【变式3】(多选)若$a,b,c\in\mathbb{R}$,则下列命题为真命题的是（）

A.若$a＞b,c＞d$,则$ac＞bd$
B.若$|a|＞|b|$,则$a^2＞b^2$
C.若$(a-b)c^2＞0$,则$a＞b$
D.若$\frac{1}{b}＞\frac{1}{|a|}$,则$a＞b$

BC 对于A,若$a＞b,c＞d$,取$a=0,b=-1,c=1,d=0$,则$ac=bd=0$,故该选项错误;对于B,若$|a|＞|b|$,不等式两边同时平方,则$a^2＞b^2$,故该选项正确;对于C,若$(a-b)c^2＞0$,则$a-b＞0$,所以$a＞b$,故该选项正确;对于D,若$\frac{1}{b}＞\frac{1}{|a|}$,取$b=1,a=-2$,则$a＜b$,故该选项错误.

【典例4】若$a＞b＞0,c＜d＜0,e＜0$,求证：
$\frac{e}{(a-c)^2}＞\frac{e}{(b-d)^2}.$
解题指导 第1步:判断$a-c$和$b-d$的大小关系,进而得出$(a-c)^2$和$(b-d)^2$的大小关系.
第2步:判断$\frac{1}{(a-c)^2}$和$\frac{1}{(b-d)^2}$的大小关系.
第3步:两边同时乘$e$,即可判断$\frac{e}{(a-c)^2}$和$\frac{e}{(b-d)^2}$的大小关系.
答案 证明:因为$c＜d＜0$,
所以$-c＞-d＞0$.
因为$a＞b＞0$,所以$a-c＞b-d＞0$,
所以$(a-c)^2 ＞ (b-d)^2 ＞ 0$, (同时乘$\frac{1}{(a-c)^2(b-d)^2}$)
所以$0＜\frac{1}{(a-c)^2}＜\frac{1}{(b-d)^2}.$
因为$e＜0$,
所以$\frac{e}{(a-c)^2}＞\frac{e}{(b-d)^2}.$

证明：
因为$c＜d＜0$，
所以$-c＞-d＞0$。
又因为$a＞b＞0$，
所以$a-c＞b-d＞0$，
所以$(a-c)^2＞(b-d)^2＞0$，
两边同时乘$\frac{1}{(a-c)^2(b-d)^2}$，得
$0＜\frac{1}{(a-c)^2}＜\frac{1}{(b-d)^2}$。
因为$e＜0$，不等式两边同时乘以负数，不等号方向改变，
所以$\frac{e}{(a-c)^2}＞\frac{e}{(b-d)^2}$。

【变式4】(1)已知$a＞b＞0,c＜d＜0$,求证:
$\frac{b}{a-c}＜\frac{a}{b-d}$；
(2)(一题多解)已知$bc-ad≥0,bd＞0$,求证:
$\frac{a+b}{b}≤\frac{c+d}{d}$。

(1)证明:因为$c＜d＜0$,所以$-c＞-d＞0$.
因为$a＞b＞0$,所以$a-c＞b-d＞0$,
所以$\dfrac{1}{b-d}＞\dfrac{1}{a-c}＞0$.
因为$a＞b＞0$,根据不等式的性质,得$\dfrac{a}{b-d}＞\dfrac{b}{a-c}$,
即$\dfrac{b}{a-c}＜\dfrac{a}{b-d}$.
(2)(一题多解)方法1(逆向推理):因为$bd＞0$,所以要证$\dfrac{a+b}{b}≤\dfrac{c+d}{d}$,只需证明$d(a+b)≤ b(c+d)$,即$ad+bd≤ bc+bd$,即$ad≤ bc$,即$bc-ad≥0$.
又因为$bc-ad≥0$,所以$\dfrac{a+b}{b}≤\dfrac{c+d}{d}$.
方法2(正向推理):因为$bc-ad≥0,bd＞0$,所以$bc≥ ad$,$\dfrac{1}{bd}＞0$,所以$\dfrac{c}{d}≥\dfrac{a}{b}$,所以$\dfrac{c}{d}+1≥\dfrac{a}{b}+1$,所以$\dfrac{c+d}{d}≥\dfrac{a+b}{b}$,即$\dfrac{a+b}{b}≤\dfrac{c+d}{d}$.

【典例5】(1)已知$-2 ＜ a ≤ 3,1 ≤ b ＜ 2$,求$2a - 3b$的取值范围；
(2)(一题多解)已知$1 ≤ a - b ≤ 2,2 ≤ a + b ≤ 4$,求$4a - 2b$的取值范围.
解题指导 (1)根据$a$和$b$的取值范围分别求出$2a$和$-3b$的取值范围,进而得出$2a - 3b$的取值范围.
(2)将$a - b$和$a + b$分别看作整体,分析$4a - 2b$是由几个$a - b$和几个$a + b$构成.也可以用换元法求解.
答案 解:(1)因为$-2 ＜ a ≤ 3,1 ≤ b ＜ 2$,
所以$-4 ＜ 2a ≤ 6, -6 ＜ -3b ≤ -3$,
所以$-10 ＜ 2a - 3b ≤ 3$.
(2)(一题多解)方法1(待定系数法):令$4a - 2b = x(a - b) + y(a + b)$,即$\begin{cases} x + y = 4, \\ -x + y = -2, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x = 3, \\ y = 1, \end{cases}$ 将$4a - 2b$用$a - b$与$a + b$表示出来.
即$4a - 2b = 3(a - b) + (a + b)$.
因为$1 ≤ a - b ≤ 2$,
所以$3 ≤ 3(a - b) ≤ 6$.
因为$2 ≤ a + b ≤ 4$,
所以$5 ≤ 3(a - b) + (a + b) ≤ 10$,
即$5 ≤ 4a - 2b ≤ 10$.
方法2(换元法):令$a - b = m, a + b = n$,
则$a = \frac{m + n}{2}, b = \frac{n - m}{2}$,
所以$4a - 2b = 4 × \frac{m + n}{2} - 2 × \frac{n - m}{2} = 3m + n$.
因为$1 ≤ m ≤ 2$,所以$3 ≤ 3m ≤ 6$.
因为$2 ≤ n ≤ 4$,所以$5 ≤ 3m + n ≤ 10$,
即$5 ≤ 4a - 2b ≤ 10$.

解：
(1) 因为$-2 ＜ a ≤ 3$，
所以$-4 ＜ 2a ≤ 6$。
因为$1 ≤ b ＜ 2$，
所以$-6 ＜ -3b ≤ -3$。
将两个不等式同向相加，得$-10 ＜ 2a - 3b ≤ 3$。
(2) 方法1（待定系数法）：
令$4a - 2b = x(a - b) + y(a + b)$，即$\begin{cases} x + y = 4 \\ -x + y = -2 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases}$，即$4a - 2b = 3(a - b) + (a + b)$。
因为$1 ≤ a - b ≤ 2$，
所以$3 ≤ 3(a - b) ≤ 6$。
又因为$2 ≤ a + b ≤ 4$，
两式同向相加得$5 ≤ 3(a - b) + (a + b) ≤ 10$，即$5 ≤ 4a - 2b ≤ 10$。
方法2（换元法）：
令$a - b = m$，$a + b = n$，则$1 ≤ m ≤ 2$，$2 ≤ n ≤ 4$，
解得$a = \frac{m + n}{2}$，$b = \frac{n - m}{2}$。
代入得$4a - 2b = 4×\frac{m + n}{2} - 2×\frac{n - m}{2} = 3m + n$。
因为$1 ≤ m ≤ 2$，所以$3 ≤ 3m ≤ 6$，
又$2 ≤ n ≤ 4$，两式同向相加得$5 ≤ 3m + n ≤ 10$，即$5 ≤ 4a - 2b ≤ 10$。