1. 下列四组数据分别为四个三角形的边长，其中是直角三角形的是 （）

A.2,3,4
B.6,8,10
C.3,5,7
D.4,6,8

B

根据勾股定理的逆定理，计算每组数据中两短边的平方和，与最长边的平方比较：A选项，2²+3²=13，4²=16，13≠16，不是直角三角形；B选项，6²+8²=100，10²=100，100=100，是直角三角形；C选项，3²+5²=34，7²=49，34≠49，不是直角三角形；D选项，4²+6²=52，8²=64，52≠64，不是直角三角形。

2. 以下列各组数为边长的三角形，不是直角三角形的是（）

A.$1,2,\sqrt{5}$
B.$5,12,13$
C.$8,15,17$
D.$9,12,16$

D

根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足较小两边的平方和等于最大边的平方，则为直角三角形。A选项：1²+2²=5=(√5)²，是直角三角形；B选项：5²+12²=169=13²，是直角三角形；C选项：8²+15²=289=17²，是直角三角形；D选项：9²+12²=225≠16²=256，不是直角三角形。

3. 如图,在△ABC中,AB=BC=AC,D是BC的中点,DE⊥AB于点E,则△BDE的面积与△ABC的面积之比为（）

A.1:8
B.1:4
C.1:2
D.2:5

A

设等边△ABC的边长为2a，D是BC中点，则BD=a。∠B=60°，DE⊥AB，在Rt△BDE中，BE=BD·cos60°=a/2，DE=BD·sin60°=(√3 a)/2。△BDE面积=1/2×BE×DE=√3 a²/8；△ABC面积=(√3/4)×(2a)²=√3 a²。两者面积比为1:8。

4. 若一个直角三角形的两条直角边长分别为4和5，则这个三角形第三边的长为。

$\sqrt{41}$

根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。设该直角三角形第三边（斜边）的长为$x$，则$x^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$，因为边长为正数，所以$x = \sqrt{41}$。

5. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BD的长为 cm.

25/4

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，由勾股定理得AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=10cm。由折叠的性质可知，AD=BD，设BD=x cm，则CD=(8 - x)cm。在Rt△ACD中，∠C=90°，根据勾股定理：AC² + CD² = AD²，即6² + (8 - x)² = x²，展开得36 + 64 -16x +x² =x²，化简得100 -16x=0，解得x=25/4。

6. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为。

$1 - \sqrt{5}$

由图可知，直角三角形的两条直角边分别为2和1，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$。点A在数轴上表示1的点的左侧，且两点间的距离为$\sqrt{5}$，因此点A所表示的数$a = 1 - \sqrt{5}$。

7. 在一条东西走向河的一侧有一村庄 C，河边原有两个取水点 A，B，其中 AB=AC。由于某种原因，由点 C 到点 A 的路现在已经不通。该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 D(点 A，D，B 在同一条直线上)，并新修一条路 CD，测得 BD=240 m，CD=320 m，BC=400 m。
(1) CD 是否为从村庄 C 到河边最近的路？请通过计算加以说明。
(2) 求原来的路线 AC 的长。

（1）CD是从村庄C到河边最近的路；（2）AC的长为$\frac{1000}{3}$ m。

（1）要判断CD是否为从村庄C到河边最近的路，需验证CD是否垂直于AB。在△CDB中，计算得：$CD^2 + BD^2 = 320^2 + 240^2 = 102400 + 57600 = 160000$，$BC^2 = 400^2 = 160000$，因此$CD^2 + BD^2 = BC^2$。根据勾股定理的逆定理，△CDB是直角三角形，且∠CDB=90°，即CD⊥AB。根据“点到直线的距离，垂线段最短”，可知CD是从村庄C到河边最近的路。（2）设AC的长为$x$ m，因为AB=AC，所以AB=$x$ m。又点A、D、B在同一直线上，故AD = AB - BD = $(x - 240)$ m。由（1）知CD⊥AB，所以△ACD是直角三角形，根据勾股定理：$AC^2 = AD^2 + CD^2$，代入得：$x^2 = (x - 240)^2 + 320^2$。展开并化简：$x^2 = x^2 - 480x + 57600 + 102400$，消去$x^2$后解得：$480x = 160000$，即$x = \frac{1000}{3}$。