1. (2024 南通市中考)红星村种的水稻 2021年平均每公顷产 7 200 kg，2023 年平均每公顷产 8 450 kg. 求水稻每公顷产量的年平均增长率. 设水稻每公顷产量的年平均增长率为$x$，列方程为（）

A.$7\ 200(1+x)^{2}=8\ 450$
B.$7\ 200(1+2x)=8\ 450$
C.$8\ 450(1-x)^{2}=7\ 200$
D.$8\ 450(1-2x)=7\ 200$

1.A

【分析】首先明确年平均增长率问题的核心公式：若初始产量为$a$，年平均增长率为$x$，经过$n$年后的产量为$a(1+x)^n$。本题中，2021年是初始年份，产量为7200kg，2023年与2021年间隔2年（即$n=2$），2023年产量为8450kg，将数值代入公式即可得到对应方程，再匹配选项即可。
【解析】根据年平均增长率的计算公式，初始量为2021年的产量7200kg，经过2年（2021到2023），年平均增长率为$x$，因此2023年的产量可表示为$7200(1+x)^2$，结合题目中2023年产量为8450kg，可列方程为$7200(1+x)^2=8450$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】本题考查一元二次方程在增长率实际问题中的应用，解题关键是确定增长的年数，正确运用增长率公式列方程，属于基础题型，难度较低，学生易掌握。
【难度系数】0.8

2. 某农机厂4月份生产零件50万个,第二季度共生产零件182万个.设该厂5月份和6月份平均每月生产零件数量的增长率为$x$,则$x$满足的方程是（）

A.$50(1+x)^{2}=182$
B.$50+50(1+x)+50(1+x)^{2}=182$
C.$50(1+2x)=182$
D.$50+50(1+x)+50(1+2x)=182$

2.B

【分析】
要解决这道题，需先明确第二季度包含4、5、6月三个月，再根据“增长率为x”的关系分别表示出5月、6月的产量，最后结合第二季度总产量列方程。4月产量已知为50万个，5月产量是4月在增长率x下的结果，6月产量是5月在增长率x下的结果，三个月产量之和等于182万个，据此推导方程。
【解析】
解：第二季度包含4、5、6月，各月产量计算如下：
1. 4月份产量：50万个；
2. 5月份产量：以4月为基础，增长率为x，故产量为$50(1+x)$万个；
3. 6月份产量：以5月为基础，增长率为x，故产量为$50(1+x)^2$万个；
根据第二季度总产量为182万个，可列方程：$50 + 50(1+x) + 50(1+x)^2 = 182$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题
【点评】
本题考查增长率问题的一元二次方程应用，核心是明确季度包含的月份，以及每月产量的递推关系，属于基础题型，需注意区分各月产量的表达式，避免混淆。
【难度系数】
0.6

3. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°$，$AB + AC=9$，$BC=3$。若设 $AC=x$，则可列方程为（）

A.$x^2+(9-x)^2=3^2$
B.$x^2+3^2=(9+x)^2$
C.$(9-x)^2+3^2=x^2$
D.$x^2+3^2=(9-x)^2$

3.D 提示:因为 $AC=x,AB+AC=9$,所以 $AB=9-x$. 因为在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°,BC=3$,所以 $AC^2+BC^2=AB^2$,即 $x^2+3^2=(9-x)^2$.

【分析】
要解决本题，需结合直角三角形的勾股定理分析：首先根据已知条件用含x的式子表示出斜边AB的长度，再利用直角三角形中直角边与斜边的平方关系（勾股定理）建立方程，即可选出正确选项。
【解析】
设AC=x，由AB + AC = 9，可得AB = 9 - x。
因为△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
已知BC=3，将AC=x、AB=9 - x、BC=3代入勾股定理公式，可得方程：$x^2 + 3^2 = (9 - x)^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题将古代数学问题转化为直角三角形的勾股定理应用，核心是正确表示三角形各边长度，利用勾股定理建立方程，属于基础应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

4. 如图,A,B,C,D 是矩形的四个顶点,$AB=$$16\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$. 动点$P$从点$A$出发,以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$B$运动,直到点$B$为止;动点$Q$同时从点$C$出发,以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$D$运动. 当运动时间为时,点$P$和点$Q$之间的距离是$10\ \mathrm{cm}$.

4. $\frac{8}{5}\ \mathrm{s}$或$\frac{24}{5}\ \mathrm{s}$ 提示:设当运动时间为 $t$ s 时,点 $P$ 和点Q之间的距离是10 cm.如图,过点Q作$QN⊥ AB$于点N,则$QN=BC=6\ \mathrm{cm}$,$NB=QC=2t\ \mathrm{cm}$,$AP=3t\ \mathrm{cm}$, 所以 $PN=(|16-5t|)\ \mathrm{cm}$. 在$\mathrm{Rt}△ PNQ$中,$QN^2+PN^2=PQ^2$,即 $6^2+(16-5t)^2=100$,解得 $t_1=\frac{8}{5},t_2=\frac{24}{5}$,即当时间为$\frac{8}{5}\ \mathrm{s}$或$\frac{24}{5}\ \mathrm{s}$时,点 $P$ 和点 $Q$ 之间的距离是 10 cm.

【分析】
要解决这个动点问题，首先设运动时间为$ t \ \mathrm{s} $，用$ t $表示出动点的运动路程；再利用矩形的性质构造直角三角形，将两点间的距离转化为直角三角形的斜边；最后根据勾股定理列方程求解，同时验证解是否符合动点的运动范围。
【解析】
设当运动时间为$ t \ \mathrm{s} $时，点$ P $和点$ Q $之间的距离是$ 10\ \mathrm{cm} $。
过点$ Q $作$ QN ⊥ AB $于点$ N $，
因为四边形$ ABCD $是矩形，所以$ QN = BC = 6\ \mathrm{cm} $，$ NB = QC = 2t\ \mathrm{cm} $，$ AP = 3t\ \mathrm{cm} $，
因此$ PN = AB - AP - NB = 16 - 3t - 2t = |16 - 5t|\ \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ PNQ $中，由勾股定理得：
$ QN^2 + PN^2 = PQ^2 $，
代入已知数值：$ 6^2 + (16 - 5t)^2 = 10^2 $，
化简得：$ 36 + (16 - 5t)^2 = 100 $，
即$ (16 - 5t)^2 = 64 $，
开方得：$ 16 - 5t = \pm 8 $，
当$ 16 - 5t = 8 $时，解得$ t = \frac{8}{5} $；
当$ 16 - 5t = -8 $时，解得$ t = \frac{24}{5} $。
验证：动点$ P $从$ A $到$ B $的总时间为$ \frac{16}{3} \approx 5.33\ \mathrm{s} $，$ \frac{8}{5} = 1.6\ \mathrm{s} $、$ \frac{24}{5} = 4.8\ \mathrm{s} $均在运动范围内，符合题意。
【答案】
$ \frac{8}{5}\ \mathrm{s} $或$ \frac{24}{5}\ \mathrm{s} $
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、一元二次方程应用
【点评】
本题是矩形背景下的动点问题，核心是利用矩形性质构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解，考查数形结合思想与方程思想，需注意解的合理性验证。
【难度系数】
0.5

5. (2025 南京市建邺区期中)“燃情苏超”火爆出圈，“欢乐经济”席卷南京. 某烧烤店六月份的营业额为1万元，七、八月份的营业额持续上涨，且八月份营业额的增长率是七月份的2倍. 若该烧烤店八月份的营业额为3万元，求八月份营业额的增长率.

5. 解:设七月份营业额增长率为 $x$,则八月份营业额增长率为 $2x$. 由题意, 可得$(1+x)·(1+2x)=3$, 解得 $x_1=0.5$,$x_2=-2$(舍去),所以 $2x=1$.
答:八月份营业额的增长率为 $100\%$.

【分析】本题是增长率类的一元二次方程应用题，解题思路为：①设七月份营业额的增长率为$x$，则八月份营业额的增长率为$2x$；②根据“六月份营业额×(1+七月增长率)×(1+八月增长率)=八月份营业额”的等量关系列方程；③解方程后舍去不符合实际意义的负根，计算出八月份的增长率。
【解析】解：设七月份营业额的增长率为$x$，则八月份营业额的增长率为$2x$。
根据题意，可列方程：
$(1 + x)(1 + 2x) = 3$
整理为标准一元二次方程：$2x^2 + 3x - 2 = 0$
因式分解得：$(2x - 1)(x + 2) = 0$
解得：$x_1 = 0.5$，$x_2 = -2$
因为增长率不能为负数，所以舍去$x_2 = -2$。
则八月份营业额的增长率为$2x = 2×0.5 = 1 = 100\%$。
【答案】100%
【知识点】一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，核心是找准各月份营业额的数量关系，需注意舍去不符合实际的负根，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6

6. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90^{ \circ }$,$AB=5\ {cm}$,$BC=7\ {cm}$.点$P$,$Q$同时出发,点$P$从点$A$开始沿边$AB$向点$B$以$1\ {cm/s}$的速度移动,点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向点$C$以$2\ {cm/s}$的速度移动,当其中一点达到终点后,另外一点也随之停止运动.
(1) 几秒后,$△ PBQ$的面积等于$4\ {cm^{2}}$?
(2) 几秒后,$PQ$的长度等于$5\ {cm}$?
(3)$△ PBQ$的面积能否等于$7\ {cm^{2}}$?请说明理由.

6. 解:(1) 设点 $P,Q$ 的运动时间为 $t$ s,则$AP=t\ \mathrm{cm},BP=(5-t)\ \mathrm{cm},BQ=2t\ \mathrm{cm}$.
因为 $S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}× BP× BQ$,所以 $4=\frac{1}{2}×(5-t)×2t$,解得 $t=1$ 或 $t=4$(舍去).故1 s 后,$△ PBQ$ 的面积等于 $4\ \mathrm{cm^2}$.
(2) 因为 $PQ=5$,$PQ^2=25=BP^2+BQ^2$,所以 $25=(5-t)^2+(2t)^2$,解得 $t=0$(舍去)或 $t=2$.故 2 s 后,$PQ$ 的长度为 5 cm.
(3) 由题意,得 $S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}× BP× BQ=7$,即$\frac{1}{2}×(5-t)×2t=7$,整理,得 $t^2-5t+7=0$. 由于 $b^2-4ac=25-28=-3＜0$,故方程没有实数根. 所以 $△ PBQ$ 的面积不能等于 $7\ \mathrm{cm^2}$.

【分析】
首先设点P、Q的运动时间为$ t $秒，根据速度公式用$ t $表示出$ △ PBQ $的两条直角边$ BP $和$ BQ $的长度（$ BP = (5 - t)\ \mathrm{cm} $，$ BQ = 2t\ \mathrm{cm} $），结合$ ∠ B = 90° $，利用三角形面积公式和勾股定理，根据题目给出的面积、PQ长度的条件列一元二次方程；解方程后需结合动点的运动范围（$ t ≤ 3.5 $秒，因Q到C需$ 3.5 $秒，P到B需5秒，取较小值）舍去不符合实际的解；第三问通过判断方程根的情况确定面积能否等于7。
【解析】
设点P、Q的运动时间为$ t $秒，由题意得：$ AP = t\ \mathrm{cm} $，$ BP = (5 - t)\ \mathrm{cm} $，$ BQ = 2t\ \mathrm{cm} $，运动停止时$ t ≤ 3.5 $。
(1) 因为$ ∠ B = 90° $，$ S_{△ PBQ} = \frac{1}{2} × BP × BQ $，代入面积$ 4\ \mathrm{cm^2} $得：
$ 4 = \frac{1}{2} × (5 - t) × 2t $，化简得$ t(5 - t) = 4 $，即$ t^2 - 5t + 4 = 0 $，
解得$ t_1 = 1 $，$ t_2 = 4 $。
因$ t ≤ 3.5 $，故$ t = 4 $舍去，因此1秒后，$ △ PBQ $的面积等于$ 4\ \mathrm{cm^2} $。
(2) 由勾股定理，$ PQ^2 = BP^2 + BQ^2 $，已知$ PQ = 5\ \mathrm{cm} $，则：
$ 25 = (5 - t)^2 + (2t)^2 $，展开整理得$ 5t^2 - 10t = 0 $，即$ 5t(t - 2) = 0 $，
解得$ t_1 = 0 $，$ t_2 = 2 $。
$ t = 0 $为初始时刻，不符合题意，舍去，故2秒后，$ PQ $的长度等于$ 5\ \mathrm{cm} $。
(3) 假设$ △ PBQ $的面积等于$ 7\ \mathrm{cm^2} $，则：
$ \frac{1}{2} × (5 - t) × 2t = 7 $，化简得$ t^2 - 5t + 7 = 0 $，
判别式$ \Delta = (-5)^2 - 4 × 1 × 7 = -3 ＜ 0 $，方程无实数根，
故$ △ PBQ $的面积不能等于$ 7\ \mathrm{cm^2} $。
【答案】
(1) 1秒；(2) 2秒；(3) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程应用、三角形面积、勾股定理
【点评】
本题为几何动点问题，需用时间参数表示线段长度，结合几何公式建立方程，解题时要注意根据动点运动范围舍去不符合实际的解，第三问利用根的判别式判断解的存在性，考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.6