【学以致用4】下列命题是真命题的是 （）

A.若 $ ac ＞ bc $，则 $ a ＞ b $
B.若 $ a ＞ b $，则 $ \frac{a}{c} ＞ \frac{b}{c} $
C.若 $ a ＞ b $，则 $ a^2 ＞ b^2 $
D.若 $ a ＞ b, c ＞ d $，则 $ a - d ＞ b - c $

D 在选项A中,当$c＜0$时,原命题不成立;在选项B中,当$c＜0$时,原命题不成立;在选项C中,令$a=1,b=-2$,则$a＞b$,$a^2-b^2=1^2-(-2)^2=-3＜0$,即$a^2＜b^2$,原命题不成立;在选项D中,若$a＞b,c＞d$,则$-d＞-c$,所以$a-d＞b-c$,原命题成立,是真命题.

【典例1】某校在冬季长跑活动中,要给获得一、二等奖的学生购买奖品,要求花费总金额不超过200元.已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元,一等奖人数与二等奖人数的比值不高于$\frac{1}{3}$,且获得一等奖的人数不能少于2.设获得一等奖的学生有$x$人,获得二等奖的学生有$y$人,求$x,y$满足的不等关系.
解题指导 第1步:审题,分析题中表示不等关系的关键词语“不超过”“不高于”“不能少于”.
第2步:找出“总金额”“人数的比值”等关键词,并根据关键词列出不等式.
第3步:组成不等式组,注意隐性不等关系,如某些变量受实际意义限制所得的取值范围.
答案 解:由“花费总金额不超过200元”,得$20x+10y≤200$,即$2x+y≤20$;由“一等奖人数与二等奖人数的比值不高于$\frac{1}{3}$”,得$\frac{x}{y}≤\frac{1}{3}$,即$3x-y≤0$;由“获得一等奖的人数不能少于2”,得$x≥2$.根据题意可知,$x$和$y$均是正整数,故$x,y$满足的不等关系为$\begin{cases}2x+y≤20, \\3x-y≤0, \\x≥2,x∈\mathbf{N}^*, \\y∈\mathbf{N}^*.\end{cases}$

解：
由“花费总金额不超过200元”，得$20x+10y ≤ 200$，化简得$2x+y ≤ 20$；
由“一等奖人数与二等奖人数的比值不高于$\frac{1}{3}$”，得$\frac{x}{y} ≤ \frac{1}{3}$，变形得$3x-y ≤ 0$；
由“获得一等奖的人数不能少于2”，得$x ≥ 2$；
结合实际意义，获奖人数均为正整数，即$x,y$均为正整数。
故$x,y$满足的不等关系为
$\begin{cases}2x+y ≤ 20, \\3x-y ≤ 0, \\x ≥ 2, x \in \mathbf{N}^*, \\y \in \mathbf{N}^*.\end{cases}$