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1. (2025·海安期中)当用公式法解方程$2x^{2}-1=3x$时，$b^{2}-4ac$的值为（
A.2
B.$-3$
C.17
D.$-1$
C
）A.2
B.$-3$
C.17
D.$-1$
答案
1.C
2. 一元二次方程$3x^{2}-11x-1=0$的两根分别为$a,b$，且$a＞b$，则$a$的值为（
A.$\dfrac{-11+\sqrt{109}}{6}$
B.$\dfrac{-11+\sqrt{133}}{6}$
C.$\dfrac{11+\sqrt{109}}{6}$
D.$\dfrac{11+\sqrt{133}}{6}$
D
）A.$\dfrac{-11+\sqrt{109}}{6}$
B.$\dfrac{-11+\sqrt{133}}{6}$
C.$\dfrac{11+\sqrt{109}}{6}$
D.$\dfrac{11+\sqrt{133}}{6}$
答案
2.D
3. 用公式法解一元二次方程$3x^{2}+(m+1)x-4=0$时，$b^{2}-4ac$的值是73，则$m$的值为
-6或4
.答案
3.-6或4
4. 用公式法解下列方程：
(1)$x^{2}-3x+1=0$；
(2)$x^{2}-2\sqrt{3}x+3=0$；
(3)$y(y-2)=3$；
(4)$2x^{2}+x-2=0$；
(5)$5x^{2}-3x=x+1$；
(6)$3x^{2}-6x-2=0$。
(1)$x^{2}-3x+1=0$；
(2)$x^{2}-2\sqrt{3}x+3=0$；
(3)$y(y-2)=3$；
(4)$2x^{2}+x-2=0$；
(5)$5x^{2}-3x=x+1$；
(6)$3x^{2}-6x-2=0$。
答案
4.解:(1)$\because a=1,b=-3,c=1$,
$\therefore b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×1×1=5$,
$\therefore x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2×1}=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2},\therefore x_1=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$.
(2)$\because a=1,b=-2\sqrt{3},c=3,\therefore b^{2}-4ac=(-2\sqrt{3})^2-4×1×3=0,\therefore x=\dfrac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{0}}{2×1}=\dfrac{2\sqrt{3}\pm0}{2},\therefore x_1=x_2=\sqrt{3}$.
(3)原方程可化为$y^2-2y-3=0$,
$\because a=1,b=-2,c=-3,\therefore b^{2}-4ac=(-2)^2-4×1×(-3)=16,\therefore y=\dfrac{2\pm\sqrt{16}}{2×1}=1\pm2,\therefore y_1=3,y_2=-1$.
(4)$\because a=2,b=1,c=-2,\therefore b^{2}-4ac=1^2-4×2×(-2)=17,\therefore x=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{2×2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{4},\therefore x_1=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4},x_2=\dfrac{-1-\sqrt{17}}{4}$.
(5)原方程可化为$5x^2-4x-1=0,\because a=5,b=-4,c=-1,\therefore b^{2}-4ac=(-4)^2-4×5×(-1)=36,\therefore x=\dfrac{4\pm\sqrt{36}}{2×5}=\dfrac{2\pm3}{5},\therefore x_1=1,x_2=-\dfrac{1}{5}$.
(6)$\because a=3,b=-6,c=-2,\therefore b^{2}-4ac=(-6)^2-4×3×(-2)=60,\therefore x=\dfrac{6\pm\sqrt{60}}{2×3}=\dfrac{3\pm\sqrt{15}}{3},\therefore x_1=\dfrac{3+\sqrt{15}}{3},x_2=\dfrac{3-\sqrt{15}}{3}$.
$\therefore b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×1×1=5$,
$\therefore x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2×1}=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2},\therefore x_1=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$.
(2)$\because a=1,b=-2\sqrt{3},c=3,\therefore b^{2}-4ac=(-2\sqrt{3})^2-4×1×3=0,\therefore x=\dfrac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{0}}{2×1}=\dfrac{2\sqrt{3}\pm0}{2},\therefore x_1=x_2=\sqrt{3}$.
(3)原方程可化为$y^2-2y-3=0$,
$\because a=1,b=-2,c=-3,\therefore b^{2}-4ac=(-2)^2-4×1×(-3)=16,\therefore y=\dfrac{2\pm\sqrt{16}}{2×1}=1\pm2,\therefore y_1=3,y_2=-1$.
(4)$\because a=2,b=1,c=-2,\therefore b^{2}-4ac=1^2-4×2×(-2)=17,\therefore x=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{2×2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{4},\therefore x_1=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4},x_2=\dfrac{-1-\sqrt{17}}{4}$.
(5)原方程可化为$5x^2-4x-1=0,\because a=5,b=-4,c=-1,\therefore b^{2}-4ac=(-4)^2-4×5×(-1)=36,\therefore x=\dfrac{4\pm\sqrt{36}}{2×5}=\dfrac{2\pm3}{5},\therefore x_1=1,x_2=-\dfrac{1}{5}$.
(6)$\because a=3,b=-6,c=-2,\therefore b^{2}-4ac=(-6)^2-4×3×(-2)=60,\therefore x=\dfrac{6\pm\sqrt{60}}{2×3}=\dfrac{3\pm\sqrt{15}}{3},\therefore x_1=\dfrac{3+\sqrt{15}}{3},x_2=\dfrac{3-\sqrt{15}}{3}$.
5. (2025·张家港期中)如果关于$x$的一元二次方程$cx^{2}-ax-b=0(c ≠ 0)$能用公式法求解,那么必须满足的条件是（
A.$b^{2}-4ac ≥ 0$
B.$a^{2}+4bc ≥ 0$
C.$a^{2}-4bc ＞ 0$
D.$c^{2}-4ab ＜ 0$
B
）A.$b^{2}-4ac ≥ 0$
B.$a^{2}+4bc ≥ 0$
C.$a^{2}-4bc ＞ 0$
D.$c^{2}-4ab ＜ 0$
答案
5.B
6. 关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的两根分别为$x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}+4}}{2},x_{2}=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}+4}}{2},$下列判断一定正确的是（
A.$a=-1$
B.$c=1$
C.$ac=-1$
D.$\dfrac{c}{a}=1$
C
）A.$a=-1$
B.$c=1$
C.$ac=-1$
D.$\dfrac{c}{a}=1$
答案
6.C
7.若最简二次根式$\sqrt{m^2-7}$和$\sqrt{8m+2}$是同类二次根式，则$m$的值为（
A.9或$-1$
B.$-1$
C.1
D.9
D
）A.9或$-1$
B.$-1$
C.1
D.9
答案
7.D
8. 王刚同学在解关于$x$的方程$x^{2}-3x+c=0$时，误将$-3x$看作$+3x$，结果解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-4$，则原方程的解为
$x_1=4,x_2=-1$
.答案
8.$x_1=4,x_2=-1$
9. 若关于$x$的方程$x^{2}+bx+c=0$的两根中较小的一个根是$m(m ≠ 0)$，则$b+\sqrt{b^{2}-4c}=$
$-2m$
.(用含$m$的代数式表示)答案
9.$-2m$
