1. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,D是边BC上的一点,$AD=AB$,E,F分别是AC,BD的中点,$EF=2$,则AC的长是 ()

A.$2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.3
D.4

D

连接AF，因为AB=AD，F是BD中点，根据等腰三角形三线合一得AF⊥BD，故∠AFC=90°。在Rt△AFC中，E是AC中点，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得EF=½AC。已知EF=2，所以AC=2×EF=4。

2. 将一个多边形的边数增加2，有下列四个说法：① 内角和增加 $360°$；② 外角和增加 $360°$；③ 内角和变为原来的2倍；④ 外角和变为原来的2倍。其中正确的有。（填序号）

①

设原多边形边数为$n$，根据多边形内角和公式：内角和为$(n - 2)×180°$，外角和恒为$360°$。
当边数增加2后，新多边形边数为$n + 2$，新内角和为$(n + 2 - 2)×180°=n×180°$。
内角和增加量为：$n×180°-(n - 2)×180°=360°$，故①正确；
多边形外角和始终为$360°$，边数增加2时外角和不变，故②、④错误；
举例：若原多边形为三角形（$n=3$），原内角和为$180°$，边数增加2后为五边形，内角和为$(5 - 2)×180°=540°$，$540°≠180°×2$，故③错误。
综上，正确的只有①。

3. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，且AE=AB，则∠AED的度数为°。

67.5

∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°，AB=AD。又∵AE=AB，∴AE=AD，△AED是等腰三角形，∠DAE=∠BAC=45°。根据等腰三角形内角和，∠AED=(180°-∠DAE)÷2=(180°-45°)÷2=67.5°。

4. 小慧在参加学校剪纸社团的时候，剩下了一些四边形的纸片，爱思考的她想计算一下这张纸片的面积。通过测量，她发现：在图①中，$AD=AB$，$∠ DAB=90°$，$∠ DCB=90°$，$∠ ACD=45°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$。如图②，如果将纸片沿着$AC$裁剪，$△ ACB$拼到$AD$的左侧正好可以拼成一个等腰直角三角形($△ ACC'$)。通过证明和计算，她得到了这张纸片的面积。
同桌小智经过思考，如图③，过点$A$作$BC$的垂线$AE$，然后沿着$AE$裁剪，将$△ AEB$拼接到$AD$的左侧，这样就拼出了两个等腰直角三角形($△ ACE'$和$△ ACE$)。通过证明和计算，他也得到了这张纸片的面积。
你知道他们都是如何解决这个问题的吗？
请从两名同学的作法中任选一个，给出证明，并求出四边形$ABCD$的面积。

18 cm²

选小慧的作法，证明如下：
由题意，将△ACB拼到AD左侧得到△AC'，则△ACB≌△AC'D，故S△ACB=S△AC'D，且AC'=AC=6cm，∠C'AB=∠CAD。
因为∠DAB=90°，所以∠C'AD + ∠CAD=∠C'AB + ∠CAD=∠DAB=90°，即∠C'AC=90°，又AC'=AC，所以△ACC'是等腰直角三角形。
因此，四边形ABCD的面积=S△ADC + S△ACB = S△ADC + S△AC'D = S△ACC'。
等腰直角三角形ACC'的面积为$\frac{1}{2}×AC×AC'=\frac{1}{2}×6×6=18\ \mathrm{cm^2}$，故四边形ABCD的面积为18 cm²。