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5. 如图21-42,在$□ ABCD$中,BE平分$∠ABC$,交边AD于点E,过点A作$AF⊥BE$交DC的延长线于点F,交BC于点G,则图中一定是等腰三角形的有 （
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
图21-41
图21-42
B
）A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
图21-41
图21-42
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先结合平行四边形对边平行的性质，利用角平分线定义得到等角，再通过平行线的内错角相等、等角的余角相等、对顶角相等推导角的等量关系，最后依据“等角对等边”的等腰三角形判定定理，逐个找出图中的等腰三角形即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，因此$AD// BC$，$AB// DC$。
1. 判定$△ ABE$是等腰三角形：
∵BE平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABE=∠ CBE$，
又
∵$AD// BC$，
∴$∠ AEB=∠ CBE$，
∴$∠ ABE=∠ AEB$，
∴$AB=AE$，$△ ABE$为等腰三角形。
2. 判定$△ ABG$是等腰三角形：
∵$AF⊥ BE$，
∴$∠ BAG+∠ ABE=90°$，$∠ AGB+∠ CBE=90°$，
又
∵$∠ ABE=∠ CBE$，
∴$∠ BAG=∠ AGB$，
∴$AB=BG$，$△ ABG$为等腰三角形。
3. 判定$△ ADF$是等腰三角形：
∵$AB// DC$，
∴$∠ F=∠ BAG$，
∵$AD// BC$，
∴$∠ DAF=∠ AGB$，
又
∵$∠ BAG=∠ AGB$，
∴$∠ F=∠ DAF$，
∴$AD=DF$，$△ ADF$为等腰三角形。
4. 判定$△ CGF$是等腰三角形：
∵$∠ AGB$与$∠ CGF$是对顶角，
∴$∠ AGB=∠ CGF$，
又
∵$∠ F=∠ AGB$，
∴$∠ F=∠ CGF$，
∴$CG=CF$，$△ CGF$为等腰三角形。
综上，图中共有4个一定是等腰三角形的图形，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是四边形与三角形的综合基础题，解题核心是通过平行线、角平分线、垂直的性质转化角的等量关系，进而判定等腰三角形，做题时要注意梳理角之间的关系，避免漏判或多判。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合平行四边形对边平行的性质，利用角平分线定义得到等角，再通过平行线的内错角相等、等角的余角相等、对顶角相等推导角的等量关系，最后依据“等角对等边”的等腰三角形判定定理，逐个找出图中的等腰三角形即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，因此$AD// BC$，$AB// DC$。
1. 判定$△ ABE$是等腰三角形：
∵BE平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABE=∠ CBE$，
又
∵$AD// BC$，
∴$∠ AEB=∠ CBE$，
∴$∠ ABE=∠ AEB$，
∴$AB=AE$，$△ ABE$为等腰三角形。
2. 判定$△ ABG$是等腰三角形：
∵$AF⊥ BE$，
∴$∠ BAG+∠ ABE=90°$，$∠ AGB+∠ CBE=90°$，
又
∵$∠ ABE=∠ CBE$，
∴$∠ BAG=∠ AGB$，
∴$AB=BG$，$△ ABG$为等腰三角形。
3. 判定$△ ADF$是等腰三角形：
∵$AB// DC$，
∴$∠ F=∠ BAG$，
∵$AD// BC$，
∴$∠ DAF=∠ AGB$，
又
∵$∠ BAG=∠ AGB$，
∴$∠ F=∠ DAF$，
∴$AD=DF$，$△ ADF$为等腰三角形。
4. 判定$△ CGF$是等腰三角形：
∵$∠ AGB$与$∠ CGF$是对顶角，
∴$∠ AGB=∠ CGF$，
又
∵$∠ F=∠ AGB$，
∴$∠ F=∠ CGF$，
∴$CG=CF$，$△ CGF$为等腰三角形。
综上，图中共有4个一定是等腰三角形的图形，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是四边形与三角形的综合基础题，解题核心是通过平行线、角平分线、垂直的性质转化角的等量关系，进而判定等腰三角形，做题时要注意梳理角之间的关系，避免漏判或多判。
【难度系数】
0.6
6. 如图21-43,在$△ ABC$中,$AB=3$,$AC=4$,$BC=5$,$△ ABD$,$△ ACE$,$△ BCF$都是等边三角形,有下列结论:①$AB ⊥ AC$;②$△ DBF ≌ △ ABC$;③四边形$AEFD$是平行四边形;④$∠ DFE=110°$;⑤$S_{\mathrm{四边形}AEFD}=5$.其中正确的个数是 (
A.2
B.3
C.4
D.5
B
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
6.B
解析
【分析】
我们逐个验证5个结论的正确性即可：第一步先利用勾股定理逆定理判断△ABC是否为直角三角形，验证结论①；第二步结合等边三角形边角相等的性质，用SAS判定定理判断△DBF和△ABC是否全等，验证结论②；第三步由全等得到对应边相等，结合等边三角形的边相等，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形验证结论③；第四步通过周角计算平行四边形的内角度数，验证结论④；第五步利用平行四边形面积公式计算面积，验证结论⑤，最后统计正确结论的个数。
【解析】
①已知AB=3，AC=4，BC=5，因此$AB^2+AC^2=3^2+4^2=25=BC^2$，根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，$∠ BAC=90°$，即$AB⊥ AC$，①正确；
②
∵△ABD和△BCF都是等边三角形，
∴$BD=BA$，$BF=BC$，$∠ DBA=∠ FBC=60°$，因此$∠ DBA-∠ FBA=∠ FBC-∠ FBA$，即$∠ DBF=∠ ABC$。在△DBF和△ABC中：$\begin{cases}BD=BA\\∠ DBF=∠ ABC\\BF=BC\end{cases}$，故$△ DBF≌△ ABC(\mathrm{SAS})$，②正确；
③由②的全等可得$DF=AC$，
∵△ACE是等边三角形，
∴$AC=AE$，因此$DF=AE$；同理可证$△ ABC≌△ EFC$，得$EF=AB$，又
∵△ABD是等边三角形，
∴$AB=AD$，因此$EF=AD$。四边形AEFD两组对边分别相等，是平行四边形，③正确；
④$∠ DAE=360°-∠ DAB-∠ BAC-∠ CAE=360°-60°-90°-60°=150°$，平行四边形对角相等，因此$∠ DFE=∠ DAE=150°≠110°$，④错误；
⑤平行四边形AEFD中，$AD=AB=3$，$DF=AC=4$，由$△ DBF≌△ ABC$得$∠ BDF=∠ BAC=90°$，又$∠ BDA=60°$，故$∠ ADF=90°-60°=30°$。过点A作DF边上的高，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此高为$AD÷2=1.5$，四边形AEFD的面积为$4×1.5=6≠5$，⑤错误。
综上，正确的结论有①②③，共3个。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理逆定理；全等三角形判定；平行四边形判定
【点评】
本题综合考查了等边三角形性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，需要逐一推导每个结论，注意挖掘图形中隐含的角度和边的等量关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
我们逐个验证5个结论的正确性即可：第一步先利用勾股定理逆定理判断△ABC是否为直角三角形，验证结论①；第二步结合等边三角形边角相等的性质，用SAS判定定理判断△DBF和△ABC是否全等，验证结论②；第三步由全等得到对应边相等，结合等边三角形的边相等，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形验证结论③；第四步通过周角计算平行四边形的内角度数，验证结论④；第五步利用平行四边形面积公式计算面积，验证结论⑤，最后统计正确结论的个数。
【解析】
①已知AB=3，AC=4，BC=5，因此$AB^2+AC^2=3^2+4^2=25=BC^2$，根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，$∠ BAC=90°$，即$AB⊥ AC$，①正确；
②
∵△ABD和△BCF都是等边三角形，
∴$BD=BA$，$BF=BC$，$∠ DBA=∠ FBC=60°$，因此$∠ DBA-∠ FBA=∠ FBC-∠ FBA$，即$∠ DBF=∠ ABC$。在△DBF和△ABC中：$\begin{cases}BD=BA\\∠ DBF=∠ ABC\\BF=BC\end{cases}$，故$△ DBF≌△ ABC(\mathrm{SAS})$，②正确；
③由②的全等可得$DF=AC$，
∵△ACE是等边三角形，
∴$AC=AE$，因此$DF=AE$；同理可证$△ ABC≌△ EFC$，得$EF=AB$，又
∵△ABD是等边三角形，
∴$AB=AD$，因此$EF=AD$。四边形AEFD两组对边分别相等，是平行四边形，③正确；
④$∠ DAE=360°-∠ DAB-∠ BAC-∠ CAE=360°-60°-90°-60°=150°$，平行四边形对角相等，因此$∠ DFE=∠ DAE=150°≠110°$，④错误；
⑤平行四边形AEFD中，$AD=AB=3$，$DF=AC=4$，由$△ DBF≌△ ABC$得$∠ BDF=∠ BAC=90°$，又$∠ BDA=60°$，故$∠ ADF=90°-60°=30°$。过点A作DF边上的高，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此高为$AD÷2=1.5$，四边形AEFD的面积为$4×1.5=6≠5$，⑤错误。
综上，正确的结论有①②③，共3个。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理逆定理；全等三角形判定；平行四边形判定
【点评】
本题综合考查了等边三角形性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，需要逐一推导每个结论，注意挖掘图形中隐含的角度和边的等量关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
7. 过某一个多边形一个顶点的所有对角线,将这个多边形分成8个三角形,这个多边形的边数是
10
.答案
7. 10
解析
【分析】
拿到这道题首先回忆多边形对角线的相关结论：任意n边形，过其中一个顶点作所有对角线，会把多边形分割成固定数量的三角形，三角形的个数和边数n的关系为：三角形个数 = n - 2。已知分割得到的三角形个数是8，我们只需要把数值代入这个关系式，就能求出边数n。
【解析】
设这个多边形的边数为n。
根据多边形的性质：过n边形一个顶点的所有对角线，可将多边形分成(n-2)个三角形。
结合题意列方程：$n - 2 = 8$
解得：$n = 10$
【答案】
10
【知识点】
多边形对角线性质；多边形边数计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查多边形对角线的相关性质，牢记过多边形一个顶点的对角线分三角形个数与边数的对应关系即可快速解题，是多边形章节的常见基础考点。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先回忆多边形对角线的相关结论：任意n边形，过其中一个顶点作所有对角线，会把多边形分割成固定数量的三角形，三角形的个数和边数n的关系为：三角形个数 = n - 2。已知分割得到的三角形个数是8，我们只需要把数值代入这个关系式，就能求出边数n。
【解析】
设这个多边形的边数为n。
根据多边形的性质：过n边形一个顶点的所有对角线，可将多边形分成(n-2)个三角形。
结合题意列方程：$n - 2 = 8$
解得：$n = 10$
【答案】
10
【知识点】
多边形对角线性质；多边形边数计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查多边形对角线的相关性质，牢记过多边形一个顶点的对角线分三角形个数与边数的对应关系即可快速解题，是多边形章节的常见基础考点。
【难度系数】
0.8
8. 如图21-44, ∠1, ∠2, ∠3是四边形ABCD的3个外角,若∠1+∠2+∠3=280°,则∠A的度数是
$100°$
.答案
8. $100°$
解析
【分析】
解题时首先回忆多边形外角和的相关性质：任意多边形的外角和都为360°，与边数无关。已知四边形三个外角的和，我们可以先求出与∠A相邻的第四个外角的度数，再根据内角和它相邻的外角互为邻补角（和为180°），即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 任意多边形的外角和恒为360°，
∴ 与∠A相邻的四边形外角的度数为：
$360° - (∠1 + ∠2 + ∠3) = 360° - 280° = 80°$
又
∵ ∠A和它相邻的外角互为邻补角，二者之和为$180°$，
∴ $∠ A = 180° - 80° = 100°$
【答案】
$100°$
【知识点】
多边形外角和定理，邻补角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查多边形外角和定理的应用，解题的关键是牢记任意多边形的外角和都是360°，结合邻补角的性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆多边形外角和的相关性质：任意多边形的外角和都为360°，与边数无关。已知四边形三个外角的和，我们可以先求出与∠A相邻的第四个外角的度数，再根据内角和它相邻的外角互为邻补角（和为180°），即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 任意多边形的外角和恒为360°，
∴ 与∠A相邻的四边形外角的度数为：
$360° - (∠1 + ∠2 + ∠3) = 360° - 280° = 80°$
又
∵ ∠A和它相邻的外角互为邻补角，二者之和为$180°$，
∴ $∠ A = 180° - 80° = 100°$
【答案】
$100°$
【知识点】
多边形外角和定理，邻补角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查多边形外角和定理的应用，解题的关键是牢记任意多边形的外角和都是360°，结合邻补角的性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
9. 如图21-45,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°$,D 是斜边 AB 的中点, $∠ B = 25°$,则 $∠ ADC$ 的度数是 $\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
9. $50°$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：题目给出直角三角形及斜边中点，首先联想到直角三角形斜边中线的性质，可得CD与BD长度相等；再根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠DCB与∠B相等；最后利用三角形外角的性质，即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，D是斜边AB的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线的性质，得 $CD = BD = \frac{1}{2}AB$，
∴ $△ BCD$是等腰三角形，$∠ DCB = ∠ B = 25°$，
∵ $∠ ADC$是$△ BCD$的外角，
∴ 根据三角形外角的性质，$∠ ADC = ∠ B + ∠ DCB = 25° + 25° = 50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形性质；三角形外角性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是对直角三角形斜边中线性质的应用，结合等腰三角形和三角形外角的性质即可快速求解，解题的关键是准确识别适用的几何性质，理清角度之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件入手：题目给出直角三角形及斜边中点，首先联想到直角三角形斜边中线的性质，可得CD与BD长度相等；再根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠DCB与∠B相等；最后利用三角形外角的性质，即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，D是斜边AB的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线的性质，得 $CD = BD = \frac{1}{2}AB$，
∴ $△ BCD$是等腰三角形，$∠ DCB = ∠ B = 25°$，
∵ $∠ ADC$是$△ BCD$的外角，
∴ 根据三角形外角的性质，$∠ ADC = ∠ B + ∠ DCB = 25° + 25° = 50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形性质；三角形外角性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是对直角三角形斜边中线性质的应用，结合等腰三角形和三角形外角的性质即可快速求解，解题的关键是准确识别适用的几何性质，理清角度之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
10. 如图21-46,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别为边AD,BD,CB和AC的中点,顺次连接EF,FG,GH和HE得到四边形EFGH.若$AB ⊥ CD$,$AB=8$,$CD=12$,则四边形EFGH的面积等于
24
.答案
10. 24
解析
【分析】
解题时首先观察到E、F、G、H均为四边形各边的中点，优先考虑三角形中位线定理：第一步利用中位线的性质分别得到EF、GH与AB的平行和数量关系，判定四边形EFGH是平行四边形；第二步再通过中位线得到EH与CD的平行关系，结合AB⊥CD的条件，推出平行四边形的内角为直角，确定EFGH是矩形；最后计算矩形的邻边长度，相乘得到面积。
【解析】
解：
∵E、F分别是AD、BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF//AB，$EF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
∵G、H分别是BC、AC的中点，
∴GH是△ABC的中位线，
∴GH//AB，$GH=\frac{1}{2}AB=4$，
∴EF//GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形。
∵E、H分别是AD、AC的中点，
∴EH是△ACD的中位线，
∴EH//CD，$EH=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×12=6$。
又
∵AB⊥CD，EF//AB，EH//CD，
∴EF⊥EH，即∠FEH=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH的面积=$EF× EH=4×6=24$。
【答案】
24
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定与性质
【点评】
本题是四边形的典型综合题，核心是利用三角形中位线定理沟通线段的位置和数量关系，逐步推导四边形的形状，结合垂直条件转化为特殊四边形后计算面积，解题的关键是熟练掌握中位线及特殊四边形的相关性质。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到E、F、G、H均为四边形各边的中点，优先考虑三角形中位线定理：第一步利用中位线的性质分别得到EF、GH与AB的平行和数量关系，判定四边形EFGH是平行四边形；第二步再通过中位线得到EH与CD的平行关系，结合AB⊥CD的条件，推出平行四边形的内角为直角，确定EFGH是矩形；最后计算矩形的邻边长度，相乘得到面积。
【解析】
解：
∵E、F分别是AD、BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF//AB，$EF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
∵G、H分别是BC、AC的中点，
∴GH是△ABC的中位线，
∴GH//AB，$GH=\frac{1}{2}AB=4$，
∴EF//GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形。
∵E、H分别是AD、AC的中点，
∴EH是△ACD的中位线，
∴EH//CD，$EH=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×12=6$。
又
∵AB⊥CD，EF//AB，EH//CD，
∴EF⊥EH，即∠FEH=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH的面积=$EF× EH=4×6=24$。
【答案】
24
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定与性质
【点评】
本题是四边形的典型综合题，核心是利用三角形中位线定理沟通线段的位置和数量关系，逐步推导四边形的形状，结合垂直条件转化为特殊四边形后计算面积，解题的关键是熟练掌握中位线及特殊四边形的相关性质。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 如图 21-47, 在 $□ ABCD$ 中, F 是 CD 的中点, 延长 AB 到点 E, 使 $BE=\frac{1}{2}AB$ ,连接 BF,CE.
(1)求证:四边形 BECF 是平行四边形;
(2)若 $AB=8,AD=6,∠ A=60°$ , 求 CE的长.
11. 如图 21-47, 在 $□ ABCD$ 中, F 是 CD 的中点, 延长 AB 到点 E, 使 $BE=\frac{1}{2}AB$ ,连接 BF,CE.
(1)求证:四边形 BECF 是平行四边形;
(2)若 $AB=8,AD=6,∠ A=60°$ , 求 CE的长.
答案
11. (1)
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，且$AB=CD$.
∵ F是CD的中点，
∴ $CF=\frac{1}{2} CD$. 又
∵ $BE=\frac{1}{2} AB$，
∴ $CF=BE$.
∵ $CF// BE$，
∴ 四边形$BECF$是平行四边形.
(2)如图，过点C作$CH⊥BE$于点H. 在$□ABCD$中，$AB// CD$，$∠A=60°$，$AB=8$，$AD=6$，
∴ $∠CBE=∠A=60°$，$CD=AB=8$，$CB=AD=6$. 在$Rt△BCH$中，$∠BCH=90°-∠CBE=30°$，
∴ $BH=\frac{1}{2} CB=3$. 由勾股定理，得$CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$. 由(1)可知，四边形$BECF$是平行四边形，
∴ $BE=CF=\frac{1}{2} CD=4$.
∴ $EH=BE-BH=4-3=1$. 在$Rt△CHE$中，$CE=\sqrt{CH^2+EH^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+1^2}=2\sqrt{7}$.
解析
【分析】
(1) 要证明四边形BECF是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理。首先利用平行四边形ABCD对边平行且相等的性质，得到AB与CD的位置、数量关系；再结合F是CD中点、$BE=\frac{1}{2}AB$的条件，推导得出CF和BE既平行又相等，即可完成证明。
(2) 要求CE的长度，需构造直角三角形借助勾股定理求解：过点C作$CH⊥BE$，将CE放入$Rt△CHE$中计算。首先利用平行四边形的性质得到BC的长度和$∠CBE$的度数，在$Rt△BCH$中用30°直角三角形的性质和勾股定理算出BH、CH的长度；再结合(1)的结论得到BE的长度，进而求出EH的长度，最后在$Rt△CHE$中用勾股定理算出CE即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，且$AB=CD$.
∵ F是CD的中点，
∴ $CF=\frac{1}{2} CD$.
又
∵ $BE=\frac{1}{2} AB$，
∴ $CF=BE$.
∵ $CF// BE$，
∴ 四边形$BECF$是平行四边形.
(2) 解：
如图，过点C作$CH⊥BE$于点H.
在$□ABCD$中，$AB// CD$，$∠A=60°$，$AB=8$，$AD=6$，
∴ $∠CBE=∠A=60°$，$CD=AB=8$，$CB=AD=6$.
在$Rt△BCH$中，$∠BCH=90°-∠CBE=30°$，
∴ $BH=\frac{1}{2} CB=3$.
由勾股定理，得$CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$.
由(1)可知，四边形$BECF$是平行四边形，
∴ $BE=CF=\frac{1}{2} CD=4$.
∴ $EH=BE-BH=4-3=1$.
在$Rt△CHE$中，$CE=\sqrt{CH^2+EH^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+1^2}=2\sqrt{7}$.
【答案】
(1) 四边形BECF是平行四边形，证明见解析；
(2) $CE=2\sqrt{7}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是四边形综合题型，第一问侧重考查平行四边形的基础判定和性质，难度较低；第二问需要通过作垂线构造直角三角形，结合特殊直角三角形的性质和勾股定理求解，对几何辅助线的构造能力有一定要求，考查知识点全面，是四边形章节的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形BECF是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理。首先利用平行四边形ABCD对边平行且相等的性质，得到AB与CD的位置、数量关系；再结合F是CD中点、$BE=\frac{1}{2}AB$的条件，推导得出CF和BE既平行又相等，即可完成证明。
(2) 要求CE的长度，需构造直角三角形借助勾股定理求解：过点C作$CH⊥BE$，将CE放入$Rt△CHE$中计算。首先利用平行四边形的性质得到BC的长度和$∠CBE$的度数，在$Rt△BCH$中用30°直角三角形的性质和勾股定理算出BH、CH的长度；再结合(1)的结论得到BE的长度，进而求出EH的长度，最后在$Rt△CHE$中用勾股定理算出CE即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，且$AB=CD$.
∵ F是CD的中点，
∴ $CF=\frac{1}{2} CD$.
又
∵ $BE=\frac{1}{2} AB$，
∴ $CF=BE$.
∵ $CF// BE$，
∴ 四边形$BECF$是平行四边形.
(2) 解：
如图，过点C作$CH⊥BE$于点H.
在$□ABCD$中，$AB// CD$，$∠A=60°$，$AB=8$，$AD=6$，
∴ $∠CBE=∠A=60°$，$CD=AB=8$，$CB=AD=6$.
在$Rt△BCH$中，$∠BCH=90°-∠CBE=30°$，
∴ $BH=\frac{1}{2} CB=3$.
由勾股定理，得$CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$.
由(1)可知，四边形$BECF$是平行四边形，
∴ $BE=CF=\frac{1}{2} CD=4$.
∴ $EH=BE-BH=4-3=1$.
在$Rt△CHE$中，$CE=\sqrt{CH^2+EH^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+1^2}=2\sqrt{7}$.
【答案】
(1) 四边形BECF是平行四边形，证明见解析；
(2) $CE=2\sqrt{7}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是四边形综合题型，第一问侧重考查平行四边形的基础判定和性质，难度较低；第二问需要通过作垂线构造直角三角形，结合特殊直角三角形的性质和勾股定理求解，对几何辅助线的构造能力有一定要求，考查知识点全面，是四边形章节的典型习题。
【难度系数】
0.7
