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12. 一名旅游者从上午9时徒步到下午2时，他先走平路，然后登山，到山顶后又沿原路下山回到出发点.已知他走平路时的速度为4 km/h，爬山时的速度为3 km/h，下坡时的速度为6 km/h，求该旅游者一共走了多少路程？
答案
20km
解析
1. 计算徒步总时长：下午2时换算为14时，总徒步用时为14-9=5小时。
2. 设单程平路路程为$x\ \mathrm{km}$，单程上山路程为$y\ \mathrm{km}$，由原路返回的条件可知，下山路程为$y\ \mathrm{km}$，返回段平路路程也为$x\ \mathrm{km}$。
3. 根据“时间=路程÷速度”，结合总用时列方程：
$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{y}{6} + \frac{x}{4} = 5$
4. 化简方程：
合并同类项得$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=5$，提取公因式得$\frac{x+y}{2}=5$，解得$x+y=10$。
5. 总路程为往返全程，即$2x+2y=2(x+y)$，将$x+y=10$整体代入，可得总路程为$2×10=20\ \mathrm{km}$。
2. 设单程平路路程为$x\ \mathrm{km}$，单程上山路程为$y\ \mathrm{km}$，由原路返回的条件可知，下山路程为$y\ \mathrm{km}$，返回段平路路程也为$x\ \mathrm{km}$。
3. 根据“时间=路程÷速度”，结合总用时列方程：
$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{y}{6} + \frac{x}{4} = 5$
4. 化简方程：
合并同类项得$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=5$，提取公因式得$\frac{x+y}{2}=5$，解得$x+y=10$。
5. 总路程为往返全程，即$2x+2y=2(x+y)$，将$x+y=10$整体代入，可得总路程为$2×10=20\ \mathrm{km}$。
13. 甲、乙两人同解方程组$\begin{cases} Ax+By=2, \\ Cx-3y=-2. \end{cases}$甲正确解得$\begin{cases} x=1, \\ y=-1, \end{cases}$乙因抄错$C$，解得$\begin{cases} x=2, \\ y=-6, \end{cases}$求$A,B,C$的值.
答案
$A=\frac{5}{2}$，$B=\frac{1}{2}$，$C=-5$
解析
1. 甲的解是原方程组的正确解，将$\begin{cases} x=1 \\ y=-1 \end{cases}$代入原方程组，可得：
$\begin{cases} A - B = 2 &①\\ C + 3 = -2 &② \end{cases}$
由②可直接解得$C=-5$。
2. 乙仅抄错了字母$C$，因此乙得到的解$\begin{cases} x=2 \\ y=-6 \end{cases}$满足不含$C$的方程$Ax+By=2$，将该解代入得：
$2A -6B = 2$，化简得$A - 3B =1$ ③
3. 联立①和③得到关于$A、B$的二元一次方程组：
$\begin{cases} A - B = 2 \\ A - 3B = 1 \end{cases}$
用①-③消去$A$，得$2B=1$，解得$B=\frac{1}{2}$，将$B=\frac{1}{2}$代入①，得$A - \frac{1}{2}=2$，解得$A=\frac{5}{2}$。
$\begin{cases} A - B = 2 &①\\ C + 3 = -2 &② \end{cases}$
由②可直接解得$C=-5$。
2. 乙仅抄错了字母$C$，因此乙得到的解$\begin{cases} x=2 \\ y=-6 \end{cases}$满足不含$C$的方程$Ax+By=2$，将该解代入得：
$2A -6B = 2$，化简得$A - 3B =1$ ③
3. 联立①和③得到关于$A、B$的二元一次方程组：
$\begin{cases} A - B = 2 \\ A - 3B = 1 \end{cases}$
用①-③消去$A$，得$2B=1$，解得$B=\frac{1}{2}$，将$B=\frac{1}{2}$代入①，得$A - \frac{1}{2}=2$，解得$A=\frac{5}{2}$。
两个多位数整数,若它们各数位上的数字之和相等,则称这两个多位数互为“调和数”,如37和82,它们各数位上的数字之和都为10,故37和82互为“调和数”.
（1）下列说法错误的是 （）
A. 123和51互为“调和数”
B. 345和513互为“调和数”
C. 2 025和2 520互为“调和数”
D. 两位数$\overline{xy}$和$\overline{yx}$互为“调和数”
（2）若$A,B$是两个不等的两位数,$A=\overline{xy},B=\overline{mn},A$和$B$互为“调和数”,且$A$与$B$之和是$B$与$A$之差的3倍,求证:$y=-x+9$.
（1）下列说法错误的是 （）
A. 123和51互为“调和数”
B. 345和513互为“调和数”
C. 2 025和2 520互为“调和数”
D. 两位数$\overline{xy}$和$\overline{yx}$互为“调和数”
（2）若$A,B$是两个不等的两位数,$A=\overline{xy},B=\overline{mn},A$和$B$互为“调和数”,且$A$与$B$之和是$B$与$A$之差的3倍,求证:$y=-x+9$.
答案
（1）B；（2）证明过程如上。
解析
（1）根据“调和数”的定义，逐个验证选项中两个数的各数位数字之和是否相等：
A选项：123的数字和为$1+2+3=6$，51的数字和为$5+1=6$，二者相等，互为调和数，说法正确；
B选项：345的数字和为$3+4+5=12$，513的数字和为$5+1+3=9$，二者不相等，不互为调和数，说法错误；
C选项：2025的数字和为$2+0+2+5=9$，2520的数字和为$2+5+2+0=9$，二者相等，互为调和数，说法正确；
D选项：两位数$\overline{xy}$的数字和为$x+y$，两位数$\overline{yx}$的数字和为$y+x=x+y$，二者相等，互为调和数，说法正确。
因此错误的是B选项。
（2）证明：
由题意可知，两位数$A=10x+y$，$B=10m+n$。
因为A、B互为调和数，所以$x+y=m+n$。
根据条件“A与B之和是B与A之差的3倍”，可得等式：$A+B=3|B-A|$，分两种情况讨论：
① 当$A＞B$时，等式化为$A+B=3(A-B)$，整理得$A=2B$，即$10x+y=2(10m+n)$。
将$n=x+y-m$代入上式，得：
$10x+y=20m+2(x+y-m)$
化简得：$8x-y=18m$
因为A、B都是两位数，$1≤ x≤9$，$0≤ y≤9$，$1≤ m≤9$，等式右边18m的可能取值为18、36、54、72，代入验证可得所有符合条件的解都满足$x+y=9$，整理得$y=-x+9$。
② 当$A＜B$时，等式化为$A+B=3(B-A)$，整理得$B=2A$，即$10m+n=2(10x+y)$。
将$n=x+y-m$代入上式，得：
$10m+x+y-m=20x+2y$
化简得：$9m=19x+y$
同理结合两位数的数位取值范围验证，所有符合条件的解都满足$x+y=9$，整理得$y=-x+9$。
综上可证$y=-x+9$。
A选项：123的数字和为$1+2+3=6$，51的数字和为$5+1=6$，二者相等，互为调和数，说法正确；
B选项：345的数字和为$3+4+5=12$，513的数字和为$5+1+3=9$，二者不相等，不互为调和数，说法错误；
C选项：2025的数字和为$2+0+2+5=9$，2520的数字和为$2+5+2+0=9$，二者相等，互为调和数，说法正确；
D选项：两位数$\overline{xy}$的数字和为$x+y$，两位数$\overline{yx}$的数字和为$y+x=x+y$，二者相等，互为调和数，说法正确。
因此错误的是B选项。
（2）证明：
由题意可知，两位数$A=10x+y$，$B=10m+n$。
因为A、B互为调和数，所以$x+y=m+n$。
根据条件“A与B之和是B与A之差的3倍”，可得等式：$A+B=3|B-A|$，分两种情况讨论：
① 当$A＞B$时，等式化为$A+B=3(A-B)$，整理得$A=2B$，即$10x+y=2(10m+n)$。
将$n=x+y-m$代入上式，得：
$10x+y=20m+2(x+y-m)$
化简得：$8x-y=18m$
因为A、B都是两位数，$1≤ x≤9$，$0≤ y≤9$，$1≤ m≤9$，等式右边18m的可能取值为18、36、54、72，代入验证可得所有符合条件的解都满足$x+y=9$，整理得$y=-x+9$。
② 当$A＜B$时，等式化为$A+B=3(B-A)$，整理得$B=2A$，即$10m+n=2(10x+y)$。
将$n=x+y-m$代入上式，得：
$10m+x+y-m=20x+2y$
化简得：$9m=19x+y$
同理结合两位数的数位取值范围验证，所有符合条件的解都满足$x+y=9$，整理得$y=-x+9$。
综上可证$y=-x+9$。
