【变式1】用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于$216 m^2$，设与墙平行的一边长为x m，其中的不等关系可用不等式组表示为。

$\begin{cases} 0＜x≤18, \\ x(15-\dfrac{1}{2}x)≥216 \end{cases}$ 由题意,知$0＜x≤18$.因为要求菜园的面积不小于$216\ \mathrm{m}^2$,所以$x·\dfrac{30-x}{2}≥216$,所以$\begin{cases} 0＜x≤18, \\ x(15-\dfrac{1}{2}x)≥216 \end{cases}$.

【典例2】(1)比较$A=a^2+b^2+14$与$B=2a+4b$的大小；
(2)已知$x\in\mathbf{R}$，比较$3x^3$与$3x^2 - x + 1$的大小.
解题指导 第1步:作差.
第2步:变形,分组进行因式分解或利用完全平方公式进行配方化简.
第3步:判断所得式子和0的大小关系,进而得出两数(式)的大小关系.
答案 解:(1)$A - B = a^2 + b^2 + 14 - (2a + 4b) = (a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 4b + 4) + 9 = (a - 1)^2 + (b - 2)^2 + 9$.由$(a - 1)^2≥0$，$(b - 2)^2≥0$，得$A - B≥9$，所以$A - B＞0$，所以$A$与$B$的大小关系为$A＞B$.
(2)因为$3x^3 - (3x^2 - x + 1) = (3x^3 - 3x^2) + (x - 1) = (3x^2 + 1)(x - 1)$，且$3x^2 + 1＞0$，
所以当$x＞1$，即$x - 1＞0$时，$3x^3＞3x^2 - x + 1$；当$x=1$，即$x - 1=0$时，$3x^3=3x^2 - x + 1$；当$x＜1$，即$x - 1＜0$时，$3x^3＜3x^2 - x + 1$.

解：
(1) 作差得：
$A-B=a^2+b^2+14-(2a+4b)$
$=(a^2-2a+1)+(b^2-4b+4)+9$
$=(a-1)^2+(b-2)^2+9$
因为对任意实数$a,b$，都有$(a-1)^2≥0$，$(b-2)^2≥0$，
所以$A-B≥9＞0$，即$A-B＞0$，
因此$A＞B$。
(2) 作差得：
$3x^3-(3x^2-x+1)$
$=3x^3-3x^2+x-1$
$=3x^2(x-1)+(x-1)$
$=(3x^2+1)(x-1)$
因为$x\in\mathbf{R}$，所以$3x^2+1＞0$，
当$x＞1$时，$x-1＞0$，可得$(3x^2+1)(x-1)＞0$，即$3x^3＞3x^2-x+1$；
当$x=1$时，$x-1=0$，可得$(3x^2+1)(x-1)=0$，即$3x^3=3x^2-x+1$；
当$x＜1$时，$x-1＜0$，可得$(3x^2+1)(x-1)＜0$，即$3x^3＜3x^2-x+1$。

【变式2】(1)已知$a≥3,M=2a(a+1),N=(a+1)(a+3)$，则$M$与$N$的大小关系为；
(2)已知$a,b$均为正实数，则$a^3+b^3$与$a^2b+ab^2$的大小关系为。

(1)$M≥ N$ (2)$a^3+b^3≥ a^2b+ab^2$ (1)因为$M-N=2a(a+1)-(a+1)(a+3)=(a-1)^2-4$,且$a≥3$,所以$(a-1)^2-4≥(3-1)^2-4=0$,所以$M≥ N$.
(2)$a^3+b^3-(a^2b+ab^2)=(a^3-a^2b)+(b^3-ab^2)=(a-b)(a^2-b^2)=(a-b)^2(a+b)$.
因为$a,b$均为正实数,所以$a+b＞0$.
因为$(a-b)^2≥0$,所以$(a-b)^2(a+b)≥0$,
所以$a^3+b^3≥ a^2b+ab^2$.

【典例3】已知$a,b,c\in\mathbb{R}$,下列命题中,正确的是.(填序号)
①若$a＞b$,则$ac^2＞bc^2$;
②若$a＞b＞0$,则$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$;
③若$\frac{b}{a}＞0$,则$ab＞0$;
④若$a＞b＞c$,则$|a+b|＞|b+c|$.
解题指导 逐项进行分析:①取特值$c=0$检验;②不等式两边同时乘$\frac{1}{ab}$;③不等式两边同时乘$a^2$;④取特值$a=1,b=0,c=-2$检验.
解析 ①若$a＞b$,当$c=0$时,则$ac^2=bc^2$,故①错误;②若$a＞b＞0$,不等式两边同时乘$\frac{1}{ab}$,得$\frac{1}{b}＞\frac{1}{a}＞0$,即$0＜\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$,故②正确;③若$\frac{b}{a}＞0$,不等式两边同时乘$a^2$,得$ab＞0$,(此时$a≠0$,所以不存在$ab=0$的情况)故③正确;④若$a＞b＞c$,当$a=1,b=0,c=-2$时,则$|a+b|＜|b+c|$,故④错误.
答案 ②③

②③

解：
① 若$a＞b$，当$c=0$时，$ac^2=bc^2=0$，不满足$ac^2＞bc^2$，故①错误；
② 若$a＞b＞0$，则$ab＞0$，将不等式$a＞b$两边同时乘正数$\frac{1}{ab}$，不等号方向不变，得$\frac{1}{b}＞\frac{1}{a}$，即$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$，故②正确；
③ 若$\frac{b}{a}＞0$，可知$a≠0$，因此$a^2＞0$，将不等式$\frac{b}{a}＞0$两边同时乘正数$a^2$，不等号方向不变，得$ab＞0$，故③正确；
④ 取$a=1$，$b=0$，$c=-2$，满足$a＞b＞c$，此时$|a+b|=1$，$|b+c|=2$，$|a+b|＜|b+c|$，故④错误。