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三、解答题
1. [2025·开封二模]解不等式$\dfrac{x+1}{3}-\dfrac{3x-5}{6}≥ 1$，并在数轴上表示解集.
1. [2025·开封二模]解不等式$\dfrac{x+1}{3}-\dfrac{3x-5}{6}≥ 1$，并在数轴上表示解集.
答案
1. $x≤1$ 数轴表示略
解析
【分析】
这是一道含分母的一元一次不等式求解问题，解题思路可类比一元一次方程的求解步骤：首先要去分母消掉分数简化计算，注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项；随后依次进行去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1，这里要注意不等式的特殊性质：两边同时乘或除以同一个负数时，不等号方向需要改变。得到解集后再按要求在数轴上表示，有等号时用实心点，小于等于的解集向左延伸。
【解析】
解：去分母（不等式两边同时乘6，消去分母），得
$2(x+1)-(3x-5)≥6$
去括号（注意括号前为负号，括号内各项要变号），得
$2x+2-3x+5≥6$
移项（移项要变号，将含x的项移到左边，常数项移到右边），得
$2x-3x≥6-2-5$
合并同类项，得
$-x≥-1$
系数化为1（两边同时除以-1，不等号方向改变），得
$x≤1$
数轴表示：在数轴上找到表示1的点，画实心圆点，向左画射线即可（略）
【答案】
$x≤1$ 数轴表示略
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式的性质、解集的数轴表示
【点评】
本题是一元一次不等式求解的基础题型，重点考查解一元一次不等式的标准步骤和易错点，解题时要注意两个易错点：一是去分母时不要漏乘常数项，二是系数化为1时若系数为负，要记得改变不等号的方向，数轴表示解集时要正确区分实心点和空心圈的用法。
【难度系数】
0.8
这是一道含分母的一元一次不等式求解问题，解题思路可类比一元一次方程的求解步骤：首先要去分母消掉分数简化计算，注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项；随后依次进行去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1，这里要注意不等式的特殊性质：两边同时乘或除以同一个负数时，不等号方向需要改变。得到解集后再按要求在数轴上表示，有等号时用实心点，小于等于的解集向左延伸。
【解析】
解：去分母（不等式两边同时乘6，消去分母），得
$2(x+1)-(3x-5)≥6$
去括号（注意括号前为负号，括号内各项要变号），得
$2x+2-3x+5≥6$
移项（移项要变号，将含x的项移到左边，常数项移到右边），得
$2x-3x≥6-2-5$
合并同类项，得
$-x≥-1$
系数化为1（两边同时除以-1，不等号方向改变），得
$x≤1$
数轴表示：在数轴上找到表示1的点，画实心圆点，向左画射线即可（略）
【答案】
$x≤1$ 数轴表示略
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式的性质、解集的数轴表示
【点评】
本题是一元一次不等式求解的基础题型，重点考查解一元一次不等式的标准步骤和易错点，解题时要注意两个易错点：一是去分母时不要漏乘常数项，二是系数化为1时若系数为负，要记得改变不等号的方向，数轴表示解集时要正确区分实心点和空心圈的用法。
【难度系数】
0.8
2. [2023·陕西]解不等式$\dfrac{3x-5}{2}＞2x.$
答案
2. $x＜-5$
解析
【分析】
本题是一元一次不等式的求解问题，解题思路可类比一元一次方程的求解步骤，首先去分母消除分数形式，再通过移项、合并同类项将不等式化简为$ax＞b$（或$ax＜b$）的形式，最后系数化为1得到解集，注意当不等式两边同时乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要发生改变。
【解析】
解：去分母，不等式两边同时乘2（2为正数，不等号方向不变），得：
$3x - 5 ＞ 4x$
移项，将含$x$的项移到不等式左侧，常数项移到右侧，移项要变号，得：
$3x - 4x ＞ 5$
合并同类项，得：
$-x ＞ 5$
系数化为1，不等式两边同时除以$-1$（负数，不等号方向改变），得：
$x ＜ -5$
【答案】
$x ＜ -5$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元一次不等式的常规求解步骤，易错点为系数化为1时，忽略系数为负的情况，未改变不等号的方向，解题时需格外注意这一点。
【难度系数】
0.8
本题是一元一次不等式的求解问题，解题思路可类比一元一次方程的求解步骤，首先去分母消除分数形式，再通过移项、合并同类项将不等式化简为$ax＞b$（或$ax＜b$）的形式，最后系数化为1得到解集，注意当不等式两边同时乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要发生改变。
【解析】
解：去分母，不等式两边同时乘2（2为正数，不等号方向不变），得：
$3x - 5 ＞ 4x$
移项，将含$x$的项移到不等式左侧，常数项移到右侧，移项要变号，得：
$3x - 4x ＞ 5$
合并同类项，得：
$-x ＞ 5$
系数化为1，不等式两边同时除以$-1$（负数，不等号方向改变），得：
$x ＜ -5$
【答案】
$x ＜ -5$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元一次不等式的常规求解步骤，易错点为系数化为1时，忽略系数为负的情况，未改变不等号的方向，解题时需格外注意这一点。
【难度系数】
0.8
3. 阅读下面的材料,并解答问题.
小明在学习了不等式的知识后,发现如下正确结论:
若 $ A-B＞0 $,则 $ A＞B $;若 $ A-B=0 $,则 $ A=B $;若 $ A-B＜0 $,则 $ A＜B $.
下面是小明利用这个结论解决问题的过程.
试比较 $ \sqrt{3} $ 与 $ 2\sqrt{2}-\sqrt{3} $ 的大小.
解:$ \because \sqrt{3}-(2\sqrt{2}-\sqrt{3}) $
$ =\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{3} $
$ =2\sqrt{3}-2\sqrt{2}＞0 $,
$ \therefore \sqrt{3} $
(1)请完成小明的解题过程;
(2)试比较 $ 2(x^2-3xy+4y^2)-3 $ 与 $ 3x^2-6xy+8y^2-2 $ 的大小(写出相应的解答过程).
小明在学习了不等式的知识后,发现如下正确结论:
若 $ A-B＞0 $,则 $ A＞B $;若 $ A-B=0 $,则 $ A=B $;若 $ A-B＜0 $,则 $ A＜B $.
下面是小明利用这个结论解决问题的过程.
试比较 $ \sqrt{3} $ 与 $ 2\sqrt{2}-\sqrt{3} $ 的大小.
解:$ \because \sqrt{3}-(2\sqrt{2}-\sqrt{3}) $
$ =\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{3} $
$ =2\sqrt{3}-2\sqrt{2}＞0 $,
$ \therefore \sqrt{3} $
＞
$ 2\sqrt{2}-\sqrt{3} $.(1)请完成小明的解题过程;
(2)试比较 $ 2(x^2-3xy+4y^2)-3 $ 与 $ 3x^2-6xy+8y^2-2 $ 的大小(写出相应的解答过程).
答案
3. 解:(1) ＞
(2)$2(x^2-3xy+4y^2)-3-(3x^2-6xy+8y^2-2)$
$=2x^2-6xy+8y^2-3-3x^2+6xy-8y^2+2$
$=-x^2-1.$
$\because -x^2-1＜0,$
$\therefore 2(x^2-3xy+4y^2)-3-(3x^2-6xy+8y^2-2)＜0.$
$\therefore 2(x^2-3xy+4y^2)-3＜3x^2-6xy+8y^2-2.$
(2)$2(x^2-3xy+4y^2)-3-(3x^2-6xy+8y^2-2)$
$=2x^2-6xy+8y^2-3-3x^2+6xy-8y^2+2$
$=-x^2-1.$
$\because -x^2-1＜0,$
$\therefore 2(x^2-3xy+4y^2)-3-(3x^2-6xy+8y^2-2)＜0.$
$\therefore 2(x^2-3xy+4y^2)-3＜3x^2-6xy+8y^2-2.$
解析
【分析】
本题利用题目给出的“作差法比较大小”的结论解题，思路清晰可分为三步：第一步计算两个待比较式子的差，第二步判断差的正负性，第三步根据差的正负确定两个式子的大小关系。（1）中已经给出两式的差大于0，直接套用结论即可填空；（2）先对两个整式作差，再通过去括号、合并同类项化简差，结合平方的非负性判断差的正负，最终得出大小关系。
【解析】
（1）根据题中结论：若$A-B＞0$，则$A＞B$。已知$\sqrt{3}-(2\sqrt{2}-\sqrt{3})＞0$，因此$\sqrt{3}＞2\sqrt{2}-\sqrt{3}$。
（2）按照作差法步骤解答：
① 作差：计算两个整式的差
$2(x^2-3xy+4y^2)-3-(3x^2-6xy+8y^2-2)$
② 化简差：去括号、合并同类项
$=2x^2-6xy+8y^2-3-3x^2+6xy-8y^2+2$
$=-x^2-1$
③ 判断差的正负：
$\because x^2≥0$，$\therefore -x^2≤0$，可得$-x^2-1≤-1＜0$
④ 得出结论：
$\because$ 两式的差小于0，$\therefore 2(x^2-3xy+4y^2)-3＜3x^2-6xy+8y^2-2$
【答案】
（1）$\boldsymbol{＞}$
（2）$\boldsymbol{2(x^2-3xy+4y^2)-3 ＜ 3x^2-6xy+8y^2-2}$
【知识点】
作差法比较大小，整式的加减运算，非负数的性质
【点评】
本题是作差法比较大小的基础题型，解题关键是熟练掌握“作差-化简-判号-结论”的步骤，计算时注意去括号的符号变化规则，掌握方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题利用题目给出的“作差法比较大小”的结论解题，思路清晰可分为三步：第一步计算两个待比较式子的差，第二步判断差的正负性，第三步根据差的正负确定两个式子的大小关系。（1）中已经给出两式的差大于0，直接套用结论即可填空；（2）先对两个整式作差，再通过去括号、合并同类项化简差，结合平方的非负性判断差的正负，最终得出大小关系。
【解析】
（1）根据题中结论：若$A-B＞0$，则$A＞B$。已知$\sqrt{3}-(2\sqrt{2}-\sqrt{3})＞0$，因此$\sqrt{3}＞2\sqrt{2}-\sqrt{3}$。
（2）按照作差法步骤解答：
① 作差：计算两个整式的差
$2(x^2-3xy+4y^2)-3-(3x^2-6xy+8y^2-2)$
② 化简差：去括号、合并同类项
$=2x^2-6xy+8y^2-3-3x^2+6xy-8y^2+2$
$=-x^2-1$
③ 判断差的正负：
$\because x^2≥0$，$\therefore -x^2≤0$，可得$-x^2-1≤-1＜0$
④ 得出结论：
$\because$ 两式的差小于0，$\therefore 2(x^2-3xy+4y^2)-3＜3x^2-6xy+8y^2-2$
【答案】
（1）$\boldsymbol{＞}$
（2）$\boldsymbol{2(x^2-3xy+4y^2)-3 ＜ 3x^2-6xy+8y^2-2}$
【知识点】
作差法比较大小，整式的加减运算，非负数的性质
【点评】
本题是作差法比较大小的基础题型，解题关键是熟练掌握“作差-化简-判号-结论”的步骤，计算时注意去括号的符号变化规则，掌握方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
