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17.浮式起重机又称起重船,它可以利用船体提供的浮力和船上的起重系统来完成起吊作业。如图4-13甲是某起重船,图4-13乙是它的简化示意图。OB是起重臂,向上提升重物时,起重臂OB保持静止,通过固定在B点的绞车(图中未画出)回收钢缆,将重物吊起。(不计起重臂、绞车和钢缆的重力,不计摩擦$,ρ_{海水}=1.0×10³ kg/m³,g$取10 N/kg)
(1)如图4-13乙所示,某次模拟打捞作业时,密闭长方体实验模型底部嵌入海底淤泥中,顶部到海面的距离为100 m,则海水对实验模型顶部的压强为多少?
(2)该实验模型的长为5 m,宽为4 m,高为5 m,总质量为600 t。起吊前,先向船舱中注入适量的水,再将钢缆紧紧地连接到绞车上。接着逐渐排出船舱中的水并保持吃水深度不变,当钢缆刚好能拉动实验模型时,停止排水。问:此时钢缆对实验模型的拉力为多少?
(3)为了使实验模型脱离淤泥,起重船至少需要向外排出多少立方米的海水?
(1)如图4-13乙所示,某次模拟打捞作业时,密闭长方体实验模型底部嵌入海底淤泥中,顶部到海面的距离为100 m,则海水对实验模型顶部的压强为多少?
(2)该实验模型的长为5 m,宽为4 m,高为5 m,总质量为600 t。起吊前,先向船舱中注入适量的水,再将钢缆紧紧地连接到绞车上。接着逐渐排出船舱中的水并保持吃水深度不变,当钢缆刚好能拉动实验模型时,停止排水。问:此时钢缆对实验模型的拉力为多少?
(3)为了使实验模型脱离淤泥,起重船至少需要向外排出多少立方米的海水?
答案
17.(1)密闭长方体实验模型顶部到海面的距离为100 m,则海水对实验模型顶部的压强
$p=\rho _{\mathrm{海水}}gh=1. 0× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}× 10\ \mathrm{N/kg}× 100\ \mathrm{m}=1. 0× 10^{6}\ \mathrm{Pa}$。
(2)模型顶部的面积
$S=5\ \mathrm{m}× 4\ \mathrm{m}=20\ \mathrm{m}^{2}$,
受到海水的压力
$F=pS=1. 0× 10^{6}\ \mathrm{Pa}× 20\ \mathrm{m}^{2}=2× 10^{7}\ \mathrm{N}$;
模型总质量
$m=600\ \mathrm{t}=6× 10^{5}\ \mathrm{kg}$,
则重力
$G=mg=6× 10^{5}\ \mathrm{kg}× 10\ \mathrm{N/kg}=6× 10^{6}\ \mathrm{N}$;
当钢缆刚好能拉动模型时,海底淤泥对模型的支撑力为零,模型受力平衡,由于模型陷入海底淤泥中,所以不受浮力作用,即钢缆对模型的拉力
$F_{\mathrm{拉}}=F+G=2× 10^{7}\ \mathrm{N}+6× 10^{6}\ \mathrm{N}=2. 6× 10^{7}\ \mathrm{N}$。
(3)由于起重船的船身稳定且吃水深度保持不变,则起重船受到浮力不变,则排出船舱中水的重力等于钢缆的拉力,所以
$G_{\mathrm{排}}=F_{\mathrm{拉}}=2. 6× 10^{7}\ \mathrm{N}$,
则$m_{\mathrm{排}}=\dfrac{G_{\mathrm{排}}}{g}=\dfrac{2. 6× 10^{7}\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=2. 6× 10^{6}\ \mathrm{kg}$;
由密度公式可知,排开的海水的体积
$V_{\mathrm{排}}=\dfrac{m_{\mathrm{排}}}{\rho _{\mathrm{海水}}}=\dfrac{2. 6× 10^{6}\ \mathrm{kg}}{1. 0× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}}=2. 6× 10^{3}\ \mathrm{m}^{3}$。
$p=\rho _{\mathrm{海水}}gh=1. 0× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}× 10\ \mathrm{N/kg}× 100\ \mathrm{m}=1. 0× 10^{6}\ \mathrm{Pa}$。
(2)模型顶部的面积
$S=5\ \mathrm{m}× 4\ \mathrm{m}=20\ \mathrm{m}^{2}$,
受到海水的压力
$F=pS=1. 0× 10^{6}\ \mathrm{Pa}× 20\ \mathrm{m}^{2}=2× 10^{7}\ \mathrm{N}$;
模型总质量
$m=600\ \mathrm{t}=6× 10^{5}\ \mathrm{kg}$,
则重力
$G=mg=6× 10^{5}\ \mathrm{kg}× 10\ \mathrm{N/kg}=6× 10^{6}\ \mathrm{N}$;
当钢缆刚好能拉动模型时,海底淤泥对模型的支撑力为零,模型受力平衡,由于模型陷入海底淤泥中,所以不受浮力作用,即钢缆对模型的拉力
$F_{\mathrm{拉}}=F+G=2× 10^{7}\ \mathrm{N}+6× 10^{6}\ \mathrm{N}=2. 6× 10^{7}\ \mathrm{N}$。
(3)由于起重船的船身稳定且吃水深度保持不变,则起重船受到浮力不变,则排出船舱中水的重力等于钢缆的拉力,所以
$G_{\mathrm{排}}=F_{\mathrm{拉}}=2. 6× 10^{7}\ \mathrm{N}$,
则$m_{\mathrm{排}}=\dfrac{G_{\mathrm{排}}}{g}=\dfrac{2. 6× 10^{7}\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=2. 6× 10^{6}\ \mathrm{kg}$;
由密度公式可知,排开的海水的体积
$V_{\mathrm{排}}=\dfrac{m_{\mathrm{排}}}{\rho _{\mathrm{海水}}}=\dfrac{2. 6× 10^{6}\ \mathrm{kg}}{1. 0× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}}=2. 6× 10^{3}\ \mathrm{m}^{3}$。
解析
【分析】
本题分三小问，解题思路如下：
(1) 求海水对模型顶部的压强，利用液体压强公式$p=\rho gh$，确定模型顶部到海面的深度$h$，代入海水密度、重力加速度计算即可。
(2) 模型底部嵌入淤泥中，不受浮力作用，受力平衡时，钢缆拉力需要克服模型的重力和顶部海水的压力。先计算模型顶部的面积，再由$F=pS$算出海水对顶部的压力，再计算模型重力，两者相加即为钢缆拉力。
(3) 起重船吃水深度不变，根据阿基米德原理，其受到的浮力不变，因此排出船舱水的重力等于钢缆的拉力，再由$V=\frac{m}{\rho}$算出排出海水的体积。
【解析】
(1) 海水对实验模型顶部的压强：
$p=\rho_{海水}gh=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×100\ \mathrm{m}=1.0×10^6\ \mathrm{Pa}$。
(2) 模型顶部的面积：
$S=5\ \mathrm{m}×4\ \mathrm{m}=20\ \mathrm{m}^2$，
海水对模型顶部的压力：
$F=pS=1.0×10^6\ \mathrm{Pa}×20\ \mathrm{m}^2=2×10^7\ \mathrm{N}$，
模型的总质量$m=600\ \mathrm{t}=6×10^5\ \mathrm{kg}$，重力：
$G=mg=6×10^5\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=6×10^6\ \mathrm{N}$，
因模型底部在淤泥中不受浮力，受力平衡时钢缆拉力：
$F_{拉}=F+G=2×10^7\ \mathrm{N}+6×10^6\ \mathrm{N}=2.6×10^7\ \mathrm{N}$。
(3) 起重船吃水深度不变，浮力不变，故排出水的重力等于钢缆拉力：
$G_{排}=F_{拉}=2.6×10^7\ \mathrm{N}$，
排出水的质量：
$m_{排}=\frac{G_{排}}{g}=\frac{2.6×10^7\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=2.6×10^6\ \mathrm{kg}$，
排出海水的体积：
$V_{排}=\frac{m_{排}}{\rho_{海水}}=\frac{2.6×10^6\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=2.6×10^3\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
(1) $1.0×10^6\ \mathrm{Pa}$；(2) $2.6×10^7\ \mathrm{N}$；(3) $2.6×10^3\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
液体压强计算、受力平衡、阿基米德原理
【点评】
本题结合实际起重作业场景，考查液体压强、受力分析和浮力的应用，关键在于明确模型在淤泥中不受浮力、起重船浮力不变的条件，需要学生准确分析受力关系并熟练运用相关公式。
【难度系数】
0.5
本题分三小问，解题思路如下：
(1) 求海水对模型顶部的压强，利用液体压强公式$p=\rho gh$，确定模型顶部到海面的深度$h$，代入海水密度、重力加速度计算即可。
(2) 模型底部嵌入淤泥中，不受浮力作用，受力平衡时，钢缆拉力需要克服模型的重力和顶部海水的压力。先计算模型顶部的面积，再由$F=pS$算出海水对顶部的压力，再计算模型重力，两者相加即为钢缆拉力。
(3) 起重船吃水深度不变，根据阿基米德原理，其受到的浮力不变，因此排出船舱水的重力等于钢缆的拉力，再由$V=\frac{m}{\rho}$算出排出海水的体积。
【解析】
(1) 海水对实验模型顶部的压强：
$p=\rho_{海水}gh=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×100\ \mathrm{m}=1.0×10^6\ \mathrm{Pa}$。
(2) 模型顶部的面积：
$S=5\ \mathrm{m}×4\ \mathrm{m}=20\ \mathrm{m}^2$，
海水对模型顶部的压力：
$F=pS=1.0×10^6\ \mathrm{Pa}×20\ \mathrm{m}^2=2×10^7\ \mathrm{N}$，
模型的总质量$m=600\ \mathrm{t}=6×10^5\ \mathrm{kg}$，重力：
$G=mg=6×10^5\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=6×10^6\ \mathrm{N}$，
因模型底部在淤泥中不受浮力，受力平衡时钢缆拉力：
$F_{拉}=F+G=2×10^7\ \mathrm{N}+6×10^6\ \mathrm{N}=2.6×10^7\ \mathrm{N}$。
(3) 起重船吃水深度不变，浮力不变，故排出水的重力等于钢缆拉力：
$G_{排}=F_{拉}=2.6×10^7\ \mathrm{N}$，
排出水的质量：
$m_{排}=\frac{G_{排}}{g}=\frac{2.6×10^7\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=2.6×10^6\ \mathrm{kg}$，
排出海水的体积：
$V_{排}=\frac{m_{排}}{\rho_{海水}}=\frac{2.6×10^6\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=2.6×10^3\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
(1) $1.0×10^6\ \mathrm{Pa}$；(2) $2.6×10^7\ \mathrm{N}$；(3) $2.6×10^3\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
液体压强计算、受力平衡、阿基米德原理
【点评】
本题结合实际起重作业场景，考查液体压强、受力分析和浮力的应用，关键在于明确模型在淤泥中不受浮力、起重船浮力不变的条件，需要学生准确分析受力关系并熟练运用相关公式。
【难度系数】
0.5
