1. 下列图形中具有稳定性的是 （）

A.梯形
B.长方形
C.锐角三角形
D.正方形

C

三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性。选项中梯形、长方形、正方形均为四边形，不具有稳定性；锐角三角形是三角形，具有稳定性。

2. 已知$\sqrt{5^2 + 12^2}=13$，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长分别为5，12，计算可得斜边长为13.同理计算$\sqrt{a^2 + 8^2}(a＞0)$可以看成直角边长分别为$a$，8，结果为斜边长.利用此原理解决问题：已知$a + b =15(a＞0,b＞0)$，计算$\sqrt{a^2 +9}+\sqrt{b^2 +25}$的最小值为（）

A.15
B.16
C.17
D.18

C

已知$a + b =15$，则$b=15 -a$，原式$\sqrt{a^2 +9}+\sqrt{b^2 +25}$可转化为$\sqrt{a^2 +3^2}+\sqrt{(15 -a)^2 +5^2}$。构造几何模型：在平面直角坐标系中，设点$A(0,3)$，点$B(15,5)$，点$P(a,0)$，则原式表示$PA + PB$。作点$A$关于$x$轴的对称点$A'(0,-3)$，根据两点之间线段最短，$PA + PB = PA' + PB$，其最小值为线段$A'B$的长度。计算$A'B$的距离：横坐标差为$15 - 0 =15$，纵坐标差为$5 - (-3)=8$，故$A'B=\sqrt{15^2 +8^2}=\sqrt{289}=17$，即原式最小值为17。

3. 在如图所示的赵爽弦图中,在 DH 上取点 M,使得 $DM=GH$,连接 AM,CM.若正方形 EFGH 的面积为 6,则 $△ ADM$ 与 $△ CDM$ 的面积之差为 ()


A.3
B.2
C.$\sqrt{3}$
D.不确定

A

设正方形EFGH的边长为$a$，由其面积为6得$a^2=6$。根据赵爽弦图性质，$AE - CH = a$，且$DM=GH=a$。$△ ADM$面积为$\frac{1}{2}×DM×AE$，$△ CDM$面积为$\frac{1}{2}×DM×CH$，两者面积差为$\frac{1}{2}a(AE - CH)=\frac{1}{2}a^2=3$。

4. 如图,在△ABC中,AB=AC=5,D是边BC上一点,DE//AB,交AC于点E,连接DE,过点E作EF⊥BC于点F.若AE=2,EF=2.5,则CF=,△CDE的周长为,△CDE的面积为.

CF=√11/2，△CDE的周长为6+√11，△CDE的面积为5√11/4

1. 由AB=AC=5，可知△ABC是等腰三角形，故∠B=∠C。2. 因为DE//AB，所以∠EDC=∠B，进而∠EDC=∠C，因此DE=EC。3. 已知AE=2，AC=5，所以EC=AC - AE=5-2=3，即DE=3。4. 由于EF⊥BC，在Rt△EFC中，EC=3，EF=2.5，根据勾股定理得CF=√(EC² - EF²)=√(3² - 2.5²)=√(11/4)=√11/2。5. 因为△CDE中DE=EC，EF⊥CD，由等腰三角形三线合一得F是CD中点，故CD=2CF=√11。6. △CDE的周长为DE+EC+CD=3+3+√11=6+√11；面积为(1/2)×CD×EF=(1/2)×√11×2.5=5√11/4。

5. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$∠ C=30°$，$AB=1$，$AC=\sqrt{3}$，$E$，$F$分别是$AC$，$BC$上的动点，则$BE+EF$的最小值是。

$\sqrt{3}$

要解决$BE+EF$的最小值问题，利用对称转化结合点到直线的距离公式求解：
1. 先确定$\mathrm{Rt}△ ABC$的边长：$∠ A=90°$，$∠ C=30°$，$AB=1$，$AC=\sqrt{3}$，则$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=2$。
2. 建立坐标系：设$A(0,0)$，$C(\sqrt{3},0)$，$B(0,1)$，直线$BC$的方程为$x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}=0$。
3. 转化$BE+EF$：作点$B$关于$AC$（$x$轴）的对称点$B'(0,-1)$，则$BE=B'E$，故$BE+EF=B'E+EF$，其最小值为点$B'$到直线$BC$的距离。
4. 计算距离：根据点到直线的距离公式，点$B'(0,-1)$到直线$x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}=0$的距离为$\frac{|0+\sqrt{3}×(-1)-\sqrt{3}|}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，即$BE+EF$的最小值为$\sqrt{3}$。

三、解答题
6. 如图，小明准备建一个大棚，棚宽$BE=4\ \mathrm{m}$，高$AE=3\ \mathrm{m}$，且$AE⊥ BE$，长$AD=10\ \mathrm{m}$，棚的斜面用长方形玻璃$ABCD$遮盖，不计墙的厚度. 请计算长方形玻璃$ABCD$的面积.

50 m²

在Rt△AEB中，AE⊥BE，根据勾股定理，AB² = AE² + BE²，已知AE=3m，BE=4m，所以AB = √(3² + 4²) = √25 = 5m。因为四边形ABCD是长方形，所以长方形ABCD的面积 = AB×AD，又AD=10m，因此面积为5×10=50（m²）。