12. 如图21-48,四边形ABCD为正方形,E为线段AC上一点,连接DE,过点E作$EF ⊥ DE$,交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.
(1)求证:矩形DEFG是正方形;
(2)若$AB=4$,$CE=2\sqrt{2}$,求CG的长度;
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是$40°$时,直接写出$∠ EFC$的度数.

12. (1)如图1，过点E作$EP⊥CD$于点P，$EQ⊥BC$于点Q. 在正方形$ABCD$中，
∵ $∠DCA=∠BCA$，
∴ $EQ=EP$.
∴ 四边形$EQCP$是正方形.
∴ $∠QEF+∠FEC=45°$，$∠PED+∠FEC=45°$.
∴ $∠QEF=∠PED$. 在$△EQF$和$△EPD$中，$\begin{cases}∠QEF=∠PED,\\EQ=EP,\\∠EQF=∠EPD,\end{cases}$
∴ $△EQF≌△EPD(ASA)$.
∴ $EF=ED$.
∴ 矩形$DEFG$是正方形.
(2)如图2，在$Rt△ABC$中，$AC=\sqrt{2} AB=4\sqrt{2}$，
∵ $CE=2\sqrt{2}$，
∴ $AE=CE$.
∴ 点F与点C重合，此时$△DCG$是等腰直角三角形.
∴ 四边形$DECG$是正方形.
∴ $CG=CE=2\sqrt{2}$.
(3)$∠EFC=130°$或$40°$.

【分析】
(1) 要证明矩形DEFG是正方形，只需证明一组邻边相等即DE=EF。我们可以过E作CD、BC的垂线，利用正方形对角线平分内角的性质，得到两条垂线段相等，再通过角的关系找全等条件，证明三角形全等即可得到EF=ED。
(2) 先根据正方形边长求出对角线AC的长度，结合CE的长度判断E为AC中点，此时点F与C重合，再结合DEFG是正方形的性质，即可求出CG的长度。
(3) 分两种情况讨论：①DE与AD的夹角为40°；②DE与DC的夹角为40°，结合三角形内角和等知识分别计算∠EFC的度数，注意F在射线BC上，不要漏解。
【解析】
(1) 如图1，过点E作$EP⊥CD$于点P，$EQ⊥BC$于点Q。
在正方形$ABCD$中，AC平分$∠BCD$，
∵ $EP⊥CD$，$EQ⊥BC$，
∴ $EQ=EP$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ $∠EQC=∠EPC=∠PCQ=90°$，
∴ 四边形$EQCP$是正方形，
∴ $∠QEP=90°$，即$∠QEF+∠FEP=90°$。
∵ 四边形DEFG是矩形，
∴ $∠DEF=90°$，即$∠PED+∠FEP=90°$，
∴ $∠QEF=∠PED$。
在$△EQF$和$△EPD$中，
$\begin{cases}∠QEF=∠PED,\\EQ=EP,\\∠EQF=∠EPD=90°,\end{cases}$
∴ $△EQF≌△EPD(ASA)$，
∴ $EF=ED$，
∴ 矩形$DEFG$是正方形。
(2) 如图2，在$Rt△ABC$中，$AB=BC=4$，
∴ $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2}AB=4\sqrt{2}$，
∵ $CE=2\sqrt{2}$，
∴ $AE=AC-CE=2\sqrt{2}=CE$，即E为AC中点，
此时点F与点C重合，$△DCG$是等腰直角三角形，四边形$DECG$是正方形，
∴ $CG=CE=2\sqrt{2}$。
(3) 分两种情况：
① 当DE与AD的夹角为40°时，计算可得$∠EFC=130°$；
② 当DE与DC的夹角为40°时，计算可得$∠EFC=40°$。
【答案】
(1) 证明如上；
(2) $CG=2\sqrt{2}$；
(3) $∠EFC=130°$或$40°$。


【知识点】
正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
【点评】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的相关性质、判定，全等三角形的判定和性质，渗透了分类讨论的数学思想，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键，第三问要注意分情况讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6