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1. 下列不等式的解集在数轴上表示错误的是 （）
答案
D
解析
我们根据不等式解集在数轴上的表示规则逐一判断：
1. 规则说明：包含边界值（对应≥、≤）时在边界点画实心圆点，不包含边界值（对应＞、＜）时在边界点画空心圆圈；大于号方向向右延伸，小于号方向向左延伸。
2. 选项A：$x≤3$，在3的位置画实心点、线条向左延伸，符合表示规则，正确。
3. 选项B：$x＞3$，在3的位置画空心圆圈、线条向右延伸，符合表示规则，正确。
4. 选项C：$x≠0$，在0的位置画空心圆圈，线条向左右两侧同时延伸，代表除0以外的所有实数，符合表示规则，正确。
5. 选项D：$x＜0$要求在0的位置画空心圆圈、线条向左延伸，但图中0处是实心圆点，该数轴实际表示的是$x≤0$，和给出的$x＜0$不符，解集表示错误。
1. 规则说明：包含边界值（对应≥、≤）时在边界点画实心圆点，不包含边界值（对应＞、＜）时在边界点画空心圆圈；大于号方向向右延伸，小于号方向向左延伸。
2. 选项A：$x≤3$，在3的位置画实心点、线条向左延伸，符合表示规则，正确。
3. 选项B：$x＞3$，在3的位置画空心圆圈、线条向右延伸，符合表示规则，正确。
4. 选项C：$x≠0$，在0的位置画空心圆圈，线条向左右两侧同时延伸，代表除0以外的所有实数，符合表示规则，正确。
5. 选项D：$x＜0$要求在0的位置画空心圆圈、线条向左延伸，但图中0处是实心圆点，该数轴实际表示的是$x≤0$，和给出的$x＜0$不符，解集表示错误。
2. 下列不等式与不等式 $5x ＞ 8 + 2x$ 组成的不等式组的解集为 $\frac{8}{3} ＜ x ＜ 5$ 的是（）
A.$x + 5 ＜ 0$
B.$2x ＞ 10$
C.$3x - 15 ＜ 0$
D.$-x - 5 ＞ 0$
A.$x + 5 ＜ 0$
B.$2x ＞ 10$
C.$3x - 15 ＜ 0$
D.$-x - 5 ＞ 0$
答案
C
解析
先解已知不等式$5x ＞ 8 + 2x$：
移项得$5x-2x＞8$，合并同类项得$3x＞8$，解得$x＞\frac{8}{3}$。
已知该不等式和待选不等式组成的不等式组解集为$\frac{8}{3} ＜ x ＜ 5$，因此待选不等式的解集应为$x＜5$。
分别解各选项不等式：
A. $x+5＜0$，解得$x＜-5$，组成的不等式组无解，不符合要求；
B. $2x＞10$，解得$x＞5$，组成的不等式组解集为$x＞5$，不符合要求；
C. $3x-15＜0$，解得$x＜5$，组成的不等式组解集为$\frac{8}{3} ＜ x ＜ 5$，符合要求；
D. $-x-5＞0$，解得$x＜-5$，组成的不等式组无解，不符合要求。
移项得$5x-2x＞8$，合并同类项得$3x＞8$，解得$x＞\frac{8}{3}$。
已知该不等式和待选不等式组成的不等式组解集为$\frac{8}{3} ＜ x ＜ 5$，因此待选不等式的解集应为$x＜5$。
分别解各选项不等式：
A. $x+5＜0$，解得$x＜-5$，组成的不等式组无解，不符合要求；
B. $2x＞10$，解得$x＞5$，组成的不等式组解集为$x＞5$，不符合要求；
C. $3x-15＜0$，解得$x＜5$，组成的不等式组解集为$\frac{8}{3} ＜ x ＜ 5$，符合要求；
D. $-x-5＞0$，解得$x＜-5$，组成的不等式组无解，不符合要求。
3. 下列不等式总成立的是 （）
A.$4a ＞ 2a$
B.$a^2 ＞ 0$
C.$a^2 ＞ a$
D.$-\dfrac{1}{2}a^2 ≤ 0$
A.$4a ＞ 2a$
B.$a^2 ＞ 0$
C.$a^2 ＞ a$
D.$-\dfrac{1}{2}a^2 ≤ 0$
答案
D
解析
逐个分析选项：
1. 选项A：当a≤0时，4a＞2a不成立，例如a=0时，4a=2a=0，该不等式不总成立。
2. 选项B：当a=0时，a²=0，不满足a²＞0，该不等式不总成立。
3. 选项C：当0＜a＜1时，a²＜a，例如a=0.5时，a²=0.25＜0.5，该不等式不总成立。
4. 选项D：根据平方的非负性，对任意实数a都有a²≥0，两边同时乘-1/2，不等号方向改变，可得-1/2 a² ≤0，该不等式恒成立。
1. 选项A：当a≤0时，4a＞2a不成立，例如a=0时，4a=2a=0，该不等式不总成立。
2. 选项B：当a=0时，a²=0，不满足a²＞0，该不等式不总成立。
3. 选项C：当0＜a＜1时，a²＜a，例如a=0.5时，a²=0.25＜0.5，该不等式不总成立。
4. 选项D：根据平方的非负性，对任意实数a都有a²≥0，两边同时乘-1/2，不等号方向改变，可得-1/2 a² ≤0，该不等式恒成立。
4. 下列说法错误的是 （）
A.不等式 $x＜6$ 的整数解有无数多个
B.不等式 $x＞-5$ 的负整数解有有限个
C.不等式 $-2x＜8$ 的解集是 $x＜-4$
D.$x=-40$ 是不等式 $2x＜-8$ 的一个解
A.不等式 $x＜6$ 的整数解有无数多个
B.不等式 $x＞-5$ 的负整数解有有限个
C.不等式 $-2x＜8$ 的解集是 $x＜-4$
D.$x=-40$ 是不等式 $2x＜-8$ 的一个解
答案
C
解析
逐个分析各选项：
1. 选项A：小于6的整数有无数个，因此不等式$x＜6$的整数解有无数多个，说法正确。
2. 选项B：满足$x＞-5$的负整数只有-4、-3、-2、-1，共4个，属于有限个，说法正确。
3. 选项C：解不等式$-2x＜8$，根据不等式性质，两边同时除以-2时不等号方向改变，得到解集为$x＞-4$，不是$x＜-4$，说法错误。
4. 选项D：解不等式$2x＜-8$得解集为$x＜-4$，$-40＜-4$，因此$x=-40$是该不等式的一个解，说法正确。
综上，错误的是选项C。
1. 选项A：小于6的整数有无数个，因此不等式$x＜6$的整数解有无数多个，说法正确。
2. 选项B：满足$x＞-5$的负整数只有-4、-3、-2、-1，共4个，属于有限个，说法正确。
3. 选项C：解不等式$-2x＜8$，根据不等式性质，两边同时除以-2时不等号方向改变，得到解集为$x＞-4$，不是$x＜-4$，说法错误。
4. 选项D：解不等式$2x＜-8$得解集为$x＜-4$，$-40＜-4$，因此$x=-40$是该不等式的一个解，说法正确。
综上，错误的是选项C。
5. 现规定一种新的运算：$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=ad-bc$，若$\begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 1-x & 5 \end{vmatrix}≤18$，则$x$的取值范围是________.
答案
$x≤8$
解析
根据题中规定的新运算规则，将给定的行列式不等式转化为一元一次不等式求解：
1. 套用运算定义$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=ad-bc$，代入对应数值可得：
$(-2)×5 - 4×(1-x) ≤ 18$
2. 逐步化简不等式：
去括号得：$-10 -4 +4x ≤ 18$
合并同类项得：$-14 +4x ≤ 18$
移项得：$4x ≤ 18+14$，即$4x≤32$
系数化为1得：$x≤8$
1. 套用运算定义$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=ad-bc$，代入对应数值可得：
$(-2)×5 - 4×(1-x) ≤ 18$
2. 逐步化简不等式：
去括号得：$-10 -4 +4x ≤ 18$
合并同类项得：$-14 +4x ≤ 18$
移项得：$4x ≤ 18+14$，即$4x≤32$
系数化为1得：$x≤8$
6. 已知关于 $ x $ 的不等式 $(m-1)x ＞ 6$，两边同除以 $ m-1 $，得 $ x ＜ \dfrac{6}{m-1} $，则 $ m $ 的取值范围是 ______。
答案
$m ＜ 1$
解析
根据不等式的基本性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向会发生改变。本题中对不等式$(m-1)x ＞ 6$两边同时除以$m-1$后，不等号由“$＞$”变为“$＜$”，说明除数$m-1$是负数，即$m-1 ＜ 0$，解该不等式可得$m ＜ 1$。
7. 已知$\frac{1}{2}(m+3)x^{|m|-2}+6＞0$是关于$x$的一元一次不等式，则不等式的解集是________.
答案
$x＞-2$
解析
根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的次数为1、未知数的系数不为0，据此先确定m的取值：
1. 列条件组：$\begin{cases}|m|-2=1 \\ \frac{1}{2}(m+3)≠0 \end{cases}$
解$|m|-2=1$，得$|m|=3$，即$m=\pm3$；
解$\frac{1}{2}(m+3)≠0$，得$m≠-3$；
综上可得$m=3$。
2. 将$m=3$代入原不等式：
$\frac{1}{2}×(3+3)x +6＞0$，化简得$3x+6＞0$，
移项得$3x＞-6$，系数化为1得$x＞-2$。
1. 列条件组：$\begin{cases}|m|-2=1 \\ \frac{1}{2}(m+3)≠0 \end{cases}$
解$|m|-2=1$，得$|m|=3$，即$m=\pm3$；
解$\frac{1}{2}(m+3)≠0$，得$m≠-3$；
综上可得$m=3$。
2. 将$m=3$代入原不等式：
$\frac{1}{2}×(3+3)x +6＞0$，化简得$3x+6＞0$，
移项得$3x＞-6$，系数化为1得$x＞-2$。
