意；
当$m＜0$时，二次函数$y = mx^2 - mx + m - 6$的图象开口向下，对称轴为$x=\frac{1}{2}$，因此在区间$[1,3]$上函数单调递减，$x=1$时$y$取得最大值：
$y_{\mathrm{max}}=m - m + m - 6 = m - 6$
令$y_{\mathrm{max}}＜0$，即$m - 6 ＜ 0$，解得$m＜6$，结合$m＜0$的前提，得$m＜0$；
当$m＞0$时，二次函数$y = mx^2 - mx + m - 6$的图象开口向上，对称轴为$x=\frac{1}{2}$，因此在区间$[1,3]$上函数单调递增，$x=3$时$y$取得最大值：
$y_{\mathrm{max}}=9m - 3m + m - 6 = 7m - 6$
令$y_{\mathrm{max}}＜0$，即$7m - 6 ＜ 0$，解得$m＜\frac{6}{7}$，结合$m＞0$的前提，得$0＜m＜\frac{6}{7}$。
综合三种情况，实数$m$的取值范围是$\{m∣ m＜\frac{6}{7}\}$。
方法2：将不等式$mx^2 - mx + m - 6 ＜ 0$变形为$m(x^2 - x + 1) ＜ 6$。
因为$x^2 - x + 1 = (x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} ＞ 0$对任意实数$x$恒成立，因此不等式等价转化为：
$m ＜ \frac{6}{x^2 - x + 1}$在$1≤ x≤ 3$上恒成立。
当$1≤ x≤ 3$时，函数$t=x^2 - x + 1$在区间上单调递增，$x=3$时$t$取得最大值$3^2 - 3 + 1 =7$，因此$\frac{6}{x^2 - x + 1}$在区间上的最小值为$\frac{6}{7}$。
要使$m ＜ \frac{6}{x^2 - x + 1}$恒成立，只需$m ＜ \frac{6}{7}$。
因此实数$m$的取值范围是$\{m∣ m＜\frac{6}{7}\}$。