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一、选择题
1. 已知式子$\dfrac{3}{\sqrt{6-2x}}$在实数范围内有意义,则$x$的取值范围是 （
A.$x＜3$
B.$x≥ 3$
C.$x≤ 3$
D.$x≠ 3$
1. 已知式子$\dfrac{3}{\sqrt{6-2x}}$在实数范围内有意义,则$x$的取值范围是 （
A
）A.$x＜3$
B.$x≥ 3$
C.$x≤ 3$
D.$x≠ 3$
答案
1. A
解析
【分析】
要确定代数式有意义时x的取值范围，需先明确代数式中涉及的限制条件：该式是分式，且分母含有二次根式。首先，分式有意义要求分母不为0；其次，二次根式有意义要求被开方数为非负数。结合两个限制条件可得根号下的6-2x必须大于0，再解这个一元一次不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
要使式子$\dfrac{3}{\sqrt{6-2x}}$在实数范围内有意义，需同时满足：
1. 二次根式的被开方数非负：$6-2x≥0$
2. 分式的分母不为0：$\sqrt{6-2x}≠0$
综上可得$6-2x＞0$，
移项得：$-2x＞-6$，
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x＜3$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题型，解题时需结合多个限制条件综合判断取值范围，容易遗漏分母不为0的要求，误将条件判断为$6-2x≥0$而错选C，做题时要仔细梳理所有限制条件。
【难度系数】
0.85
要确定代数式有意义时x的取值范围，需先明确代数式中涉及的限制条件：该式是分式，且分母含有二次根式。首先，分式有意义要求分母不为0；其次，二次根式有意义要求被开方数为非负数。结合两个限制条件可得根号下的6-2x必须大于0，再解这个一元一次不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
要使式子$\dfrac{3}{\sqrt{6-2x}}$在实数范围内有意义，需同时满足：
1. 二次根式的被开方数非负：$6-2x≥0$
2. 分式的分母不为0：$\sqrt{6-2x}≠0$
综上可得$6-2x＞0$，
移项得：$-2x＞-6$，
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x＜3$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题型，解题时需结合多个限制条件综合判断取值范围，容易遗漏分母不为0的要求，误将条件判断为$6-2x≥0$而错选C，做题时要仔细梳理所有限制条件。
【难度系数】
0.85
2. 已知一个等腰三角形的周长是 10，底边长 $ y $ 是腰长 $ x $ 的函数，则下列图象中，能正确反映 $ y $ 与 $ x $ 之间函数关系的图象是 （
D
）答案
2. D
解析
【分析】
解题首先要根据等腰三角形周长公式推导y与x的函数关系式，再结合几何实际（边长为正、三角形三边关系）求出自变量x的取值范围，最后根据函数类型、自变量范围、端点虚实判断对应图像。第一步：由周长定义列等式变形得到函数式；第二步：根据“底边长＞0”和“两腰之和＞底边长”列不等式，求解得到x的范围；第三步：结合x范围和端点是否可取（即能否构成三角形）判断图像。
【解析】
1. 推导函数关系式：
等腰三角形周长=2×腰长+底边长，已知周长为10，因此有：
$2x + y = 10$，整理得：$y = -2x + 10$。
2. 求自变量x的取值范围：
（1）边长为正数，因此底边长$y＞0$，代入得：$10-2x＞0$，解得$x＜5$；
（2）根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两腰之和为$2x$，需大于底边长y，即：
$2x＞y$，代入$y=10-2x$得：$2x＞10-2x$，解得$x＞2.5$。
综上，x的取值范围是$2.5＜x＜5$，因此x不能取2.5和5，对应图像的端点为空心点。
3. 对应值判断：当$x=2.5$时，$y=5$；当$x=5$时，$y=0$，因此函数图像是连接空心点$(2.5,5)$和空心点$(5,0)$的线段，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形周长，三角形三边关系，一次函数图像
【点评】
本题易错点是容易忽略三角形三边关系，仅根据边长为正得到错误的自变量范围，也容易搞错端点的实心、空心属性，求解实际问题的函数图像时，一定要结合实际意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.6
解题首先要根据等腰三角形周长公式推导y与x的函数关系式，再结合几何实际（边长为正、三角形三边关系）求出自变量x的取值范围，最后根据函数类型、自变量范围、端点虚实判断对应图像。第一步：由周长定义列等式变形得到函数式；第二步：根据“底边长＞0”和“两腰之和＞底边长”列不等式，求解得到x的范围；第三步：结合x范围和端点是否可取（即能否构成三角形）判断图像。
【解析】
1. 推导函数关系式：
等腰三角形周长=2×腰长+底边长，已知周长为10，因此有：
$2x + y = 10$，整理得：$y = -2x + 10$。
2. 求自变量x的取值范围：
（1）边长为正数，因此底边长$y＞0$，代入得：$10-2x＞0$，解得$x＜5$；
（2）根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两腰之和为$2x$，需大于底边长y，即：
$2x＞y$，代入$y=10-2x$得：$2x＞10-2x$，解得$x＞2.5$。
综上，x的取值范围是$2.5＜x＜5$，因此x不能取2.5和5，对应图像的端点为空心点。
3. 对应值判断：当$x=2.5$时，$y=5$；当$x=5$时，$y=0$，因此函数图像是连接空心点$(2.5,5)$和空心点$(5,0)$的线段，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形周长，三角形三边关系，一次函数图像
【点评】
本题易错点是容易忽略三角形三边关系，仅根据边长为正得到错误的自变量范围，也容易搞错端点的实心、空心属性，求解实际问题的函数图像时，一定要结合实际意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.6
3. 在学校文艺汇演中，7名参加舞蹈表演的女生身高(单位:cm)如下:170,175,169,171,172,170,173,则这组数据的中位数是 (
A.175
B.172
C.171
D.170
C
)A.175
B.172
C.171
D.170
答案
3. C
解析
【分析】
要求这组数据的中位数，首先回忆中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，若数据个数为奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；若数据个数为偶数，则中间两个数据的平均数是中位数。本题共有7个数据，是奇数个，所以先将数据排序，再找中间位置的数即可。
【解析】
第一步：将这组身高数据从小到大排列：169，170，170，171，172，173，175。
第二步：数据总个数为7，是奇数，中间位置为第$\frac{7+1}{2}=4$位。
第三步：找到排列后第4位的数为171，因此这组数据的中位数是171。
【答案】
C
【知识点】
中位数的计算、数据排序
【点评】
本题属于基础题型，核心考查中位数的求解方法，解题时需注意一定要先对数据进行排序，再根据数据个数的奇偶性确定中位数，避免直接取原数列中间位置的数导致出错。
【难度系数】
0.9
要求这组数据的中位数，首先回忆中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，若数据个数为奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；若数据个数为偶数，则中间两个数据的平均数是中位数。本题共有7个数据，是奇数个，所以先将数据排序，再找中间位置的数即可。
【解析】
第一步：将这组身高数据从小到大排列：169，170，170，171，172，173，175。
第二步：数据总个数为7，是奇数，中间位置为第$\frac{7+1}{2}=4$位。
第三步：找到排列后第4位的数为171，因此这组数据的中位数是171。
【答案】
C
【知识点】
中位数的计算、数据排序
【点评】
本题属于基础题型，核心考查中位数的求解方法，解题时需注意一定要先对数据进行排序，再根据数据个数的奇偶性确定中位数，避免直接取原数列中间位置的数导致出错。
【难度系数】
0.9
4. 茶文化是中国对茶认识的一种具体表现,其内涵与茶具设计之间存在着密不可分的联系.如图,向茶杯中匀速注水,则下列图象中,能大致反映茶杯中水面高度与注水时间关系的图象是
(
(
B
)答案
4. B
解析
【分析】
解题时首先明确注水是匀速的，即相同时间注入的水体积相等。接下来结合茶杯底小口大的形状特点分析：容器横截面积越小，相同体积的水注入后水面上升越快，横截面积越大则上升越慢。对应到水面高度随时间变化的图像上，上升越快图像倾斜程度越大，上升越慢倾斜程度越小，因此图像应该是逐渐变平缓的，据此匹配选项即可。
【解析】
解：
∵向茶杯内匀速注水，
∴单位时间内注入水的体积是固定值。
已知茶杯为底小口大的形状，即从底部到杯口横截面积逐渐增大。
根据体积公式可得，相同时间内注入相同体积的水时，横截面积越大，水面上升的高度越小，即水面上升的速度会越来越慢。
因此水面高度随注水时间变化的图像，倾斜程度会逐渐减小（越来越平缓），只有B选项符合该特征。
【答案】
B
【知识点】
函数图像识别、变量间的对应关系
【点评】
这道题结合生活常见的注水场景命题，需要同学们结合容器形状分析物理量的变化规律，进而匹配对应的函数图像，考查了理论联系实际的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确注水是匀速的，即相同时间注入的水体积相等。接下来结合茶杯底小口大的形状特点分析：容器横截面积越小，相同体积的水注入后水面上升越快，横截面积越大则上升越慢。对应到水面高度随时间变化的图像上，上升越快图像倾斜程度越大，上升越慢倾斜程度越小，因此图像应该是逐渐变平缓的，据此匹配选项即可。
【解析】
解：
∵向茶杯内匀速注水，
∴单位时间内注入水的体积是固定值。
已知茶杯为底小口大的形状，即从底部到杯口横截面积逐渐增大。
根据体积公式可得，相同时间内注入相同体积的水时，横截面积越大，水面上升的高度越小，即水面上升的速度会越来越慢。
因此水面高度随注水时间变化的图像，倾斜程度会逐渐减小（越来越平缓），只有B选项符合该特征。
【答案】
B
【知识点】
函数图像识别、变量间的对应关系
【点评】
这道题结合生活常见的注水场景命题，需要同学们结合容器形状分析物理量的变化规律，进而匹配对应的函数图像，考查了理论联系实际的应用能力。
【难度系数】
0.7
5. 要在数轴上表示$\sqrt{41}$，可以用长为整数的两条线段为直角边作直角三角形，使其斜边长为$\sqrt{41}$，则可选作两条直角边长的整数是（
A.3 和 5
B.4 和 5
C.5 和 6
D.2 和 6
B
）A.3 和 5
B.4 和 5
C.5 和 6
D.2 和 6
答案
5. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先结合勾股定理分析直角三角形三边的关系：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。已知斜边长为$\sqrt{41}$，先计算斜边的平方为$(\sqrt{41})^2=41$，接下来只需逐一计算每个选项中两个整数的平方和，找到结果等于41的选项即可。
【解析】
设两条直角边的长度分别为$a$、$b$，根据勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = (\sqrt{41})^2 = 41$
逐一验证各选项：
A选项：$3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34 ≠ 41$，不符合要求；
B选项：$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$，符合要求；
C选项：$5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61 ≠ 41$，不符合要求；
D选项：$2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40 ≠ 41$，不符合要求。
因此可选作两条直角边长的整数是4和5。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；平方运算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题核心是利用勾股定理建立直角边与斜边的数量关系，通过代入验证的方法即可快速得出结果，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先结合勾股定理分析直角三角形三边的关系：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。已知斜边长为$\sqrt{41}$，先计算斜边的平方为$(\sqrt{41})^2=41$，接下来只需逐一计算每个选项中两个整数的平方和，找到结果等于41的选项即可。
【解析】
设两条直角边的长度分别为$a$、$b$，根据勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = (\sqrt{41})^2 = 41$
逐一验证各选项：
A选项：$3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34 ≠ 41$，不符合要求；
B选项：$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$，符合要求；
C选项：$5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61 ≠ 41$，不符合要求；
D选项：$2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40 ≠ 41$，不符合要求。
因此可选作两条直角边长的整数是4和5。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；平方运算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题核心是利用勾股定理建立直角边与斜边的数量关系，通过代入验证的方法即可快速得出结果，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
6. 科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花.将它们的开花时间记录如下表：
这四种花中开花时间最短，且开花时间最稳定的是 （
A.甲种
B.乙种
C.丙种
D.丁种
这四种花中开花时间最短，且开花时间最稳定的是 （
B
）A.甲种
B.乙种
C.丙种
D.丁种
答案
6. B
解析
【分析】
要解决这道题需同时满足两个条件：一是开花时间最短，二是开花时间最稳定。首先明确对应统计量的含义：平均数反映一组数据的平均水平，平均数越小说明平均开花时间越短；方差反映一组数据的波动程度，方差越小说明数据越稳定，开花时间越一致。解题时分两步筛选：第一步先比较四种花的平均数，选出平均开花时间短的品种；第二步再对比筛选出品种的方差，选方差最小的即可。
【解析】
第一步，比较平均开花时间：
甲、乙的平均数均为2.3天，丙的平均数为2.8天，丁的平均数为3.1天，因为$2.3＜2.8＜3.1$，所以甲、乙的平均开花时间更短，先排除丙、丁。
第二步，比较开花时间的稳定性：
方差越小，开花时间波动越小，越稳定。甲的方差为1.05，乙的方差为0.78，因为$0.78＜1.05$，所以乙种花的开花时间更稳定。
综上，开花时间最短且最稳定的是乙种。
【答案】
B
【知识点】
平均数的意义；方差的意义
【点评】
本题是统计量的实际应用类题目，解题核心是准确掌握平均数和方差的实际含义，结合题目要求逐层筛选就能快速得到结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题需同时满足两个条件：一是开花时间最短，二是开花时间最稳定。首先明确对应统计量的含义：平均数反映一组数据的平均水平，平均数越小说明平均开花时间越短；方差反映一组数据的波动程度，方差越小说明数据越稳定，开花时间越一致。解题时分两步筛选：第一步先比较四种花的平均数，选出平均开花时间短的品种；第二步再对比筛选出品种的方差，选方差最小的即可。
【解析】
第一步，比较平均开花时间：
甲、乙的平均数均为2.3天，丙的平均数为2.8天，丁的平均数为3.1天，因为$2.3＜2.8＜3.1$，所以甲、乙的平均开花时间更短，先排除丙、丁。
第二步，比较开花时间的稳定性：
方差越小，开花时间波动越小，越稳定。甲的方差为1.05，乙的方差为0.78，因为$0.78＜1.05$，所以乙种花的开花时间更稳定。
综上，开花时间最短且最稳定的是乙种。
【答案】
B
【知识点】
平均数的意义；方差的意义
【点评】
本题是统计量的实际应用类题目，解题核心是准确掌握平均数和方差的实际含义，结合题目要求逐层筛选就能快速得到结果。
【难度系数】
0.8
